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小结与评价
数据分析
第4章
（湘教版）八年级
下
知识图谱
思考回顾
1.举例说明平均数、中位数、众数的意义, 如何计算一组数据的中位数、众数、加权平均数？
平均数：所有数据的和除以数据的个数。它反映了数据的平均水平。
例如，一组数据{1, 2, 3, 4, 5}，平均数为 = 3
中位数：将数据从小到大排序后，位于中间位置的数。如果数据量是________，则中位数是正中间的数；如果是________，则中位数是中间两个数的平均值。
例如，{1, 2, 3, 4, 5}的中位数是3；{1, 2, 3, 4}的中位数是 = 2.5
奇数
偶数
思考回顾
1.举例说明平均数、中位数、众数的意义, 如何计算一组数据的中位数、众数、加权平均数？
众数：一组数据中出现次数最多的数。
例如，{1, 2, 2, 3, 4, 4, 4}的众数是4。
加权平均数：求一组数据的平均数时，可用不同的数据乘它们的权数再相加，这样求得的平均数称为加权平均数.
例如，面试成绩90，笔记成绩80，总成绩的计算是，面试占40%，笔试占60%，所以总成绩为90×40%+80×60%=84。
思考回顾
2.举例说明离差平方和与方差是如何刻画数据的离散程度的, 如何计算一组数据的离差平方和与方差？
离差平方和：每个数据与平均数的差的平方之和。它反映了数据与其平均数的______________。
例如，数据{1, 2, 3}，平均数为2，离差平方和为(1-2)2 + (2-2)2+ (3-2)2 = 2
方差：设一组数据为 ,各个数据与平均数 之差的平方的平均值, 称为这组数据的方差,记作 ,即=____方差越大，数据越______
偏离程度
分散
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3.对数据进行分类应遵循什么分组原则 把一组数据分成两组, 这组数据的离差平方和 与组内离差平方和 、组间离差平方和 有什么关系
分组原则：使得________________________________
“组内离差平方和最小”
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4.举例说明如何计算一组数据的四分位数. 一组数据的第三四分位数减去第一四分位数的差能刻画这组数据的什么特征
把一组数据从小到大排列,用 表示其中位数,那么 将这组数据分为两个部分, 小于或等于中位数的数据是第一组, 大于或等于中位数的数据是第二组. 将第一组的中位数记作 ,第二组的中位数记作 . 这样, , 这三个数把这组数据分为四个部分,因此称为四分位数. 这三个数分别称为这组数据的第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数.
思考回顾
4.举例说明如何计算一组数据的四分位数. 一组数据的第三四分位数减去第一四分位数的差能刻画这组数据的什么特征
一组数据的第三四分位数减去第一四分位数的差可以用来刻画这组数据的分散程度, 第三四分位数减去第一四分位数的差越大, 这组数据就______________.
越分散
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5.举例说明频数和频数分布的意义, 如何绘制频数直方图, 并利用频数直方图解释数据中蕴含的信息.
每一个小组中的数据个数称为频数；
每一组的频数与数据总数的比值叫作这一组数据的频率.
例 假设某同学掷 10 次硬币的结果为，正面朝上4次，反面朝上6次。
故而，出现 “正面朝上” 的频数是 4,频率为 ;
出现 “反面朝上” 的频数是 6,频率为
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5.举例说明频数和频数分布的意义, 如何绘制频数直方图, 并利用频数直方图解释数据中蕴含的信息.
绘制频数直方图：
（1） 分组
① 确定最小值 和最大值 .
② 确定组距和组数.
（2）列频数分布表
（3）绘制频数直方图
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5.举例说明频数和频数分布的意义, 如何绘制频数直方图, 并利用频数直方图解释数据中蕴含的信息.
利用频数直方图解释数据中蕴含的信息：
（1）观察数据的分布形态：比如数据是集中分布在某个区域，还是分散在多个区域；数据分布是对称的，还是偏左或偏右。
（2）找出数据的中心趋势：通过观察直方图的“高峰”位置，可以大致判断数据的众数所在的范围。同时，也可以结合其他统计量（如平均数、中位数）来更准确地描述数据的中心位置.
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（3）评估数据的离散程度：如果直方图的条形分布比较集中，说明数据的离散程度较小；如果条形分布较散，说明数据的离散程度较大。
（4）识别异常值：如果某个条形的高度远远超过或低于其他条形，那么该条形所代表的数据可能是异常值。
（5）比较不同组数据：如果有多个频数直方图，可以对比它们的形状、位置、离散程度等，来分析不同组数据之间的差异和相似性.
思考回顾
6.举例说明如何用样本估计总体平均数和总体方差.
在满足一定条件（如样本量足够大、抽样随机等）下，可以用样本的平均数和方差来近似估计总体的平均数和方差。
比如，某工厂生产了一批产品, 用简单随机抽样方法从这批产品中抽取 100 件检查, 发现有 3 件次品, 试估计这批产品的次品率.
解 抽取的 100 件产品组成一个样本,这个样本的次品率是 ,因此这批产品的次品率的一个估计值是 。
注意事项
1. 一组数据的平均数与加权平均数的意义不同. 当一组数据中不同的数重复出现时, 我们用权数的大小来反映重复次数的多少; 通常也用权数来反映一组数据中不同成分的比例或重要性.
2. 平均数、中位数、众数从不同侧面反映了数据的集中趋势.
3. 把一组数据分类,应使组内离差平方和 最小.
4. 要善于利用频数直方图解释数据中蕴含的信息. 绘制频数直方图时, 要注意组距的选取. 若组距选择太宽, 则从直方图中无法读取有用信息; 若组距选择太窄, 则直方图中可获取的信息少.
5. 一般地, 当样本容量足够大时, 可以用样本估计总体.
典例精析
【考点一】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
1.一组数据：1，3，3，3，5，若去掉一个数据3，则下列统计量中发生变化的是（　　）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
典例精析
解：
由题意得：
原中位数为3，原众数为3，原平均数为3，原方差为1.8；
去掉一个数据3后的中位数为3，众数为3，平均数为3，方差为2；
∴统计量发生变化的是方差。
根据众数、中位数、平均数和方差的计算法则逐项求解即可
【考点一】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
典例精析
【考点二】方差的计算
一组数据3，2，7，a，7的平均数是5，则这组数据的方差是______
解：由题意得： ，
解得 ，
则这组数据的方差是 ，
故答案为：4.4.
典例精析
【考点三】根据“组内离差平方和最小”进行数据分类
下面是我国 9 个城市 2021 年的平均相对湿度 (单位: %):
53，56，61，62，58，58，66，70，65
将这些平均相对湿度数据分成两组:
第一组, 53，56，58，58 ;
第二组, 61，62，65，66，70 .
试计算上述分组情况下的组内离差平方和.
典例精析
【考点三】根据“组内离差平方和最小”进行数据分类
因此组内离差平方和 为
=16.75
因此组内离差平方和 为
=50.8
典例精析
【考点四】四分位数与箱线图
1. 关于箱线图的描述，下列说法正确的是（ ）
A.箱线图中顶端和底端的两条线分别表示全部数据中的最大值与最小值
B.最顶端和最底端线段中间的距离表示四分位差
C.上下四分位数之间的的高度反映了中间50%数据的集中程度
D.中位数越靠近上四分位数，说明中间50%的数据中的后半部分越分散
典例精析
【考点四】四分位数与箱线图
答案：C
解析：箱线图中最顶端和最底端的两条线表示去掉异常值后的最大值和最小值；
四分位差表示的是上下四分位数之间的距离，反映了中间50%数据的集中程度；
中位数越靠近上四分位数，说明中间50%的数据中心前半部分越分散。
典例精析
【考点四】四分位数与箱线图
2.小明记录了自家一周（7天）的每日用水量（单位：吨），并计算了这些数据的中位数为1.5吨，第一四分位数为1.3吨，第三四分位数为1.7吨。小李也记录了自家一周（7天）的每日用水量（单位：吨），并计算了这些数据的中位数为1.6吨，第一四分位数为1.2吨，第三四分位数为1.8吨。谁家的用水量比较分散？__________________
典例精析
【考点四】四分位数与箱线图
答案：小李
解析：
小明：1.7-1.3=0.4
小李：1.8-1.2=0.6
0.6>0.4，故小李家用水量比较分散
第三四分位数减去第一四分位数的差越大, 这组数据就越分散
典例精析
【考点五】频数与频率、频数直方图
某校现有学生1800人，为了增强学生的防控意识，学校组织全体学生进行了一次防范新型冠状病毒知识测试.现抽取部分学生的测试成绩作为样本，进行整理后分成五组，并绘制成频数直方图，如图.根据图中提供的信息，下列判断不正确的是（　　）
A．抽取的样本中分数在60.5~70.5的有12人
B．样本容量是48
C．每个小组的组距是10
D．不能估计出全校90分以上的人数
典例精析
【考点五】频数与频率、频数直方图
典例精析
【考点五】频数与频率、频数直方图
解：A、抽取的样本中分数在60.5~70.5的有12人，则本项正确，不符合题意；
B、样本容量是则本项正确，不符合题意；
C、每个小组的组距是10，则本项正确，不符合题意；
D、全校90分以上的人数为：（人），则本项错误，符合题意.
【答案】D
典例精析
【考点六】总体的平均数与方差的估计
为了比较甲、乙两班数学学,某中学举行了一场数学竞赛,小明用随机抽样的方法从两个班级中各抽取10名学生的测验成绩(单位:分):
甲:76，90，84，86，81，87，86，82，85，83.
乙:82，84，85，89，79，80，91，89，79，74.
请你分析甲、乙两班的样本平均数、方差,你认为用这两个样本来推断总体平均数和波动情况可靠吗
典例精析
∵甲班的平均数是(76+90+84+…+83)=84,
∴=[(76-84)2+(90-84)2+…+(85-84)2+(83-84)2]=13.2.
∵乙班的平均数是(82+84+85+…+74)=83.2,
∴=[(82-83.2)2+(84-83.2)2+…+(79-83.2)2+(74-83.2)2]=26.36.
∴甲班的平均数大于乙班的平均数,但方差比乙班小,
∴甲班的平均分高于乙班的平均分且波动较小,
甲班数学学习的水平比乙班高.由于是随机抽样,样本容量也较合适,故可靠.
典例精析
【考点七】统计的简单应用
某药店对某品牌药品进行了抽检，共抽查了10盒，每盒100片，发现其中有1盒的药品全部合格，另外9盒各有2片不合格。如果这批药品总共有1000盒，那么估计这批药品的合格率约为_________.
典例精析
【考点七】统计的简单应用
答案：98.2%
解析：首先，计算抽查的1000片（10×100=1000）药品中的合格药品数：1×100+9×(100 2)=982片。
然后，根据这1000片药品的合格率来估计整批100000片（即1000盒）药品的合格率。
合格率 =
作业布置
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