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26.2.3二次函数y=ax +bx+c的图象和性质同步训练
新人教版2026—2027学年九年级数学上册
一、选择题
1．已知抛物线过点、和，那么的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
5．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
6．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
7．若函数在的最大值是，最小值是，则（ ）
A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关
C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关
8．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ）
A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大
C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为
二、填空题
9．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________．
10．已知抛物线与轴交于点和点，点为抛物线上的一动点，当为直角三角形时，则点的坐标为______．
11．已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______
12．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________．
三、解答题
13．已知：二次函数，y与x的一些对应值如表：
x … 0 1 2 4 …
… m 3 n 3 …
(1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ；
(2)表格中空白处的值 ， ；
(3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ；
(4)当时，，则t的取值范围为 ．
14．已知二次函数（）经过两点．
(1)对称轴方程为 ，用含a的代数式表示c，则 ；
(2)一次函数与有且只有3个公共点时，求a的值；
(3)过点作垂直于x轴的直线分别与一次函数，二次函数交于E，F两点，满足当的时候，总有E，F两点之间距离小于，求a的取值范围．
15．已知抛物线：
(1)当，时，求抛物线的顶点坐标；
(2)点为平面直角坐标系原点，点，在抛物线上，且，．
①若，用含的代数式表示；
②当时，求证：抛物线恒过定点，并求出定点的坐标．
16．如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标．
17．已知二次函数的图象经过，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当时，直接写出y的取值范围．
18．已知抛物线的对称轴在轴右侧，当时，的最小值为，最大值为．
(1)求整数，的值；
(2)在（1）的条件下，直线与抛物线在范围内有两个交点，点，均在抛物线上，在的左侧．
①求的取值范围；
②若，过点作轴，垂足为，交直线于点．设的面积为，的面积为，若，且，求的近似值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
2．C
3．A
4．C
5．D
6．D
7．B
8．C
9．
10．或
11．
12．5
13．【详解】（1）解：依题意，把分别代入，
得，
解得，
∴．
（2）解：依题意，把代入，
得，即；
把代入，
得，即；
(3)图象如图所示：
；
∴顶点坐标为，对称轴方程为．
（4）解：观察（3）的函数图象：
当时，则
∵当时，，
∴结合函数图象，得
14．【详解】（1）解：将代入得：
，解得：，
∴对称轴方程为（），
综上：对称轴为，．
（2）解：一次函数的图象为一条直线，
∵，，
∴，
∴，
∴的图象是将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴上翻折到轴上方，
∴在轴下方没有图象，
∴要使一次函数与有且只有3个公共点，则，
∴，
如图所示，当经过时，
∴，解得：；
如图所示，一次函数与在点之间的图象只有一个交点，
在点之间的图象解析式为，
令，整理得：，
，解得：或（舍去），
综上：或．
（3）解：∵，
∴，，
∴，
令，当时，，
∴经过原点，关于直线对称，
当时，；当时，；当时，；
∵当时，，
∴且，
∴，
∴，
当时，解得：，如图所示：
∴此时，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴此时当时，取最大值为，
∴，解得：，
∴，
∴当时，解得：，如图所示：
∴此时，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴此时当时，取最大值为，
∴，解得：，
∴，
综上：．
15．【详解】（1）解：当，时，抛物线的解析式为
配方得
因此抛物线的顶点坐标为
（2）①因为点，都在抛物线上
所以可得
两式作差得
整理得
因式分解得
∵，
∴，
∴
②抛物线恒过定点，定点坐标为；
证明：∵，
∴由勾股定理得，
∵，，
∴，，
，
，
将上述式子代入得：
整理得，
提取公因式得，
∵，且，
∴，
∴，即，
由①得，将代入得：，
将代入得，
∴抛物线的解析式为，
当时，，结果与的取值无关，
∴抛物线恒过定点，定点坐标为．
16．【详解】（1）解：把代入直线得：，解得：，
∴，
把代入直线得：，
∴，
∵抛物线经过，两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：连接，如图所示：
∴，
∵，，
∴，，
设点，由题意知，
∴，
∵，
∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为．
17．【详解】（1）解：把，代入
得，
解得
∴二次函数的解析式为；
（2）解：将二次函数配方得，
函数的对称轴为直线
∵
∴二次函数开口向上，
∴当时，y取得最小值；
当时，，
当时，；
即在时，y的取值范围是．
18．【详解】（1）解：抛物线开口向上，
对称轴为，
由对称轴在轴右侧得
∴
∵当时，的最小值为，最大值为
情形一：当对称轴在时，即，
又
∴
∴最小值为，即最小值在顶点处，得：，即①
最大值在或，
当时，，
代入①解得：，或，（舍去）
当时，，
代入①解得：（舍去）或（舍去）
情形二：当对称轴时，即
∴，
∴最大值为时，
最小值为时，
解得：，不是整数，
综上所述，，；
（2）解：①联立直线与抛物线
得
∵直线与抛物线在范围内有两个交点，
设，
∴且，
解
∴或
解得：
解得
综上所述：
②设的面积为，的面积为，，
∵在上，
∴，，，
∴，，
又∵，则
∴
∴
∵
∴①
∵在的左侧
∴，则
∴
（i）当时，
∴
当时，
解得：（舍去）
（ii）当或时，
∴
当时，
解得：

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