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第04讲25.2.3因式分解法暑假预习讲义同步训练新人教版九年级数学上册
一、选择题
1．关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（ ）
A． B．1 C．3 D．
2．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
3．关于的一元二次方程的解为（ ）
A．， B． C． D．，
4．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
7．已知实数a，b满足，则的值为（ ）
A．5或 B．或2 C．5 D．2
8．如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第（ ）个图形共有45个小球．
A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题
9．一元二次方程的解为_________．
10．若，其中为实数且，，则____________．
11．关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________．
12．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________．
三、解答题
13．解下列方程：
(1)；
(2)．
14．已知关于x的方程．
(1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
(2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值．
15．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根．
16．换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使问题易于解决．
例：把因式分解．
方法一：整体换元
解：把“”看成一个整体，令．
原式．
方法二：均值换元
解：把“”看成一个整体，令．
原式．
(1)例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为 ；
(2)请利用“换元法”将多项式因式分解；
(3)当式子取得最小值时，求的值．
17．定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“关联方程”．
(1)若关于的一元二次方程为“关联方程”，证明：为“关联方程”的根；
(2)已知是关于的“关联方程”，若是该“关联方程”的一个根，求的值．
18．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．
(1)请你利用这种方法解方程：；
(2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由．
参考答案
1．B
2．A
3．B
4．D
5．B
6．B
7．C
8．A
9．，
10．
11．，
12．，
13．【详解】（1）解：，
因式分解得，
∴或，
解得，；
（2）解：，
整理得，
因式分解得，
∴或，
解得，．
14．(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根；
当时，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意；
当时，解方程，得，，
∵原方程的根均为正整数，m为整数，
∴或2，对应的或均符合题意，
综上，整数的值为或或．
15．【详解】（1）证明： 将原方程整理为一般形式得 ，
∵无论取何实数，
∴，即
∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：把代入原方程得，
整理得，
解得，
把代入原方程得，
整理得，
解得，
∴的值为，方程的另一个根为．
16．【详解】（1）解：；
（2）解：令，则
原式
．
（3）解：令，则原式，
当，即时原式取得最小值，
可得，
解得：，．
17．(1)证明：∵ 一元二次方程为“关联方程” ，
∴，即，
把代入方程左边，得左边，
∴ 左边右边，
∴为“关联方程”的根；
（2）解：∵是关于的“关联方程”，
∴，
∴，
∵是该方程的一个根，
∴，
整理得，
把代入，得，
因式分解，得，
解得或．
18．【详解】（1）解：设，
则原方程可变为：，
解得：，，
当即时，解得：；
当即时，解得：；
∴原方程的解为：，；
(2)是直角三角形；理由如下：
是的三边，
，
，
设，
则原方程可化为，
解得：，（舍去），
得．
又，
．
．
是直角三角形．

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