资源简介

26.4 （第2课时） 二次函数的应用——最大利润问题
班级：________ 姓名：________ 日期：________
一、学习目标
1. 掌握销售问题中变量间的二次函数关系，能建立二次函数模型解决最大利润问题。
2. 经历探索销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。
3. 理解实际问题中自变量取值范围的确定方法，能灵活运用二次函数的增减性求最值。
4. 学会分类讨论思想，在多种方案比较中得出最优方案。
二、知识梳理
1. 销售问题中的基本数量关系
数量关系 公式
单件利润 单件利润 = 售价 － 进价
总利润 总利润 = 单件利润 × 销售数量
2. 利用二次函数求最大利润的一般步骤
第一步：______（找出已知量和未知量，明确变量之间的关系）。
第二步：______（通常设涨价或降价的金额为自变量）。
第三步：______（用含自变量的代数式表示售价、销售量和单件利润）。
第四步：______（列出二次函数表达式，并根据实际意义确定自变量的取值范围）。
第五步：______（利用配方法或顶点公式求二次函数的最值）。
第六步：______（结合自变量的取值和实际约束条件，确定实际的最大值）。
第七步：______（回归实际问题，给出最终答案）。
3. 关键注意事项
（1）自变量的取值范围由实际意义决定，如：售价______进价，销售量______0。
（2）当顶点横坐标______自变量取值范围内时，需根据函数的______在边界处求最值。
（3）当有______种方案时，需要______讨论，分别求解后再比较，得出最优方案。
三、课堂练习
【典型例题】
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？
（一）涨价方案
（1）设每件涨价n元，则售价为________元，每星期销售量为________件，单件利润为________元。
（2）总利润y = ________________________________。
（3）自变量n的取值范围：____________，且n为______。
（4）化简得y = ________________________。
（5）配方：y = ________________________。
（6）当n = ______时，y 最大 = ______。即涨价______元，定价______元时，利润最大，最大利润为______元。
（二）降价方案
（1）设每件降价m元，则售价为________元，每星期销售量为________件，单件利润为________元。
（2）总利润y = ________________________________。
（3）自变量m的取值范围：____________，且m为______。
（4）化简得y = ________________________。
（5）配方：y = ________________________。
（6）顶点横坐标m = ______，______（填"是"或"不是"）整数。因为m=2和m=3关于对称轴对称，所以当m = ______或______时，y = ______。
（7）即降价______元或______元，定价______元或______元时，利润最大，最大利润为______元。
（三）综合比较
涨价方案：最大利润______元。降价方案：最大利润______元。因为______ > ______，所以______方案更优。
综上，该商品定价为______元时，可获得最大利润______元。
【课堂练习】
1. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销。据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，且不高于100元。
(1) 求每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式。
解：y = ________________________________（______ ≤ x ≤ ______）。
(2) 销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
解：配方得y = ________________________。当x = ______时，y最大 = ______。
答：销售单价为______元时，每天的销售利润最大，最大利润是______元。
2. 旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2100元，旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元。当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？
解：设旅行团的人数为x人（x ≥ ______），营业额为y元。
则每人缴费：________________________元。
总营业额y = ________________________________。
化简得y = ________________________。
配方得y = ________________________。
当x = ______时，y最大 = ______。
答：旅行团的人数为______人时，旅行社可获得最大营业额______元。
3. 某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？
解：设利润为y元。y = ________________________________（______ < x < ______）。
配方得y = ________________________。
当x = ______时，y有最大值______。即当定价为______元时，利润最大。
4. 某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40件。若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？
解：设每件降价x元，每天的利润为y元。
y = ________________________________（______ < x < ______）。
配方得y = ________________________。
当x = ______时，y取最大值______。即当每件降价______元时，每天盈利最多。
参考答案
二、知识梳理
2. 利用二次函数求最大利润的一般步骤
第一步：审题（找出已知量和未知量，明确变量之间的关系）。
第二步：设未知数（通常设涨价或降价的金额为自变量）。
第三步：表示关键量（用含自变量的代数式表示售价、销售量和单件利润）。
第四步：列函数表达式（列出二次函数表达式，并根据实际意义确定自变量的取值范围）。
第五步：求最值（利用配方法或顶点公式求二次函数的最值）。
第六步：检验约束（结合自变量的取值和实际约束条件，确定实际的最大值）。
第七步：作答（回归实际问题，给出最终答案）。
3. 关键注意事项
（1）自变量的取值范围由实际意义决定，如：售价≥进价，销售量≥0。
（2）当顶点横坐标不在自变量取值范围内时，需根据函数的增减性在边界处求最值。
（3）当有多种方案时，需要分类讨论，分别求解后再比较，得出最优方案。
三、课堂练习
【典型例题】
（一）涨价方案
【答案】（1）设每件涨价n元，则售价为(60+n)元，每星期销售量为(300-10n)件，单件利润为(20+n)元。
【答案】（2）总利润y = (20+n)(300-10n)。
【答案】（3）自变量n的取值范围：0≤n≤30，且n为整数。
【答案】（4）化简得y = -10n +100n+6000。
【答案】（5）配方：y = -10(n-5) +6250。
【答案】（6）当n=5时，y 最大=6250。即涨价5元，定价65元时，利润最大，最大利润为6250元。
（二）降价方案
【答案】（1）设每件降价m元，则售价为(60-m)元，每星期销售量为(300+20m)件，单件利润为(20-m)元。
【答案】（2）总利润y = (20-m)(300+20m)。
【答案】（3）自变量m的取值范围：0≤m≤20，且m为整数。
【答案】（4）化简得y = -20m +100m+6000。
【答案】（5）配方：y = -20(m-2.5) +6125。
【答案】（6）顶点横坐标m=2.5，不是整数。因为m=2和m=3关于对称轴对称，所以当m=2或3时，y =6120。
【答案】（7）即降价2元或3元，定价58元或57元时，利润最大，最大利润为6120元。
（三）综合比较
【答案】涨价方案：最大利润6250元。降价方案：最大利润6120元。因为6250>6120，所以涨价方案更优。
【答案】综上，该商品定价为65元时，可获得最大利润6250元。
【课堂练习】
练习1
【答案】解：(1) y=(x-50)[50+5(100-x)]=-5x +800x-27500（50≤x≤100）。
【答案】(2) 配方得y=-5(x-80) +4500。当x=80时，y最大=4500。
【答案】答：销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元。
练习2
【答案】解：设旅行团的人数为x人（x≥20），营业额为y元。
【答案】则每人缴费：2100-30(x-20)元。
【答案】总营业额y=[2100-30(x-20)]x=-30x +2700x。
【答案】配方得y=-30(x-45) +60750。
【答案】当x=45时，y最大=60750。
【答案】答：旅行团的人数为45人时，旅行社可获得最大营业额60750元。
练习3
【答案】解：设利润为y元。y=(x-30)(200-x)=-x +230x-6000（0【答案】配方得y=-(x-115) +7225。
【答案】当x=115时，y有最大值7225。即当定价为115元时，利润最大。
练习4
【答案】解：设每件降价x元，每天的利润为y元。y=(20-x)(40+10x)=-10x +160x+800（0【答案】配方得y=-10(x-8) +1440。
【答案】当x=8时，y取最大值1440。即当每件降价8元时，每天盈利最多。

展开更多......

收起↑