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(共24张PPT)
一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.
其中，x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
列表、描点、连线
2.通常怎样画一个函数的图象？
1.二次函数是如何定义的？
3.二次函数的图象是什么形状呢？
26.2.1 二次函数 y=ax2的图象和性质
1.正确理解抛物线的有关概念.
2.会用描点法画出二次函数y=ax 的图象，概括图象的特点.
3.掌握二次函数y=ax 的图象和性质，并会应用.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
画出二次函数y=x2的图象.
9
4
1
0
1
9
4
(1) 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
二次函数y=ax2(a＞0)的图象和性质
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
2. 描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y)
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
-3
3
o
3
6
9
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
x
y
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
x
O
y=x2
议一议
1.y＝x2是一条抛物线；
y
5.图象有最低点．
4.顶点（ 0 ，0 ）；
3.图象关于y轴对称；
2.图象开口向上；
问题：观察二次函数y=x2的图象，y随x的如何变化？
(-2,4)
(-1,1)
(2,4)
(1,1)
从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．
O
解：列表如下.
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
描点、连线，如图所示：
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
（1）函数 的图象与函数 的图象相比，有什么共同点和不同点？
（2）二次函数 开口大小与a的绝对值大小有什么关系？
思考
对于抛物线 y = ax2 （a＞0）
抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，越大，抛物线的开口越小.
解：列表如下.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … 　 　 　 　 　 　 …　
-9
-4
-1
0　
-1
-9
-4
在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
二次函数y=ax2(a0)的图象和性质
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
描点、连线，如图所示：
（1）从函数 的图象，考虑这些抛物线有什么相同点和不同点.
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
（2）二次函数 开口大小与a的绝对值大小有什么关系？
思考
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0）
抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，越大，抛物线的开口越小.
问题：观察图象，y随x的变化如何变化？
从二次函数y=-x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．
y
2
4
-2
-4
O
-3
-6
-9
x
(2,-4)
(-2,-4)
(3,-9)
(-3,-9)
y=-x2
y＝ax2 a>0 a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上，在x轴上方
开口向下，在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
观察右边图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？
二次项系数互为相反数， 开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
x
y
O
y=ax2
y=-ax2
交流讨论
1.函数y=5x2的图象的开口 ，对称轴为 ，顶点是 ；抛物线有最 点，函数有最 值；
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，
在对称轴的右侧，y随x的增大而 .
2.函数y=-3x2的图象的开口 ，对称轴为 ，顶点是 ；
抛物线有最 点，函数有最 值；
在对称轴的左侧， y随x的增大而 ，
在对称轴的右侧， y随x的增大而 .
向上
向下
y轴
y轴
(0，0)
(0，0)
减小
减小
增大
增大
低
大
高
小
二次函数y=ax2的图象及性质
画法
描点法
在对称轴两侧对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
1.如右图，观察函数y=(k-1)x2的图象，则k的取值范围是 .
k>1
x
y
O
2.若抛物线y=ax2 (a ≠ 0)，过点(-1，2).
（1）则a的值是 ；
（2）对称轴是 ，开口 .
（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 点 .
抛物线在x轴的 方（除顶点外）.
（4）若A(x1 , y1)，B(x2 , y2)在这条抛物线上，且x12
y轴
向上
（0，0）
低
上
>
3.下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax+b的图象是（　　）
A． B． C． D．
D
4.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得
解得
所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
B

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