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湖南长沙市第十五中学2025-2026学年高二下学期期末考试
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．校运会开始了，高二某班四位同学报名参加百米 跳高 跳远三个项目，每人只能报其中一个项目，则有（ ）种不同的报名方案.
A． B．
C． D．
4．中国书法源远流长，是中国汉字特有的一种传统艺术.中国书法的五种主要书体为篆书体、隶书体、楷书体、行书体、草书体.现有甲、乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选一种进行研习，且相互独立，则甲不选隶书体、乙不选草书体的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知随机变量，且，则（ ）
A．0.1587 B．0.1827 C．0.3173 D．0.8413
6．已知是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
7．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A． B． C． D．
8．2026年五一假期，有760余万人来长沙旅游，橘子洲 岳麓山五天合计接待近86万人次.为了解某旅游景点不同时段的入口游客流量，从上午9点开始景点值班人员第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据，其中为第次入口人流量数据（单位：百人），由此得到关于的回归方程.已知，根据回归方程（参考数据：），可预测下午3点时入口游客的人流量为（ ）
A．9.6 B．11.0 C．11.3 D．12.0
二、多选题
9．下列判断正确的有（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
10．已知函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．的个位数字是9
11．已知函数的定义域为是偶函数，且当时，，则以下结论正确的是（ ）
A．在内的值域为
B．
C．在区间内单调递减
D．在内零点之和为16
三、填空题
12．计算：___________.
13．已知一组样本数据，且，平均数，则该组数据的方差为______．
14．已知函数其中.如果对于任意，，且，都有，则实数的取值范围是___________.
四、解答题
15．某校积极推进“五育并举”育人实践，计划开设围棋选修课程，随机调查了100名学生，得到如下列联表.
性别 是否喜欢围棋 合计
是 否
男生 m 20
女生 20 50
合计 n 100
(1)求的值
(2)根据的独立性检验，能否认为性别与喜欢围棋有关联？
(3)为推动围棋课程开设，该校举办了围棋比赛，最后甲 乙两人晋级决赛，决赛规则如下：五局三胜，没有平局.已知每局甲胜乙的概率为，在甲第一局失败的条件下，求甲最终获胜的概率.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．如图，多面体中，平面，四边形为菱形，，，，．
（1）求证：；
（2）若，三棱锥的体积为，求平面与平面所成角的余弦值．
17．已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，离心率.
(1)求出椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的上焦点作直线与椭圆交于，两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
18．已知函数 f（x）=ax2+2x﹣lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若 a=4，求函数 f（x）的极值；
（Ⅱ）若 f′（x）在区间（0，1）内有唯一的零点 x0，求 a 的取值范围．
19．一般地，对于定义在区间上的函数：
若存在，使得，则称为函数的一阶不动点，简称不动点；
若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，简称稳定点．
已知函数，（）．
(1)求函数的不动点的集合；
(2)若函数有两个相异的不动点，，且，求的取值范围；
(3)若函数的不动点和稳定点的集合分别为和，当时，求的取值范围：
《湖南长沙市第十五中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D A A C C ABD BC
题号 11
答案 ABD
1．D
2．B
3．B
4．D
5．A
6．A
7．C
8．C
9．ABD
10．BC
11．ABD
12．28
13．58.2
14．
15．(1)，
(2)不能认为性别与喜欢围棋有关联
(3)
16．（1）证明见解析；（2）．
17．(1)
(2)存在，
18．(1)见解析(2)
19．(1)
(2)
(3)

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