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第03讲25.2.2公式法暑假预习讲义同步训练新人教版九年级数学上册
一、选择题
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
2．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C． D．
4．关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（ ）
A．两实数根之和为1 B．两实数根之积为1
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
5．已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
6．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．2
8．定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．在实数范围内，存在两个不相等的x的值，使得代数式与的值相等，则k的取值范围是__________．
10．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_________．
11．等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______．
12．已知关于x的方程，其中a、b为实数．
(1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________；
(2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________．
三、解答题
13．若代数式与的值互为相反数，求的值．
14．的三边，，．
(1)求证：是直角三角形；
(2)是否同时存在，，（，，均为正整数）使得？若存在，求，，的值，若不存在，请说明理由．
15．已知关于 的一元二次方程
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个根均为整数，求 的值．
16．已知关于x的方程
(1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根．
(2)若等腰的一边长a为4，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
17．已知关于的一元二次方程，其中为实数．
(1)求证：一元二次方程有实数根；
(2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围．
18．规定：两个含有二次根式的代数式，，满足，且a，b，c，d，m，n，p是有理数，则称与是关于p的“和谐二次根式”．如，则称与是关于5的“和谐二次根式”．
(1)下面两个含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是________________（填序号）；
①与；②与；③与．
(2)若与是关于12的“和谐二次根式”，求t的值；
(3)若两个含有二次根式的代数式与是关于7的“和谐二次根式”，试判断与能否是关于x的一元二次方程的两个根，并说明理由．
参考答案
1．D
2．C
3．A
4．C
5．D
6．C
7．D
8．C
9．
10．
11．
12．
13．【详解】解：∵代数式与的值互为相反数，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
14．(1)证明：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形；
(2)解：不存在，理由如下：
是直角三角形，
，
，
，
，
解得或，线段的长不能为负，舍去，
，
，均为正整数，
一定是有理数，
，是无理数，矛盾，
故不存在，，（，，均为正整数），使得；
15．(1)证明：方程为一元二次方程，故即，
判别式，
方程总有两个实数根．
（2）解：由求根公式得

计算得，，
两根均为整数，为整数，
，
解得或 ．
16．【详解】（1）证明：
∵无论k取何值，
∴
∴无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）解： 由（1）得，
①当时，即方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
∴把代入，
得，
整理得
∴
∴
∵，
∴不能构成三角形，舍去
②当或时，即方程有一个根，
∴
解得：，
方程化为，
解得，
即三边为4，4，2，能构成三角形，
则周长，
∴这个等腰三角形的周长是10．
17．(1)证明：∵，
∴一元二次方程有实数根．
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∴，
解得．
18．【详解】（1）解：①，符合题意；
②，不符合题意；
③，符合题意；
（2）解：由定义得：，
整理得：，
由题意得，
解得；
(3)能，理由如下：
由“和谐二次根式”的定义得，
整理得，
由题意得，
解得，
∴，
对于方程，
∴，，即，
符合根的判别式的要求；
当时，方程为，
∴，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
也符合根的判别式的要求；
∴与是关于x的一元二次方程的两个根．

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