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第05讲25.2.4一元二次方程的根与系数的关系暑假预习讲义同步训练
新人教版2026—2027学年九年级数学上册
一、选择题
1．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（ ）
A．17 B．6 C．33 D．26
3．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
4．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（ ）．
A． B． C．或 D．或
5．若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（ ）
A． B．2 C．2或 D．1
6．已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（ ）
A．0 B． C． D．
8．对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知，，且，则_____．
10．已知，是关于x的方程的两个不等实数根，且满足，则k的值为_____ ．
11．若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ．
12．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是____ _．
三、解答题
13．关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若、是方程的两个实根，且，求的值．
14．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根互为相反数，求的值．
15．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
16．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”．
(1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）．
①；②；③．
(2)若是“美丽方程”，求的值．
(3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由．
17．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
(1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）．
①；②；③．
(2)已知方程是“邻根方程”，求k的值．
(3)若方程是“邻根方程”，求证：．
18．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
(2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值．
参考答案
1．D
2．C
3．B
4．A
5．A
6．C
7．D
8．A
9．
10．或
11．
12．
13．(1)证明：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由题意可得，，
∵，
∴，
解得．
14．(1)证明：对于一元二次方程根的判别式
展开化简得
∵任意实数的平方为非负数
∴，即
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：设方程的两个实数根为
由一元二次方程根与系数的关系可得
∵两个实数根互为相反数
∴，即
解得．
15．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
（2）方程的两实数根分别为，，
，，
解得，
．
16．【详解】（1）解：①解方程得，．
，符合“美丽方程”定义，
①是“美丽方程”；
②解方程得．
，不符合定义，
②不是“美丽方程”；
③解方程得，．
，符合定义，
③是“美丽方程”．
综上可知，是“美丽方程”的是①③．
（2）解：解方程得，．
该方程是“美丽方程”，
，即，
∴或，
解得或．
(3)，理由：
设方程（）的两个根为，，
方程为“美丽方程”，
，
两边平方得．
由一元二次方程根与系数的关系得：，．
，
，
整理得，
化简得，即，满足的数量关系为．
17．【详解】（1）解：一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”；
一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”；
一元二次方程的两个根是，，此时，故方程是“邻根方程”；
（2）解：解方程，得，，
方程是“邻根方程”，
，
或，
解得或．
(3)证明：设方程的两个根为，，
则， ，且，
方程是“邻根方程”，
，
，
，
，
，
而，
，
故．
18．(1)不是邻根方程，计算如下：
，
，
解得：，
，
∴一元二次方程不是邻根方程；
（2）解：，
，
或，
∵方程（m是常数）是“邻根方程”，
或，
或0；
（3）解：设方程的根为，且，
则，，
将代入得，
化简得，
，，
，
，即，
即，
解得．

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