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第10讲26.3二次函数与一元二次方程暑假预习同步训练
新人教版2026—2027学年九年级数学上册
一、选择题
1．若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．当或时，
3．已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（ ）．
A． B．
C．或 D．或
4．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
5．二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知抛物线与轴交于点，，且，，则的值是（ ）
A． B． C．4 D．
7．二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．或
8．如图所示是二次函数的部分图象，该抛物线的对称轴是直线，且与y轴交点的纵坐标是2.有下列结论：①；②方程一定有一个根在1和2之间；③；④若点是抛物线上一点，则，其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．二次函数与轴交于，则的值为______．
10．二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________．
11．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______．
12．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________．
三、解答题
13．二次函数的图象与轴交于点，且，．
(1)求，的值．
(2)当时，函数值都小于，求的取值范围．
14．已知关于的函数（是实数）．
(1)当时，直接写出对称轴及与轴的交点坐标；
(2)若对于任意实数，总有，求实数的取值范围；
(3)设函数的图象与轴交点为，，若，求实数的取值范围．
15．在平面直角坐标系中，抛物线．
(1)①证明：抛物线与轴恒有两个交点；
②求出抛物线与轴交点的坐标（用含的式子表示）；
(2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点（，不重合）．
①若，，求的长；
②若当，的长随的增大而增大，求的取值范围．
16．已知抛物线．
(1)若，，求抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点；
(3)抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明．
17．在平面直角坐标系中，点是抛物线与直线的一个公共点．
(1)用含的式子分别表示和；
(2)是抛物线上的点，是直线上的点，若对于，都有，求的取值范围．
18．已知二次函数．
(1)若，求此函数与x轴的交点坐标；
(2)对于二次函数，当，时，y的最大值与最小值的差为5，求a的值：
(3)将在间的图象记为G，若图象G与直线有2个不同的交点，请求出a的取值范围．
参考答案
1．A
2．D
3．D
4．B
5．B
6．A
7．C
8．B
9．
10．且
11．或
12．
13．【详解】（1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且，
，，，
，
，
，
，
整理，得，
解得，
当时，，不满足要求，舍去；
当时，，满足要求；
故，．
（2）解：，，
故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，得，
解得，
如图所示，此时，
时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小，
，
解得；
时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小，
，
解得；
综上所述，符合要求的的取值范围是或．
14．【详解】（1）解：当时，则，
，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
抛物线与轴的交点为；
（2）解：若对于任意实数，总有，
当时，，不满足题意，
当时，函数为二次函数，
抛物线开口向上，与轴没有交点，
，且，
，
整理得，
解得，
实数的取值范围是；
（3）解：函数的图象与轴交点为，且，
当时，，不满足题意，
当时，函数为二次函数，且时的函数的值与异号，
时，，
，或，
解得．
15．(1)①证明：∵令，则，即，，，
∴，
∵，
∴，
∴抛物线与轴恒有两个交点；
②由①得且，
∴，
∵，
∴解得：，，
∴抛物线与轴交点坐标为和 ；
（2）①∵，
∴抛物线解析式为：，直线解析式为：，
∵，
∴，
∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，
∴三点共线，即，
∴，，
∴；
②∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，
∴三点共线，即，
∴，，
∴，
分类讨论：
（），即，
∵，
∴是关于的二次函数，即对称轴为直线，
∴当，的长随的增大而增大，
∴，解得，
（）当时，
∵，
∵，
∴，
∴，即 ，
∴，解得，
∴，
（）当时，
∵，
∵，
∴，
∴，即 ，
∴，解得，
∴，
（），即，
∵，
∴是关于的二次函数，即对称轴为直线，
∴当，的长随的增大而增大，
∴，解得，
∵，
∵，，
∴，
∴，即 ，
∴，解得，
∴
∴当，的长随的增大而增大，求的取值范围为或或．
16．【详解】（1）解：，，
，
抛物线的顶点坐标为．
(2)证明：抛物线上的点在轴上方，
，
，
，
即方程有两个不相等的实数根，
抛物线与轴有两个交点．
(3)和的数量关系是，
证明：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，如图，
故可设，，，
则，是方程的两根，
由求根公式可得，，
又坐标平面内存在点满足，
由对称性可设，
由勾股定理可得，，，
，
解得，
点的坐标为，
直线与相交于点，
，
联立，解得，
点的坐标为，
由，可知，
又，
垂直平分，
．
17．【详解】（1）解：∵点在抛物线上，
∴
，
∵点在直线上，
再将代入直线方程，
∴，
整理得；
（2）解：由（）可知，直线的解析式为，
抛物线解析式为，
∵是抛物线上的点，
∴，
∵是直线上的点，
∴，
∵，
∴，
整理得，
当时，，要使，则必须恒成立，
即，
分两种情况讨论：
当时：，
∴，不等式恒成立，满足条件，
当时：是关于的一次函数，函数随增大而减小，
当时，最大，
即，
解得，
∴，
综上，的取值范围是且．
18．【详解】（1）解：当时，，
令，则，
解得：，，
此函数与x轴的交点坐标为，；
（2）解：，
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越小，
当时，为最大值；
，
当时，为最小值
时，y的最大值与最小值的差为5，
，
，
解得：；
（3）解：，
抛物线与x轴的交点坐标为，，
令，则，
直线与x轴的交点坐标为，
图象与直线始终有1个交点，
当时，
当时，，
图象G与直线有2个不同的交点，
当时，，
，
解得：；
当时，
当时，，
图象G与直线有2个不同的交点，
当时，，
，
解得：，
当时，整理得，，
若直线与图象相切，则，
整理得，，即
解得：，此时只有1个交点，
综上可知，若图象G与直线有2个不同的交点，a的取值范围为或且．

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