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同步探究学案
课题 25.2.1 配方法（第2课时） 单元 第二十五章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1．探究完全平方式结构，掌握二次项系数为1时配方的核心操作：加一次项系数一半的平方． 2．学会将一元二次方程通过配方转化为完全平方式，再用直接开平方法求解． 3．理解配方本质是构造完全平方式实现降次，感受转化、化归数学思想．
重点 掌握配方法解一元二次方程完整步骤，能对二次项系数为1、不为1的方程正确配方，转化为完全平方式后开平方求解．
难点 理解配方时两边同加一次项系数一半平方的原理，深刻体会配方构造完全平方式、实现降次的化归思想．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．解一元二次方程的实质是什么？ 2．直接对方程两边进行开平方满足的条件是什么？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助直接开平方法，研究配方法解一元二次方程。 探究：怎样解方程 分析：要把方程转化为像这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个________. 为此，对方程移项，得 由，将上述方程两边同时加，即________，方程左边就可以配成形式的完全平方式，即 左边写成完全平方形式，得 解这个方程，得 可以验证，是方程的两个根. 问题1：为什么在方程的两边加9 问题2：加其他数行吗 归纳：配方是为了利用开方实现降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作________. 注意： 配方法的目的：降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解； 配方法的依据：(a±b)2＝a2±2ab＋b2 ． 例：解下列方程: (1)；(2)；(3). 分析:(1)方程的二次项系数为1，可直接运用配方法. (2)方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1.为此，方程的两边都除以2. (3)与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方. 归纳：用配方法解一元二次方程的步骤 一移：将常数项移到方程的右边． 二化：二次项系数不是1时要化为1； 三配：两边都加上一次项系数一半的平方． 四解：利用直接用开平方法求出方程的解． 强调：一般地，一元二次方程可以通过配方转化为 的形式. (1)当时，方程有两个________的实数根 (2)当时，方程有两个________的实数根 (3)当时，因为对任意实数，都有，所以方程________实数根.
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 3．用配方法解下列方程． (1)； (2) 选做题： 4．一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．一元二次方程，配方的结果是（ ） A． B． C． D． 2．把方程化为的形式，则的值是___________． 3．用配方法解下列方程． (1) (2) 选做题： 4．如图，是佳佳用配方法解方程时的过程，她在解答过程中开始出错的步骤为（ ） 解：，① ，② ，③ ，．④ A．① B．② C．③ D．④ 【综合拓展类作业】 5．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值．
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同步探究学案
课题 25.2.1 配方法（第2课时） 单元 第二十五章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1．探究完全平方式结构，掌握二次项系数为1时配方的核心操作：加一次项系数一半的平方． 2．学会将一元二次方程通过配方转化为完全平方式，再用直接开平方法求解． 3．理解配方本质是构造完全平方式实现降次，感受转化、化归数学思想．
重点 掌握配方法解一元二次方程完整步骤，能对二次项系数为1、不为1的方程正确配方，转化为完全平方式后开平方求解．
难点 理解配方时两边同加一次项系数一半平方的原理，深刻体会配方构造完全平方式、实现降次的化归思想．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．解一元二次方程的实质是什么？ 答案：降次，将一元二次方程转化为两个一元一次方程． 2．直接对方程两边进行开平方满足的条件是什么？ 答案：方程的一边为完全平方式，另一边为非负数．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助直接开平方法，研究配方法解一元二次方程。 探究：怎样解方程 分析：要把方程转化为像这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式. 为此，对方程移项，得 由，将上述方程两边同时加，即9，方程左边就可以配成形式的完全平方式，即 左边写成完全平方形式，得 解这个方程，得 可以验证，是方程的两个根. 问题1：为什么在方程的两边加9 预设：完全平方公式，方程左边是 ，对应 2ab=6x ，即一次项系数 6，一半是 3，32=9. 两边同时加 9，左边就能凑成完全平方式：，从而转化为可直接开平方的形式，实现 “降次” 解方程. 问题2：加其他数行吗 预设：等式变形的目标是把左边配成完整的完全平方式，只有添加一次项系数一半的平方，才能凑出标准完全平方式；加别的数无法构造的结构，不能继续用直接开平方法求解，因此不可以加其他数字. 归纳：配方是为了利用开方实现降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 注意： 配方法的目的：降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解； 配方法的依据：(a±b)2＝a2±2ab＋b2 ． 例：解下列方程: (1)；(2)；(3). 分析:(1)方程的二次项系数为1，可直接运用配方法. (2)方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1.为此，方程的两边都除以2. (3)与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方. 解:(1)移项，得 配方，得 由此可得 (2)移项，得 二次项系数化为1，得 配方，得 由此可得 (3)移项，得 二次项系数化为1，得 配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以取任何实数时，都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 归纳：用配方法解一元二次方程的步骤 一移：将常数项移到方程的右边． 二化：二次项系数不是1时要化为1； 三配：两边都加上一次项系数一半的平方． 四解：利用直接用开平方法求出方程的解． 强调：一般地，一元二次方程可以通过配方转化为 的形式. (1)当时，方程有两个不相等的实数根 (2)当时，方程有两个相等的实数根 (3)当时，因为对任意实数，都有，所以方程无实数根.
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 答案：9 3．用配方法解下列方程． (1)； (2) 解：（1） ， ， ， ， ， . （2） ， ， ， ， ，． 选做题： 4．一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 【综合拓展类练习】 5．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 解：（1） ； （2） ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．一元二次方程，配方的结果是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．把方程化为的形式，则的值是___________． 答案：3 3．用配方法解下列方程． (1) (2) 解：（1）原方程化为， ， ，即， ，； （2）原方程化为， ， ， ，即， ，； 选做题： 4．如图，是佳佳用配方法解方程时的过程，她在解答过程中开始出错的步骤为（ ） 解：，① ，② ，③ ，．④ A．① B．② C．③ D．④ 答案：B 【综合拓展类作业】 5．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 解：（1）， 其中只有是两个平方数的和， ； （2） ， ， ； （3）， 要使S对任意整数x, y都为“完美数”，则， 解得．
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