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2026年春季高二年级期末考试
数学
本试卷共 4页，19题.全卷满分 150分.考试用时 120分钟.
祝考试顺利
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定集合 A 的全部元素，再依据交集的定义求解两个集合的交集.
【详解】集合 ，又 ，所以 .
2. 已知幂函数 在 上单调递减，则 （ ）
A. 1或 2 B. 0或 1 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先依据幂函数的定义求出 的可能取值，再结合函数在 上单调递减的性质筛选得到正确结
果.
【详解】根据幂函数的定义可得 ，即 ，解得 或 ，
又 在 上单调递减，可得 ，即 ，
所以 .
3. 若随机变量 ，且 ，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用正态分布概率密度曲线关于均值 对称的性质，由两个概率相等计算均值.
【详解】正态分布 的概率密度曲线关于直线 对称，
因为 ，所以 .
4. 对于实数 ，“ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a＞b” “ac ＞bc ”必须有 c ＞0这一条件．解：主要考查
不等式的性质．当 c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选 B
考点：不等式的性质
点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．
5. 若随机事件 A，B 的概率满足 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用条件概率公式先求得事件 A、B的联合概率 ，再代入另一条件概率公式变形求解 .
【详解】对于随机事件 ，当 时， ，变形可得 ，
所以
当 时， ，变形可得 ，
所以 .
6. 编号为 1，2，3，4，5的五台旅游车停在编号为 1，2，3，4，5的五个车位上，每个车位只能停一台车，
则恰好有两台车编号与车位编号一致的停车方法总数为（ ）
A. 20 B. 30 C. 40 D. 60
【答案】A
【解析】
【分析】先从 5台车中选出编号与车位一致的 2台，再对剩余 3台做全错位排列，利用分步乘法计数原理
计算总方法数.
【详解】 第一步：从 5台车中选取 2台编号与车位编号一致的车，共有 种不同的选法；
第二步：剩余 3台需满足编号均与车位编号不一致，即 3个元素的全错位排列，
设剩余 3台编号为 ，
若 车停在 号，则 车只能停在 号， 车停在 号；若 车停在 号，则 车只能停在 号， 车停在
号；
故不同的错位排列数为 2.
根据分步乘法计数原理，总停车方法数为 种.
7. 已知函数 ，若 都有 成立，则实数 m
的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先证明 ，再结合单调性得出 对 恒成立，最后利用基本
不等式求最值.
【详解】任取 ，且 ，
则
，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，
则 在 上增函数单调递增，
因为 在 为增函数，所以 在 上单调递增，
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
，
因为 对 恒成立，
则 对 恒成立，
所以 对 恒成立，
因为 ，所以 ，
则 ，
等号成立时 ，
则 ，则实数 m 的取值范围为 .
8. 从集合 的非空子集中随机取出两个不同的集合 M，N，则在 的条件下 中
恰有 3个元素的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由 推出 ，利用 时 转化问题，再分别统计条件下的总
事件数和符合要求的事件数，代入条件概率公式计算.
【详解】原集合 共 个元素，由 可得 ，且 是不同非空子集，
故 ， 又 时， ，
因此 恰有 3个元素，等价于 本身恰有 3个元素，
用事件 表示取出两个不同非空子集满足 ，用事件 表示 恰有 3 个元素，
对元素数为 的集合 ，其非空真子集 的个数为 ，按 的元素个数分类求和，
，
先选 3元集合 ，共 种； 需包含 且 ，
原集合剩余 个元素，每个元素可选入或不选入 ，减去 的情况，
共 种 ， 因此 ，
.
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 在回归模型中决定系数 越大，则表示残差平方和越小，模型拟合效果越好
B. 利用 进行独立性检验时 的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量越独立
C. 若事件 A，B 满足 ， ，则 A，B 相互独立与互斥不能同时成立
D. 若随机变量 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对 A，套用决定系数 公式，通过 与残差平方和的反向增减关系判断拟合效果好坏；对 B，
依据卡方独立性检验原理， 越大越倾向判定变量相关，以此判断选项表述正误；对 C，分别推导独立事
件、互斥事件下 的取值，对比二者取值矛盾证明不能同时成立；对 D，直接代入二项分布方差公式
计算数值验证结论.
【详解】对于 A：决定系数公式为 ，
因此 越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好，A正确；
对于 B： 独立性检验中， 的值越大，拒绝“两个分类变量独立”原假设的把握越大，
即越有把握认为两个分类变量有关，而非越独立，B错误；
对于 C：若 相互独立且 ，则 ；
若 互斥，则 为不可能事件， ，二者矛盾，
因此 相互独立与互斥不能同时成立，C正确；
对于 D：二项分布 的方差公式为 ，
代入 得 ，D正确.
10. 已知 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先通过通项公式结合已知条件求 的值，再利用赋值法、导数法分别判断各选项的系数和是否正
确.
【详解】对于 A：二项展开式通项为 ，
因此 ， ，代入 得：
，
显然 ，解得 ，A正确；
对于 B：令展开式中 ，得 ，因此 ，B正确；
对于 C：令 ，代入展开式得 ，即 ，
所求和为 ，C错误；
对于 D：对展开式两边求导得： ，
令 ，左边为 ，即 ，D正确.
11. 已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A. 的极小值点为 2
B. 若 有 2个零点，则实数 的取值范围为
C. 对于区间 上任意两个实数 ，都有
D. 设 ， 只有一个极值点，则实数 的取值范围为
【答案】AC
【解析】
【分析】求导确定函数单调性，可判断 A；举例说明判断 B；作差变形，构造函数并利用导数探讨单调性判
断 C；通过特殊值代入，求导，确定极值点可判断 D.
【详解】对于 A：函数 ，求导得 ，
当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的极小值点为 2，A正确；
对于 B：当 时， 只有 1个根 3，B错误；
对于 C：
，
令函数 ，则 ，
故函数 在 上单调递增，
由 ，不妨令 ，则 ，
即 ，而 ，则 ，
所以 ，C正确；
对于 D：函数 定义域为 R，
取 ，则
求导得 ，
令 ，
求导得： ，当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
又当 趋近于负无穷大时， 的函数值趋近于正无穷大，当 趋近于正无穷大时， 的函数值趋近于
正无穷大，
所以 有两根 ，
所以当 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
此时 有 3个极值点，D错误.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 已知函数 是定义在 上的周期为 2 的奇函数，当 时， ，则
________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数的周期性将自变量转化到已知区间附近，再结合奇函数的性质代入对应解析式计算.
【详解】由函数周期为 ，根据周期函数性质：对任意 ，有 ，
可得： ，
由 是定义在 上的奇函数，根据奇函数性质： ，可得： ，
由于 ，代入已知区间的解析式 ，得： ，
因此 .
13. 已知函数 ，则函数 的图象在点 处的切线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】先通过换元法求得 的解析式，再利用导数的几何意义求切线斜率，结合点斜式得到切线方程.
【详解】令 ，则 ， ，代入已知等式得： ，因此 ，
，
所以 ，即切点为 ，
又 ，得 ，即切线斜率 ，
由点斜式可得切线方程为 ，整理得 .
14. 将 1，2，3，4，5，6，7，8随机排成一行，前四个数字依次构成一个四位数 ，后四个数字依次构成
一个四位数 ，已知 的千位数比 的千位数恰好大 4，则满足 的不同排列数有_____个（用
数字作答）.
【答案】
【解析】
【分析】先确定 的千位数字，共有 种选择，再按 的百位数字比 的百位数字小，分类进行讨论，
即可求解.
【详解】由题意，设 的千位数字为 ， 的千位数字为 ，
因为 的千位数字比 的千位数字大 4，
所以在 中，满足条件的 只有 组： ， ， ， ，
因为 ，所以 的百位数字比 的百位数字小，
假设剩余的 个数字为 ，且 ，
①若 的百位数字取 ，则 的百位数字有 种选择， 的十位和个位数字有 种选择， 的十位和个位
数字有 种选择，共有 种选择，
②若 的百位数字取 ，则 的百位数字有 种选择， 的十位和个位数字有 种选择， 的十位和个位
数字有 种选择，共有 种选择，
③若 的百位数字取 ，则 的百位数字有 种选择， 的十位和个位数字有 种选择， 的十位和个位
数字有 种选择，共有 种选择，
④若 的百位数字取 ，则 的百位数字有 种选择， 的十位和个位数字有 种选择， 的十位和个位
数字有 种选择，共有 种选择，
⑤若 的百位数字取 ，则 的百位数字有 种选择， 的十位和个位数字有 种选择， 的十位和个位
数字有 种选择，共有 种选择，
综上所述，满足条件的排列共有 种.
四、解答题：本大题共 5小题 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某企业统计了过去 5年的营业额（单位：千万元），得到数据如下表：
第 x 年 1 2 3 4 5
营 业
7 8 12 14 19
额 y
（1）已知 y 与 x 有较强的线性相关关系，求 y 关于 x 的经验回归方程，并预测今年的营业额；
（2）如果某年营业额不低于 10千万元，则称该年营业额“达标”.从表格 5年数据中随机选取 3年数据，设
表示营业额“达标”数据的年数，求 的期望与方差.
参考公式：在经验回归方程中 ， ， ，
参考数据： ， .
【答案】（1）经验回归方程为 ，预测今年营业额为 21千万元；
（2） ，
【解析】
【分析】（1）先计算样本均值，代入经验回归系数公式求得 和 得到回归方程，再代入 预测今年营
业额；
（2）判断 X服从超几何分布，利用超几何分布的期望、方差公式求解.
【小问 1详解】
计算样本均值： ， ， 已知 ，
，
代入公式得： ， ，
故 关于 的经验回归方程为 ，
今年为第 6年，即 ，代入得 ，
即预测今年营业额为 21千万元.
【小问 2详解】
由题意可知，5年中营业额达标的年份共 3年，不达标的年份共 2年，从 5年中随机选取 3年， 表示达
标年数，
则 服从参数为 的超几何分布，所有可能取值为 1,2,3，
根据超几何分布的期望公式： ；
根据超几何分布的方差公式：
16. 已知函数 图象关于直线 对称，且 .
（1）求 的值；
（2）求 被 7整除的余数.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据对数真数大于 求出定义域，利用定义域关于 对称求出 ，再借助轴对称性质
约去对数项建立等式解出 ，最后计算 ；
（2）将 变形为 用二项式展开消去含 的整除项，再对剩余 拆为 再次二项
式展开，消去含 的整除项得到除以 7 的余数.
【小问 1详解】
由 定义域关于 对称，所以定义域为 ，
所以 ，得 ，
由对称性 ，代入 得 ，
在定义域内 ，故 ，解得 . 所以 .
【小问 2详解】
时 ， ，
因为 ，
所以 被 整除的余数与 被 整除的余数相同，
又 ，
所以 被 整除的余数与 被 整除的余数相同，
因为 被 整除的余数是 ，故 被 整除的余数为 .
17. 已知函数 ， .
（1）当 时，求 在 上的值域；
（2）若 在 上单调递减，求 的取值范围.
参考数据： .
【答案】（1）
（或近似值 ）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入 后求导，判断函数在给定区间的单调性，计算极小值与端点值比较得到值域；
（2）由单调递减的性质得导数在 上恒非正，分离参数后转化为求二次函数的最值，得到 的取值范
围.
【小问 1详解】
当 时， ，定义域为 ， 求导得：
，
因 ，故 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
故 在 处取区间最小值： ，
又 ， ， 比较得最大值为 ，
故值域为 .
【小问 2详解】
若 在 上单调递减，则对任意 ， 恒成立， ，
因 ，不等式整理得 ，
令 ，由 得 ，
设 ， ， 为开口向上的二次函数，对称轴为 ，
故 的最小值为 ，
因此 ，解得 ，
即 的取值范围为 .
18. 甲乙两名同学进行乒乓球比赛，比赛采用三局两胜制.已知每局比赛中若甲先发球，其获胜的概率为 ，
否则其获胜概率为 .
（1）若第一局甲先发球，以后每局由负方先发球.规定胜一局计 1分，负一局计 0分.记 X 为比赛结束时甲
的得分，求 X 的分布列与期望；
（2）若第一局比赛采用抛硬币方式决定谁先发球，以后每局交替发球.
（i）求比赛结束时甲获胜的概率；
（ii）求在甲先胜第一局条件下乙最终逆袭获胜的概率.
【答案】（1）X的分布列：
0 1 2
； （2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）先确定 的所有可能取值为 0、1、2，枚举不同得分对应的所有比赛进程，结合负方发球的
规则计算每个取值的对应概率，写出分布列后代入期望公式计算数学期望；
（2）（i）按甲 2:0获胜、甲 2:1获胜两种获胜情况分类，结合交替发球的规则分别计算两类情况的概率，相
加得到甲获胜的总概率；（ii）利用条件概率公式 ，分别计算甲先胜第一局的概率和
甲先胜第一局且乙逆袭获胜的概率，代入公式得到所求条件概率.
【小问 1详解】
的可能取值为 ，
：甲连输前两局，比赛结束， ；
：前两局甲乙各胜 1局，第三局乙胜，分两种情况：
① 第一局甲胜、第二局甲负、第三局甲负： ② 第一局甲负、第二局甲胜、第三局甲负，
故 ；
；
X的分布列：
0 1 2
；
【小问 2详解】
（i）第一局抛硬币确定发球，甲先发球概率为 ，乙先发球概率为 ，交替发球，
若第一局甲先发球（发球顺序：甲→乙→甲），
甲获胜概率 ；
若第一局乙先发球（发球顺序：乙→甲→乙），
甲获胜概率 ；
总甲获胜概率 .
（ii）记 甲先胜第一局， 乙最终逆袭获胜，所求为 ，
乙逆袭需要乙赢下第二、三局， ① 第一局甲先发球： ；
② 第一局乙先发球： ；
故 ，又 ，
因此 .
19. 已知函数 ， .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）函数 ，当 时，
（i）证明： 有唯一的极值点 ，且 ；
（ii）若 为 的零点，且 ，证明： .
【答案】（1） 在 上单调递增，在 上单调递减.
（ 2）由已知， ， ，
.
证明：（i） ，令 ， ，
则 ，所以 在 上单调递减.
因为 ，所以 ，
所以 ， .
根据零点存在定理，可知 ，使得 ，即 .
当 时， ，即 ， 单调递增；
当 时， ，即 ， 单调递减.
综上， 有唯一的极值点 ，且 .
（ii）由（i）知 ，即 ，所以 .
因为 为 的零点，且 ，所以 ，即 ，可得 .
将 代入 中，可得 ，即 .
因为当 时， ，又 ，所以 ，
所以 .
对 两边同时取对数得 ，移项可得 .
综上， 得证.
【解析】
【分析】（1）对函数 ，再根据 的取值范围讨论 的单调性.
（2）构造辅助函数，结合零点存在定理证明（i），利用（i）中结论，借助 时， 完成放缩
即可证明（ii）.
【小问 1详解】
已知函数 ，定义域为 ，
，
又 ， ，所以 恒成立.
当 时， ，则 ， 单调递增；
当 时， ，则 ， 单调递减.
综上， 在 上单调递增，在 上单调递减.
【小问 2详解】2026年春季高二年级期末考试
数学
本试卷共 4页，19题.全卷满分 150分.考试用时 120分钟.
祝考试顺利
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知幂函数 在 上单调递减，则 （ ）
A. 1或 2 B. 0或 1 C. 1 D. 2
3. 若随机变量 ，且 ，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
4. 对于实数 ，“ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 若随机事件 A，B 的概率满足 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 编号为 1，2，3，4，5的五台旅游车停在编号为 1，2，3，4，5的五个车位上，每个车位只能停一台车，
则恰好有两台车编号与车位编号一致的停车方法总数为（ ）
A. 20 B. 30 C. 40 D. 60
7. 已知函数 ，若 都有 成立，则实数 m
的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 从集合 的非空子集中随机取出两个不同的集合 M，N，则在 的条件下 中
恰有 3个元素的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 在回归模型中决定系数 越大，则表示残差平方和越小，模型拟合效果越好
B. 利用 进行独立性检验时 的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量越独立
C. 若事件 A，B 满足 ， ，则 A，B 相互独立与互斥不能同时成立
D. 若随机变量 ，则
10. 已知 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A. 的极小值点为 2
B. 若 有 2个零点，则实数 的取值范围为
C. 对于区间 上任意两个实数 ，都有
D. 设 ， 只有一个极值点，则实数 的取值范围为
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 已知函数 是定义在 上的周期为 2 的奇函数，当 时， ，则
________.
13. 已知函数 ，则函数 的图象在点 处的切线方程为________.
14. 将 1，2，3，4，5，6，7，8随机排成一行，前四个数字依次构成一个四位数 ，后四个数字依次构成
一个四位数 ，已知 的千位数比 的千位数恰好大 4，则满足 的不同排列数有_____个（用
数字作答）.
四、解答题：本大题共 5小题 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某企业统计了过去 5年的营业额（单位：千万元），得到数据如下表：
第 x 年 1 2 3 4 5
营 业
7 8 12 14 19
额 y
（1）已知 y 与 x 有较强的线性相关关系，求 y 关于 x 的经验回归方程，并预测今年的营业额；
（2）如果某年营业额不低于 10千万元，则称该年营业额“达标”.从表格 5年数据中随机选取 3年数据，设
表示营业额“达标”数据的年数，求 的期望与方差.
参考公式：在经验回归方程中 ， ， ，
参考数据： ， .
16. 已知函数 图象关于直线 对称，且 .
（1）求 的值；
（2）求 被 7整除的余数.
17. 已知函数 ， .
（1）当 时，求 在 上的值域；
（2）若 在 上单调递减，求 的取值范围.
参考数据： .
18. 甲乙两名同学进行乒乓球比赛，比赛采用三局两胜制.已知每局比赛中若甲先发球，其获胜的概率为 ，
否则其获胜概率为 .
（1）若第一局甲先发球，以后每局由负方先发球.规定胜一局计 1分，负一局计 0分.记 X 为比赛结束时甲
的得分，求 X 的分布列与期望；
（2）若第一局比赛采用抛硬币方式决定谁先发球，以后每局交替发球.
（i）求比赛结束时甲获胜的概率；
（ii）求在甲先胜第一局条件下乙最终逆袭获胜的概率.
19. 已知函数 ， .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）函数 ，当 时，
（i）证明： 有唯一的极值点 ，且 ；

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