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河南许昌市2025-2026学年第二学期期末质量检测高一
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．一组数据1，3，4，7，8，9，10的第75百分位数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．已知，为单位向量，且与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
4．有五张相同的卡片，分别标有1，2，3，4，5，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．下列结论正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是四棱台
B．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
C．侧棱长与底面多边形的边长相等的正棱锥可能是正六棱锥
D．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
6．若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标不可能为（ ）
A． B． C． D．
7．若非零向量与满足，且，则为（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．直角三角形
8．在长方体中，，，，点是棱的中点，点在棱上，且满足，是侧面内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设是两个概率大于的随机事件，则下列说法正确的是（ ）
A．若和互斥，则和一定相互独立
B．若，则
C．若和相互独立，则和一定不互斥
D．
10．已知向量，，则（ ）
A．
B．与的夹角的余弦值为
C．在上的投影向量的坐标是
D．若与的夹角为锐角，则的取值范围为
11．已知圆锥，是圆锥底面圆的直径，点是底面圆周上异于，的动点，若，，则（ ）
A．圆锥的轴截面面积为3
B．直线与底面所成角的正弦值为
C．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
三、填空题
12．某校有男生人，女生人，按男生、女生进行分层，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取人测量身高，则抽取的男生人数为________．
13．一个圆台的上底面圆采用斜二测画法绘制的直观图面积为，已知圆台下底面半径为，圆台母线与底面所成的角为，则该圆台的侧面积为________．
14．已知圆的半径为4，若三个全等的正方形能完全覆盖圆，则正方形边长的最小值为________．
四、解答题
15．如图，在正四棱锥中，已知侧棱与底面边长都等于3，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成的角的余弦值．
16．某高中为了解高一学生周末自主学习时长情况，从高一全体学生中随机抽取50名学生开展调查，统计他们某一个周末自主学习时长（单位：小时），作出如下频数分布表
分组（小时）
频数 2 6 12 16 10
(1)求的值，并根据数据绘制频率分布直方图；
(2)依据频率分布直方图估计这50名学生自主学习时长的中位数和平均数；
(3)从自主学习时长落在和的学生中随机抽取2人，求这两人来自不同分组的概率．
17．在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若外接圆半径为，求周长的取值范围．
18．已知中，点在边上，且，为线段的中点．
(1)用，表示；
(2)若，且，，三点共线．
（ⅰ）求；
（ⅱ）若，且，证明：．
19．如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，侧棱，为棱上的一点，且．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求四面体的外接球被平面所截得的截面圆的面积．
《河南许昌市2025-2026学年第二学期期末质量检测高一数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B D C B D BC ABD
题号 11
答案 ACD
1．A
2．C
3．B
4．B
5．D
6．C
7．B
8．D
9．BC
10．ABD
11．ACD
12．
13．
14．
15．(1)因为四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
(2)
16．(1)，
(2)，
(3)
17．(1)
(2)
18．(1)
(2)（ⅰ）
（ⅱ）由（ⅰ）知，所以，且，
所以 ，
又因为，所以，
即，
所以 ，
即，，因此．
19．(1)由题意可知：，
因为平面，平面，则，
且，，平面，可得平面，
由平面可得．
在中，，
在中，，
在中，则，可得，
且，平面，
所以平面．
(2)
(3)

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