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将一个物体抛向空中，时间与高度将成二次函数关系，该物体最多可以抛多高呢？
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
26.4 课时1 最大高度与最大面积问题
1.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值
2.能应用二次函数的性质解决问题中的最大高度和最大面积问题.
最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题.
在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h=－4.9t +2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.）
分析：“达到最高点”和“最大高度”分别对应二次函数的什么量？转化为二次函数问题，对应是求什么？
求二次函数的最大（或最小）值
如何找出自变量与函数的最大值？
由顶点式 = ( ) 的性质：顶点坐标为可知当时函数值有最大值，.即：
解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为运动员重心的最大高度.
即运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m.
函数h=－4.9t +2.8t+11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，请描述运动员的整个运动过程.
(0.3, 11.4)
运动员跳水的整个运动过程：运动员从11m高度起跳，先向上做减速运动,在起跳0.3s时到达11.4m的最高点，随后向下做加速运动，在起跳约1.8s时落入水中，整个过程的重心高度变化呈现先增后减的抛物线形态.
x
y
O
x
y
O
最小值
最大值
二次函数 的最值由a及自变量的取值范围决定.
当a＞0时，有 ，此时 .
当a＜0时，有 ，此时 .
当自变量x有限制时，先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在x= 时，取得最大（或小）值；若不在，则根据二次函数的增减性确定二次函数的最值.
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h= 30t - 5t 2
解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度．
即小球运动的时间是3 s时，小球最高，且最大高度是45 m．
a＝－5可知图象的开口向下，又t的取值范围0≤t≤6，可画如上函数图象
当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定：
1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.
3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.
利用一面墙（墙的长度不限），用 长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？
矩形面积
设垂直于墙的边长为
则平行于墙的边长为
二次函数与几何图形面积的最值
(1) 设矩形菜园面积为S，求S与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.
(2) 当 x是多少米时，矩形菜园面积 S 最大？
解：设垂直于墙的边长为m，则平行于墙的边长为m，矩形菜园的面积
即
当时，S有最大值
因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m2
注意在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义.如菜园的边长应为正数，即，且，于是自变量的取值范围是.
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
用总长为60米的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(平方米)随矩形一边长l(米)的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
解：根据题意得
S=l(30-l)，
即 S=-l2+30l (0因此，当 时，S有最大值
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
5
10
15
20
25
30
100
200
l
s
O
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
1.若正方形的周长为acm,面积为Scm2,则S与a之间的函数解析式为(　　)
A. S=a2 B. S=a2 C. S=a2 D. S=a2
2.有一个周长为12的矩形,当其面积最大时,其一边长为(　　)
A. 3 B. 6 C. 2 D.
C
A
3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动．已知P，Q两点分别从A，B两点同时出发．
(1)求△PBQ的面积关于运动时间的函数解析式；
(2)求△PBQ面积最大值．
解：(1)设t s时，△PBQ的面积为 S.　
根据题意，得S＝BP·BQ＝(12－2t)×4t＝24t－4t2(0≤t≤6)．　
∴S关于t的函数解析式为S＝24t－4t2(0≤t≤6)．　
(2)∵S＝24t－4t2＝－4(t－3)2＋36，∴当t＝3 时，△PBQ的面积有最大值，为36 mm2.　　
4.如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长 15 m 的墙，想用长为 40 m 的网绳围成一个矩形 ABCD 给奶奶养鸡，怎样使矩形 ABCD 的面积最大呢 同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设 BC 的边长为 x m. 矩形 ABCD 的面积为 S m2 不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：
(1) 求 S 与 x 的函数关系式，直接写出 x 的取值范围；
(2) x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大
A
B
C
D
15m
(0＜x≤15).
A
B
C
D
15m
解：设 BC 的边长为 x m，
(1) 由题意得，
(2)
∴ 当 x＜20 时，S 随 x 的增大而增大，
而 0＜x≤15.
∴ 当 x = 15 时，S 有最大值，
即矩形 ABCD 的面积最大.
x

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