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黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年下学期期末考试
高二年级数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．0 C． D．
2．已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知幂函数在上单调递减，则（ ）
A． B．3 C． D．
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知且，函数对任意实数，，都有成立，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数在区间上单调递增的有（ ）
A． B．
C． D．
10．中，角，，所对的边分别为，，，且，则（ ）
A． B．若且有两解，则
C．若，则 D．若，则面积最大值为
11．已知函数，．令，，则下列说法正确的是（ ）
A．在处取得最小值
B．为偶函数，且
C．方程在区间内有且仅有两个实根
D．对任意，都有
三、填空题
12．已知向量，，则在方向上的投影向量的模为______
13．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是______.
14．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．
四、解答题
15．已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和．
16．某中学教师对该校高二年级学生期中考试的数学成绩（总分分）进行统计分析.在整个年级中随机抽取了名学生的数学成绩，将数学成绩分为，，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于分为优秀.
(1)求这名学生中数学成绩为优秀的人数；
(2)求这名学生的数学成绩的上四分位数；
(3)在样本中，采取分层抽样的方法从数学成绩在内的学生中抽取名，再从这名学生中随机抽取名，记这名学生中数学成绩为优秀的人数为，求的分布列与数学期望.
17．如图，在四棱锥中，平面平面，， ，，，，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知椭圆：的离心率为，且与直线 有且只有一个公共点．
(1)求的标准方程；
(2)设一动直线不经过坐标原点，与交于，两点，且 ．
（ⅰ）证明：点到直线的距离为定值；
（ⅱ）求面积的最大值．
19．已知函数（），．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值；
(3)当时，证明：对任意的，恒成立．
《黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年下学期期末考试高二年级数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C C B C D D ABC BCD
题号 11
答案 ABC
1．C
2．A
3．C
4．C
5．B
6．C
7．D
8．D
9．ABC
10．BCD
11．ABC
12．
13．
14．/
15．(1)
(2)
16．(1)50
(2)
(3)
17．(1)因为平面平面，，平面平面，平面，
可得平面，则，
又因为，，平面，
所以平面.
(2)
18．(1)
(2)（ⅰ）设直线的斜率存在，其方程为，.
联立，消去得 ，
则，
化简得，，
因为 ，所以 ，即 ，
而，
代入得 ，
所以 ，
整理得 ，所以，满足.
所以点到直线的距离，
由，得.
当直线的斜率不存在时，设：，代入椭圆方程得，
则，由 ，得 ，
即，解得，所以，仍然成立.
综上，点到直线的距离为定值.
（ⅱ）
19．(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减；
(2)；
(3)证明：当时，，
要证明对任意的，恒成立，
即证明，即，
令，则，
令，得，
所以当时，单调递减；当时，单调递增；
所以，
所以，即，
令，
则有，
又因为，
所以，
所以对任意的，恒成立．

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