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陕西商洛市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的短轴长为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．某校学生会共有6名女干部和4名男干部，现从中随机选取3名干部组成“校园文明督察队”，则该督察队中至少含有1名男干部的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数的最大值为，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
6．已知事件与相互独立，的对立事件为，当时，，则（ ）
A．0.3 B．0.15 C．0.85 D．0.7
7．已知函数若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的焦点为F，点B在C的准线上，且线段与C交于点A．若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，则（ ）
A．的虚部为 B．
C． D．在复平面内对应的点位于第二象限
10．一质点的运动方程为，其中是时间（单位：），是位移（单位：），若该质点在时的瞬时速度为，瞬时加速度为，则（ ）
A． B． C． D．
11．在棱长为4的正方体中，点E在棱上，且，P是底面内的动点，则（ ）
A．的最小值是
B．正方体内切球的表面积为
C．当时，的最小值为
D．当取得最小值时，四棱锥的体积为
三、填空题
12．若的展开式的常数项为54，则________．
13．已知双曲线：的右焦点为，是的一条渐近线上的点．若的最小值为2，且的实轴长为6，则的离心率为________．
14．对于数列，，若（为常数），则称是的“和数列”．已知为等差数列，，，且是的“和数列”，则________，数列的前项和________．
四、解答题
15．某校研究性学习小组随机抽取了该校120名学生，调查了他们每天的睡眠时长（单位：小时）与课堂注意力状况，整理数据后得到下表：
单位：人
课堂注意力 睡眠时长
在内 在内 在内
集中
一般
分散
(1)以频率估计概率，分别估计该校学生睡眠时长在、内的概率；
(2)若将注意力集中和注意力一般合称为“注意力正常”，将注意力分散称为“注意力不集中”，根据所给数据，完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断课堂注意力状况与睡眠时长有关？
单位：人
课堂注意力状况 睡眠时长 合计
少于8小时 不少于8小时
正常
不集中
合计
附：，．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．设等差数列的前项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，证明：．
17．在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且，，．
(1)求四棱锥的体积．
(2)若为的中点，点满足，证明：平面．
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
18．水产实验室对甲、乙两种鱼苗饲料进行两轮标准化培育测试：鱼苗饲料需依次通过适口性筛选、养殖存活率实测，两轮测试独立进行，任意一轮不达标则淘汰，两轮测试全部通过则该种鱼苗饲料测试合格．两种鱼苗饲料各阶段的通过率如下表所示（其中）：
适口性筛选通过率 养殖存活率实测通过率
甲
乙
(1)试问甲、乙两种鱼苗饲料哪一种测试合格的概率更高？
(2)若，记这两种鱼苗饲料中测试合格的饲料种数为，求的分布列与数学期望．
19．（1）证明：．
（2）已知函数．
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）若，求的取值范围．
《陕西商洛市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C D D A A BCD BC
题号 11
答案 ABD
1．C
2．B
3．D
4．C
5．D
6．D
7．A
8．A
9．BCD
10．BC
11．ABD
12．3
13．/
14．
15．(1)0.25，0.75
(2)
课堂注意力状况 睡眠时长 合计
少于8小时 不少于8小时
正常 64 36 100
不集中 16 4 20
合计 80 40 120
与睡眠时长无关
16．(1)
(2)证明见解析
17．(1)
(2)证明：过点作，交于点，连接．
因为，所以．因为为的中点，，所以．
又，所以四边形是平行四边形，则．
因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面．
因为，所以平面平面．
因为平面，所以平面．
(3)
18．(1)甲种鱼苗饲料测试合格的概率更高
(2)
19．（1）证明：令，则．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，即．
（2）（i）（ii）

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