资源简介

(共17张PPT)
1.若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)，(1，0)，则方程kx＋b＝0的解是_____.
2.一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝－3的解是__________．
x＝1
x＝－2
3．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时, 它就变成了一个一元二次方程, 由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系.
那么，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢？
以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系. 类似地，可以从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系.
26.3 课时1 二次函数与一元二次方程的联系
1.理解二次函数与一元二次方程之间的联系，能应用其解决相关问题.
如图，下列二次函数的图象与x轴有没有公共点？若有，求出公共点的横坐标；当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？
（1）y=x2-x+1；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2+x-2.
二次函数与一元二次方程的关系
1
x
y
O
y = x2－6x＋9
y = x2－x＋1
y = x2＋x－2
观察图象，完成下表：
抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次方程的根
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9
y = x2＋x－2
0个
1个
2个
x2-x+1=0无解
3
x2-6x+9=0，x1=x2=3
-2, 1
x2+x-2=0，x1=-2，x2=1
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有两个重合的交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
1.抛物线y=3x2+6x+3与x轴的交点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2.二次函数y=x2+bx+1与x轴有两个不同的交点，b的值可以是（ ）
A．b=-3 B．b=-2 C．b=-1 D．b=2
B
A
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：
h=20t-5t2，
小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多长时间？
二次函数与一元二次方程的实际应用
分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数h = 20t 5t2的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程 20 = 20t 5t2的根的问题.
球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为20m？
O
h
t
20
2
解方程：
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
h=20t-5t2
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（3）球从飞出到落地要用多少时间？
O
t
15
1
3
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
解：（1）解方程 15=20t-5t2t2-4t+3=0,得t1=1，t2=3.
结合上图，指出为什么在两个时间小球的高度为15m？为什么球不能达到20.5m的高度
h=20t-5t2
变式：
O
h
t
20.5
（2）解方程：20.5=20t-5t2t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5m.
（3）解方程：0=20t-5t2t2-4t=0,得t1=0，t2=4.
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.
即0s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面.
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c（a≠0）就是一个一元二次方程.
为一个常数（定值）
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
已知函数取定值，求自变量x的值时，二次函数问题就转化成了一元二次方程问题．
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)0
m＝ax2＋bx＋c(a≠0)0
令y＝m
二次函数
一元二次方程
转化思想
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)0
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)0
令y＝0
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c
的值为0，求自变量x的值
确定抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴公共点的横坐标
形
数
方程观点
函数观点
求一元二次方程的解
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值可以看作解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0 可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
3.已知二次函数y=x2-6x+8的图象，利用图象回答问题：
(1)方程x2-6x+8=0的解是什么？
(2)x取什么值时，y＞0？
(3)x取什么值时，y＜0？
x
y
O
2
4
8
解：(1)x1=2，x2=4.
(2)x＜2或x＞4.
(3)2＜x＜4.
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式 的符号
一元二次方程根的情况
Δ
1．下列抛物线中，与x轴有两个交点的是(　　)
A．y＝3x2－9x＋3 B．y＝2x2－4x＋12
C．y＝x2－6x＋9 D．y＝5x2－3x＋9
A
2．已知二次函数y=x2 3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1, 0)，则关于x的一元二次方程x2 3x+m=0的两实数根是( )
A. x1=1, x2= 1 B. x1=1, x2=2 C. x1=1, x2=0 D. x1=1, x2=3
B
3．二次函数y = kx2 6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A. k<3 B. k<3且k≠0 C. k≤3 D. k≤3且k≠0
D
4.已知抛物线的部分图像如图所示，求方程的解.
解：由图像可知抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
设抛物线与x轴的另一个交点为（），则，
解得：．
∴方程的解为或．
5.已知二次函数与x轴有两个交点．
(1)求实数k的取值范围．
(2)若此二次函数有最小值-3，求k的值．
解:(1)令
∵二次函数与x轴有两个交点，
∴Δ0，即，解得．
(2)，
∵a=，∴x=-1时，y有最小值2k-5，
∵此二次函数有最小值-3，∴2k-5=-3，
解得k=1．

展开更多......

收起↑