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26.4（第3课时）
二次函数的应用——实物抛物线问题
班级：________ 姓名：________ 日期：________
一、学习目标
1. 掌握建立适当的平面直角坐标系，将实物抛物线问题转化为数学问题的方法。
2. 能利用待定系数法求出抛物线的解析式，并根据解析式解决实际问题。
3. 能灵活运用"固定宽看高"和"固定高看宽"两种方法判断物体能否通过抛物线形通道。
4. 体会数学建模在解决实际问题中的核心作用，感受数学与生活的紧密联系。
二、知识梳理
1. 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤
步骤 内容
第一步 建立适当的平面直角坐标系（优先以顶点为原点）
第二步 写出抛物线上的关键点坐标（拱顶、端点、交点等）
第三步 运用待定系数法求出函数解析式
第四步 利用解析式求解数学问题（代入求值、解方程等）
第五步 回归实际问题，给出符合实际意义的答案
2. 坐标系选择策略
坐标系 原点位置 解析式形式 特点
以顶点为原点 拱顶（最高/最低点） 形式最简单，推荐首选
以水面/地面为x轴 抛物线与y轴交点 顶点在y轴上(0,k)
以其他点为原点 任意位置 顶点不在y轴上，较复杂
3. 判断物体能否通过抛物线形通道的方法
方法 操作 判断标准
固定宽看高 将x=半宽代入解析式，求出y值 若y≥物体高度，则能通过
固定高看宽 将y=高度代入解析式，求出|x|值 若2|x|≥物体宽度，则能通过
4. 关键注意事项
（1）建立坐标系时，优先选择以抛物线的______为坐标原点，这样解析式可设为，形式最简单。
（2）标定关键点坐标时，务必注意______号（如拱顶下方点的y坐标为______值）。
（3）不同坐标系下求出的解析式______（填"相同"或"不同"），但最终结果______（填"相同"或"不同"）。
（4）"固定宽看高"时代入的是______宽（填"全"或"半"），因为抛物线关于______对称。
三、课堂练习
【典型例题】拱桥问题
一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m。突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？
拱桥问题图示
方法一：以拱顶为原点建立坐标系
（1）以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系。拱顶的坐标为________。
（2）水面两端点的坐标：左端点________，右端点________。
（3）设抛物线解析式为________。
（4）将点________代入解析式，得________，解得a=________。
（5）抛物线解析式为________。
（6）水面上升1m，则此时水面所在直线的纵坐标为________。
（7）代入解析式求解：________________________。
（8）解得x≈________，水面宽度为________≈________m。
方法二：以上升1m后的水面为x轴建立坐标系
（1）以上升1m后的水面为x轴，对称轴为y轴建立坐标系。拱顶的坐标为________。
（2）水面两端点的坐标：________和________。
（3）设抛物线解析式为________。
（4）将点________代入，解得a=________。
（5）水面上升1m后即y=________时，代入解析式求解，结果与法一________（填"相同"或"不同"）。
【变式拓展】船能否通过桥洞？
船能否通过拱桥？
在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过。这艘船宽4m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面2m。这艘船能从这座拱桥下通过吗？
（1）以上升1m后的水面为x轴，对称轴为y轴建系，抛物线解析式为________。
（2）采用"固定宽看高"法。船宽4m，则船的两侧在x=________和x=________处。
（3）将x=________代入解析式，求出的y值是拱桥在该处的高度：y=________≈________m。
（4）因为y________2m（填">"或"<"），所以这艘船________（填"能"或"不能"）通过。
【课堂练习一】投篮问题
投篮问题
1. 在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线y=-0.2x +3.85的一部分，若篮球投入篮筐（篮筐高度为3.05m），求运动员到篮筐正下方的距离l。
解：篮球投入篮筐，即y=________时，代入解析式：________________________。
解得x =________，x =________（舍去）。篮筐所在位置为(________, 3.05)。
运动员到篮筐正下方的距离l=________+________=________m。
【课堂练习二】校门问题
校门问题
2. 某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米）（ ）
A. 9.2 m B. 9.1 m C. 9 m D. 5.1 m
解：以地面为x轴，对称轴为y轴建系。设解析式为________。
地面两端点坐标：________和________。铁环坐标：________和________。
列方程组：________________；________________。解得a=________，k=________。
校门高k≈________m，答案选________。
【课堂练习三】涵洞问题
涵洞问题
3. 某涵洞是抛物线形，水平宽度AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是________。
解：以顶点O为原点，A、B坐标为________和________。设解析式为________。
代入得________，解得a=________。解析式为________。
【课堂练习四】喷泉问题
喷泉问题
4. 某幢建筑物，从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状，若抛物线最高点M离墙1米，离地面米，求水流落地点B离墙的距离。
解：以地面为x轴，墙面为y轴建系。A(________, ________)，M(________, ________)。
设解析式为________。代入A点坐标：________________，解得a=________。
解析式为________。令y=0：________________，解得x=________。
B点离墙的距离为________m。
【课堂练习五】防护栏问题
防护栏问题
5. 某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少？
解：以水平面为x轴，对称轴为y轴建系。最高点坐标为________。
设解析式为________。抛物线过点(1, 0)，代入得________，解得a=________。
解析式为________（________≤x≤________）。
令x=0.2，y=________；令x=0.6，y=________。
每段支柱总长：________________________。100段总长：________________________。
【课堂练习六】小球运动轨迹
小球飞行轨迹
6. 小球的飞行高度y（m）关于飞行时间x（s）的函数解析式为y=-5x +20x。
(1) 当飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
(2) 小球从飞出到落地所用的时间是多少？
(3) 小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
解：(1) 当y=15时，________________________，解得x =________，x =________。
答：飞行高度为15m时，飞行时间是________s或________s。
(2) 落地时y=________，________________________，解得x =________，x =________。
答：从飞出到落地用时________s。
(3) 配方：y=________________________。当x=________时，y最大=________。
答：飞行________s时高度最大，最大高度为________m。
【课堂练习七】隧道问题
隧道问题
7. 一拱形隧道的轮廓是抛物线形，拱高6m，跨度为20m。
(1) 建立适当的平面直角坐标系，求拱形隧道所在抛物线的解析式。
(2) 隧道下地平面是双向行车道（正中间是一条宽为2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽2m、高3m的汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由。
解：(1) 以地面为x轴，对称轴为y轴建系。顶点坐标为________，两端点为________和________。
设解析式为________。代入得________________，解得a=________。解析式为________。
(2) 隔离带从x=________到x=________，一条行车道从x=________开始。
三辆车宽________m，最远的车在x=________处。该处y=________≈________m。
因为________>3，所以汽车________（填"能"或"不能"）通过。
参考答案
二、知识梳理
4. 关键注意事项
【答案】（1）建立坐标系时，优先选择以抛物线的顶点为坐标原点，这样解析式可设为y=ax ，形式最简单。
【答案】（2）标定关键点坐标时，务必注意正负号（如拱顶下方点的y坐标为负值）。
【答案】（3）不同坐标系下求出的解析式不同，但最终结果相同。
【答案】（4）"固定宽看高"时代入的是半宽，因为抛物线关于y轴对称。
三、课堂练习
【典型例题】拱桥问题——方法一
【答案】（1）以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系。拱顶的坐标为(0, 0)。
【答案】（2）水面两端点的坐标：左端点(-5, -4)，右端点(5, -4)。
【答案】（3）设抛物线解析式为。
【答案】（4）将点(5, -4)代入解析式，得，解得。
【答案】（5）抛物线解析式为。
【答案】（6）水面上升1m，则此时水面所在直线的纵坐标为-3。
【答案】（7）代入解析式求解：，，。
【答案】（8）解得x约等于4.33，水面宽度为2x4.33约等于8.7m。
拱桥问题——方法二
【答案】（1）以上升1m后的水面为x轴，对称轴为y轴建立坐标系。拱顶的坐标为(0, 3)。
【答案】（2）水面两端点的坐标：(-5, -1)和(5, -1)。
【答案】（3）设抛物线解析式为。
【答案】（4）将点(5, -1)代入，得-1=25a+3，解得。
【答案】（5）水面上升1m后即y=0时，代入，，，水面宽约8.7m。结果与法一相同。
【变式拓展】船能否通过桥洞？
【答案】（1）以上升1m后的水面为x轴，对称轴为y轴建系，抛物线解析式为。
【答案】（2）采用"固定宽看高"法。船宽4m，则船的两侧在x=2和x=-2处。
【答案】（3）将x=2代入解析式，求出的y值是拱桥在该处的高度：（m）。
【答案】（4）因为2.36>2m，所以这艘船能通过。
【课堂练习一】投篮问题
【答案】解：篮球投入篮筐，即y=3.05时，代入解析式：，，。
【答案】解得x1=2，x2=-2（舍去）。篮筐所在位置为(2, 3.05)。
【答案】运动员到篮筐正下方的距离l=3.2+2=5.2m。
【课堂练习二】校门问题
【答案】解：以地面为x轴，对称轴为y轴建系。设解析式为。
【答案】地面两端点坐标：(-4, 0)和(4, 0)。铁环坐标：(-3, 4)和(3, 4)。
【答案】列方程组：0=16a+k；4=9a+k。两式相减得-4=7a，。代入得。
【答案】校门高k约等于9.1m，答案选B。
【课堂练习三】涵洞问题
【答案】解：以顶点O为原点，A、B坐标为(-0.8, -2.4)和(0.8, -2.4)。设解析式为。
【答案】代入得，解得。解析式为。
【课堂练习四】喷泉问题
【答案】解：以地面为x轴，墙面为y轴建系。A(0, 10)，M(1, )。
【答案】设解析式为。代入A点坐标：，解得。
【答案】解析式为。令y=0：，，。B点在墙右侧，取x=3。
【答案】B点离墙的距离为3m。
【课堂练习五】防护栏问题
【答案】解：以水平面为x轴，对称轴为y轴建系。最高点坐标为(0, 0.5)。
【答案】设解析式为。抛物线过点(1, 0)，代入得0=a+0.5，解得a=-0.5。
【答案】解析式为（）。
【答案】令x=0.2，y=-0.5x0.04+0.5=0.48；令x=0.6，y=-0.5x0.36+0.5=0.32。
【答案】每段支柱总长：(0.48+0.32)x2=1.6m。100段总长：1.6x100=160m。
【课堂练习六】小球运动轨迹
【答案】解：(1) 当y=15时，，，(x-1)(x-3)=0，解得x1=1，x2=3。
【答案】答：飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s。
【答案】(2) 落地时y=0，，-5x(x-4)=0，解得x1=0，x2=4。
【答案】答：从飞出到落地用时4s。
【答案】(3) 配方：。当x=2时，y最大=20。
【答案】答：飞行2s时高度最大，最大高度为20m。
【课堂练习七】隧道问题
【答案】解：(1) 以地面为x轴，对称轴为y轴建系。顶点坐标为(0, 6)，两端点为(-10, 0)和(10, 0)。
【答案】设解析式为。代入得0=100a+6，解得a=-0.06。解析式为。
【答案】(2) 隔离带从x=-1到x=1，一条行车道从x=1开始。
【答案】三辆车宽6m，最远的车在x=7处。该处y=-0.06x49+6=-2.94+6=3.06m。
【答案】因为3.06>3，所以汽车能通过。

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