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广东兴宁市宋声学校2026年九年级二模数学试卷
1．某日凌晨测得某山顶的气温为，随着太阳升起，到中午时分气温上升了，则中午时分该山顶的气温是（　　）
A． B． C． D．
2．科学家们在研究微观粒子时发现，某种新型纳米材料的单个粒子的质量极小．经测量，该粒子的质量为0.0000000056千克．数据0.0000000056用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，，将一把含角的直角三角板的直角顶点放在上，延长到点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．计算的结果等于（　　）
A．2 B．x C． D．
6．如图，直线：与双曲线交于，两点．已知，点的纵坐标为，则不等式 的解集为(　　)
A． B．
C．或 D．或
7．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某商店购进A种头盔40个和B种头盔50个共需资金5450元，A种头盔的单价比B种头盔的单价高8元．设A种头盔的单价为x元，B种头盔的单价为y元，根据题意，可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，已知，若，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．在装有氢气（）、氧气（）、氮气（）的三个容器中，若小琪随机抽取两瓶气体做化学实验，则她恰好选到两种气体能反应生成水（）（氢气和氧气混合点燃可生成水）的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，，点，分别在，上，且，将沿着直线折叠得到，点到的距离为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．因式分解： 　 　．
12．计算：　 　．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-1，2），点B（-3，-1），点C（-2，-2），平移△ABC，使点A落在点D（2，1）处，则点C的对应点F的坐标为　 　．
14．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为a和b，则的值为　 　．
15．如图，已知一次函数图象与坐标轴交于M，N两点．点P是x轴上一点，其横坐标为，若△MNP的面积为S，则S与a的函数关系式为　 　．
16．解不等式组：
17．如图，为的直径，与相切于点，点在的延长线上，，猜想与的位置关系，并证明你的结论．
18．如图，这是某座抛物线形拱桥的示意图，当桥下水面的宽度为米时，拱高为米．现在有一艘高度为米的小船需要从桥下通过，为了安全通过，小船在桥下水面的宽度不能超过多少米
19．如图，四边形是菱形，B是的中点，连接交于点M．
（1）求证：．
（2）连接，若，求的长．
20．某公司研发了甲、乙两款教育辅助产品，为了解其使用效果，对使用这两款产品的学生进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了使用这两款产品的学生各20名，对这两款产品的使用效果进行评分（百分制），并对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，共分为四组：A：．B：．C：．D：）．下面给出了部分信息．
抽取的对甲款产品的所有评分数据：
65，69，74，77，77，79，86，86，86，86，87，88，89，89，95，96，97，97，98，99．
抽取的对乙款产品的评分数据中C组包含的所有数据：83，85，86，88，89，89，89，90．
抽取的对甲、乙两款产品的评分统计表
产品 中位数 众数 方差
甲 86.5 b 92.2
乙 a 89 70.6
抽取的对乙款产品的评分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ______， ______， ______．
（2）若甲、乙两款教育辅助产品的平均数相等，根据以上数据，你认为哪款教育辅助产品更受学生欢迎 请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）若本次调查有600名学生对甲款教育辅助产品进行了评分，有800名学生对乙款教育辅助产品进行了评分，请估计其中对甲、乙两款教育辅助产品非常满意的学生总人数．
21．综合与实践．
【主题】探索锐角三角函数的应用．
【背景】广东吴川“飘色”起源于清代，是一种由色板上装饰着靠色梗支撑的固定姿势人物的传统民俗艺术，其人物造型依据戏剧人物设计，内容涵盖历史故事、神话传说及现代题材等．
【素材】如图，这是“飘色”的示意图，是“飘色”的支撑杆．小明站在处，测得与支撑杆的距离米，借助测角仪观察，发现支撑杆上的点的仰角；小琪在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，支撑杆上的点的俯角，点，之间的距离是米，已知支撑杆米，小明的眼睛到地面的距离米．
【探究】
（1）求支撑杆上的长度．
（2）求支撑杆上的长度．（结果精确到米，参考数据：，）
22．已知四边形是矩形，．
（1）如图①，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连接、、，判定的形状，并说明理由；
（2）如图②，将矩形绕点顺时针旋转度（）得到矩形，点恰好落在的延长线上，与相交于点，求的面积；
（3）如图③，在（2）条件下，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值．
23．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点，交x轴于点C，交y轴于点D，连接．
（1）求反比例函数的解析式和b的值．
（2）如图1，已知轴，轴，作射线交一次函数的图象于点T，求证：．
（3）①如图2，在中，，用无刻度的直尺和圆规作∠O的平分线交于点C（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出 ；
②设G为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出点G的坐标．（提示：如）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴中午时分该山顶的气温是．
故答案为：C.
【分析】根据 凌晨测得某山顶的气温为，随着太阳升起，到中午时分气温上升了， 即可列式计算即可得中午时分该山顶的气温是，即可得答案.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法的表示方法得：.
故答案为：A.
【分析】把小数点右移9位，再根据科学记数法的表示方法表示出来即可得答案.
3．【答案】D
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，且延长到点，
∴．
故答案为：D。
【分析】本题依据A、C、E三点共线，且“两直线平行、同位角相等”，即可得出，从而得出答案。
4．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：它的左视图是．
故选：A．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】把分母提-1后统一分母，再按同分母加减计算即可得答案.
6．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：如图，
∵点的纵坐标为，代入，得，解得：，
∴，
∵，
把不等式 转化为：，即可得不等式的解集为：
直线：的图像在双曲线图像下方时自变量的取值范围.
观察图像发现，不等式 的解集：或．
故答案为：D.
【分析】把点的纵坐标代入，解得：，即可得，即可得，把不等式 转化为：，即可得不等式的解集为：直线：的图像在双曲线图像下方时自变量的取值范围，结合图像即可得答案.
7．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意列方程组得：．
故答案为：C.
【分析】设A种头盔的单价为x元，B种头盔的单价为y元，根据题目情景即可列方程组.
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据相似性质，结合相似，等于，可列方程解出的长为3.
9．【答案】C
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：根据题意得三瓶气体随机抽取两瓶，结果为，共3种结果，能生产水的有1组能生成水，则：
∴她恰好选到两种气体能反应生成水（）（氢气和氧气混合点燃可生成水）的概率为.
故答案为：C.
【分析】瓶气体随机抽取两瓶，结果为，共3种结果，能生产水的有1组能生成水，代入概率公式即可得答案.
10．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：如图，
过点作于，
∵点到的距离为，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵将沿着直线折叠得到，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】过点作垂直于，则等于2，根据勾股定理得等于10，根据的正弦定义得等于，即可求出等于，再根据等于2，即可求出等于4，再根据折叠的性质得出相等，再根据正切函数的定义即可得答案.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=（a+3）（a-3）。
故答案为：（a+3）（a-3）。
【分析】由平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）可得。
12．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】先化简，计算二次根式除法，得，然后合并即可得答案.
13．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点 平移后，
∴坐标的变化规律是：右移3个单位，下移1个单位，
∴ 点 的对应点 的坐标．
故答案为：.
【分析】根据坐标得变换规律得右移3个单位，下移1个单位，即可得点 的对应点 的坐标．
14．【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的根，
∴，
∴，
∵根与系数的关系得，
∴.
故答案为：7.
【分析】根据是方程的根，列方程求出，再根据根与系数的关系得，把变形得，代入数据计算即可得答案.
15．【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：当时，则，
当时，，解得：，
，，
，，
点是轴上一点，横坐标为，
，
，
．
【分析】根据一次函数图象与坐标轴交于M，N两点求出，，进一步求出△MNP的底和高，再根据三角形面积公式即可列出与的函数关系式.
16．【答案】解：
解不等式得；
解不等式得．
原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求解不等式组里两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集。
17．【答案】解：，证明如下：
如图，
连接，
∵与相切于点，
∴，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【分析】连接，根据切线的性质可得和为90度，再根据等腰三角形的性质可得相等，相等，等量代换即可得出的和等于的和，等于90度，进一步得，即可得.
18．【答案】解：如图，
以中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线顶点，设解析式为，将代入得：，解得，
∴抛物线解析式为，
当小船高米时，令，则，
，解得，
∴水面宽度（米），
∴小船在桥下水面的宽度不能超过米．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】以中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据题目情境得抛物线顶点，求出抛物线解析式列方程，当小船高米时，解出即可小船在桥下水面的宽度不能超过米．
19．【答案】（1）证明：如图，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵B是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）解：如图，
∵菱形中，，，
又∵，
∴，
∵B是的中点，
∴
∴，
∴，
由（1）得，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得相等，平行，即可得相等，相等，再根据B是的中点，得，即可证明全等，根据全等性质即可得.
（2）根据菱形的性质得相等，平行，根据得，根据B是的中点，得，即可得是直角三角形，然后根据斜边中线的性质得到，，再根据勾股定理求解，最后根据全等三角形得到相等，即可得的长．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵B是的中点，
∴
∴
∴，
∴；
（2）解：∵菱形中，，，
又∵，
∴，
∵B是的中点，
∴
∴，
∴，
由（1）得，
∴．
20．【答案】（1）；86；.
（2）解：乙款更受欢迎．理由如下：
依题意：乙的方差更小，成绩更稳定，
∴乙款更受欢迎．
（3）解：对甲款非常满意人数：20人中90分以上有6人，
∴人；
对乙款非常满意人数：20人中90分以上有4人，
∴人，即，
∴其中对甲、乙两款教育辅助产品非常满意的学生总人数为人.
【知识点】中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：乙款数据共20个，则：，
结合题意：C组8个数据，
故D组频率，即．
∵乙款数据共20个，
∴中位数是数据从小到大（或者从大到小）排序后，位于中间位置的数，
∴乙的中位数是第10、11位数据的平均数，位于C组后半段，
∴.
依题意得：甲的众数：出现次数最多的是86，故．
故答案为：；86；.
【分析】（1）先条件求出乙款的A组、B组、C组的数据个数，再运用D组数据个数除以乘，得，根据中位数、众数的定义即可得，，即可作答．
（2）根据方差分析即可得答案.
（3）对甲款非常满意人数，20人中90分以上有6人，即可算出对甲款、对乙款非常满意人数，再计算总人数，即可得甲、乙两款教育辅助产品非常满意的学生总人数为人.
（1）解：依题意，乙款数据共20个，
则，
结合题意：C组8个数据，
故D组频率；
即．
∵乙款数据共20个，
∴中位数是数据从小到大（或者从大到小）排序后，位于中间位置的数，
则乙的中位数是第10、11位数据的平均数，位于C组后半段，
则；
依题意，甲的众数：出现次数最多的是86，
故．
（2）解：乙款更受欢迎．理由如下：
依题意，乙的方差更小，成绩更稳定；或乙的众数更高．
故乙款更受欢迎．
（3）解：对甲款非常满意人数：20人中90分以上有6人，
∴人；
对乙款非常满意人数：20人中90分以上有4人，
∴人；
即，
∴其中对甲、乙两款教育辅助产品非常满意的学生总人数为人
21．【答案】（1）解：如图，
在中，，米，
米，
∴支撑杆上的长度约为3.46米.
（2）解：如图，
，
，
，米，
米，
米，米，
米，
米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在中，等于30度，等于6米，根据锐角三角函数的定义即可列方程，解出即可得支撑杆上的长度约为3.46米.
（2）根据得等于90度，再根据求出，进而求出为1.98米，最后再根据，求解即可得支撑杆上的长度．
（1）解：在中，，米，
米；
（2），
，
，米，
米，
米，米，
米，
米．
22．【答案】（1）解：是等腰直角三角形；
理由：由旋转性质可知：，
，
，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：∵，
，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴的面积；
（3）解：连接，取的中点，连接，取、的中点为、，连接，
∵是的中点，
∴，且，
∵，
∴，
∵，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
设的中点为，连接，
∴，
∴的最大值为，最小值为．
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由旋转性质可知：，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得DM，再根据勾股定理建立方程，解方程可得MF，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）连接，取的中点，连接、，根据三角形中位线定理可得，，根据旋转性质可得，则，点H在以为圆心，半径为的圆上运动，根据直角三角形斜边上的中线可得DO，当点H在延长线上时，的最大值为，当点H在线段上时，的最小值为．
（1）解：是等腰直角三角形；
理由：由旋转性质可知：，
，
，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：∵，
，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴的面积；
（3）解：连接，取的中点，连接，取、的中点为、，连接，
∵是的中点，
∴，且，
∵，
∴，
∵，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
设的中点为，连接，
∴，
∴的最大值为，最小值为．
23．【答案】（1）解：把代入，得：
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，b的值为3.
（2）解：联立，解得或，∴，
∵，轴，轴，
∴，
设的解析式为，则，
∴，
∴，
联立，解得，
∴，
∵，，
∴的中点坐标为，
∴点即为的中点，
∴为的中线，
∴.
（3）解：①【答案】.
②如图，
i、当点在点下方时，以为直角顶点，为直角边，构造直角三角形，使，作轴，作，
∴，，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同（2）可得：直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴.
ii、如图，
当点在点上方时，以为直角顶点，为直角边，构造直角三角形，使，作轴，作，
∴，，
同理得：，直线的解析式为，
联立，解得或，
∴.
综上：或．

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】①解：根据题意作图如下：
由作图可知：，作交于点，则：，，
在中，设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）把代入直线解析式求出，即可得，代入解析式，根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可得答案.
（2）联立直线和反比例函数的解析式，解出即可得点坐标，即可得点坐标，根据待定系数法求出的解析式，联立两条直线的解析式，求出点坐标，即可得两点的中点坐标，再根据三角形的中线平分面积即可得相等.
（3）①根据尺规作图的方法作相等，即可得等于与的和等于30度，相等，在中，设，则等于，相等，进而求出的长，再根据正切的定义进行求解即可得答案.
②当点在点下方时，以为直角顶点，为直角边，构造直角三角形，使等于30度，作轴，作，即可得，等于90度，等于3，进一步推理即可得为等腰直角三角形，进一步得即可得，即可得同（2）可得：直线的解析式为，联合解析式解出即可得同理可得当点在点上方时，以为直角顶点，为直角边，构造直角三角形，使，作轴，作，，综合即可得G的坐标．
（1）解：把代入，得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：联立，解得或，
∴，
∵，轴，轴，
∴，
设的解析式为，则，
∴，
∴，
联立，解得，
∴，
∵，，
∴的中点坐标为，
∴点即为的中点，
∴为的中线，
∴；
（3）解：①由题意，作图如下：
由作图可知：，
作交于点，则，，
在中，设，则，，
∴，
∴，
∴，即；
②当点在点下方时，以为直角顶点，为直角边，构造直角三角形，使，作轴，作，则，，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同（2）可得：直线的解析式为，
联立，解得或（舍去）；
∴；
当点在点上方时，以为直角顶点，为直角边，构造直角三角形，使，作轴，作，则，，
同法可得：，直线的解析式为，
联立，解得或，
∴；
综上：或．
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1．某日凌晨测得某山顶的气温为，随着太阳升起，到中午时分气温上升了，则中午时分该山顶的气温是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴中午时分该山顶的气温是．
故答案为：C.
【分析】根据 凌晨测得某山顶的气温为，随着太阳升起，到中午时分气温上升了， 即可列式计算即可得中午时分该山顶的气温是，即可得答案.
2．科学家们在研究微观粒子时发现，某种新型纳米材料的单个粒子的质量极小．经测量，该粒子的质量为0.0000000056千克．数据0.0000000056用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法的表示方法得：.
故答案为：A.
【分析】把小数点右移9位，再根据科学记数法的表示方法表示出来即可得答案.
3．如图，，将一把含角的直角三角板的直角顶点放在上，延长到点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，且延长到点，
∴．
故答案为：D。
【分析】本题依据A、C、E三点共线，且“两直线平行、同位角相等”，即可得出，从而得出答案。
4．下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：它的左视图是．
故选：A．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
5．计算的结果等于（　　）
A．2 B．x C． D．
【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】把分母提-1后统一分母，再按同分母加减计算即可得答案.
6．如图，直线：与双曲线交于，两点．已知，点的纵坐标为，则不等式 的解集为(　　)
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：如图，
∵点的纵坐标为，代入，得，解得：，
∴，
∵，
把不等式 转化为：，即可得不等式的解集为：
直线：的图像在双曲线图像下方时自变量的取值范围.
观察图像发现，不等式 的解集：或．
故答案为：D.
【分析】把点的纵坐标代入，解得：，即可得，即可得，把不等式 转化为：，即可得不等式的解集为：直线：的图像在双曲线图像下方时自变量的取值范围，结合图像即可得答案.
7．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某商店购进A种头盔40个和B种头盔50个共需资金5450元，A种头盔的单价比B种头盔的单价高8元．设A种头盔的单价为x元，B种头盔的单价为y元，根据题意，可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意列方程组得：．
故答案为：C.
【分析】设A种头盔的单价为x元，B种头盔的单价为y元，根据题目情景即可列方程组.
8．如图，已知，若，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据相似性质，结合相似，等于，可列方程解出的长为3.
9．在装有氢气（）、氧气（）、氮气（）的三个容器中，若小琪随机抽取两瓶气体做化学实验，则她恰好选到两种气体能反应生成水（）（氢气和氧气混合点燃可生成水）的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：根据题意得三瓶气体随机抽取两瓶，结果为，共3种结果，能生产水的有1组能生成水，则：
∴她恰好选到两种气体能反应生成水（）（氢气和氧气混合点燃可生成水）的概率为.
故答案为：C.
【分析】瓶气体随机抽取两瓶，结果为，共3种结果，能生产水的有1组能生成水，代入概率公式即可得答案.
10．如图，在中，，，，点，分别在，上，且，将沿着直线折叠得到，点到的距离为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：如图，
过点作于，
∵点到的距离为，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵将沿着直线折叠得到，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】过点作垂直于，则等于2，根据勾股定理得等于10，根据的正弦定义得等于，即可求出等于，再根据等于2，即可求出等于4，再根据折叠的性质得出相等，再根据正切函数的定义即可得答案.
11．因式分解： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=（a+3）（a-3）。
故答案为：（a+3）（a-3）。
【分析】由平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）可得。
12．计算：　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】先化简，计算二次根式除法，得，然后合并即可得答案.
13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-1，2），点B（-3，-1），点C（-2，-2），平移△ABC，使点A落在点D（2，1）处，则点C的对应点F的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点 平移后，
∴坐标的变化规律是：右移3个单位，下移1个单位，
∴ 点 的对应点 的坐标．
故答案为：.
【分析】根据坐标得变换规律得右移3个单位，下移1个单位，即可得点 的对应点 的坐标．
14．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为a和b，则的值为　 　．
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的根，
∴，
∴，
∵根与系数的关系得，
∴.
故答案为：7.
【分析】根据是方程的根，列方程求出，再根据根与系数的关系得，把变形得，代入数据计算即可得答案.
15．如图，已知一次函数图象与坐标轴交于M，N两点．点P是x轴上一点，其横坐标为，若△MNP的面积为S，则S与a的函数关系式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：当时，则，
当时，，解得：，
，，
，，
点是轴上一点，横坐标为，
，
，
．
【分析】根据一次函数图象与坐标轴交于M，N两点求出，，进一步求出△MNP的底和高，再根据三角形面积公式即可列出与的函数关系式.
16．解不等式组：
【答案】解：
解不等式得；
解不等式得．
原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求解不等式组里两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集。
17．如图，为的直径，与相切于点，点在的延长线上，，猜想与的位置关系，并证明你的结论．
【答案】解：，证明如下：
如图，
连接，
∵与相切于点，
∴，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【分析】连接，根据切线的性质可得和为90度，再根据等腰三角形的性质可得相等，相等，等量代换即可得出的和等于的和，等于90度，进一步得，即可得.
18．如图，这是某座抛物线形拱桥的示意图，当桥下水面的宽度为米时，拱高为米．现在有一艘高度为米的小船需要从桥下通过，为了安全通过，小船在桥下水面的宽度不能超过多少米
【答案】解：如图，
以中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线顶点，设解析式为，将代入得：，解得，
∴抛物线解析式为，
当小船高米时，令，则，
，解得，
∴水面宽度（米），
∴小船在桥下水面的宽度不能超过米．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】以中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据题目情境得抛物线顶点，求出抛物线解析式列方程，当小船高米时，解出即可小船在桥下水面的宽度不能超过米．
19．如图，四边形是菱形，B是的中点，连接交于点M．
（1）求证：．
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）证明：如图，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵B是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）解：如图，
∵菱形中，，，
又∵，
∴，
∵B是的中点，
∴
∴，
∴，
由（1）得，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得相等，平行，即可得相等，相等，再根据B是的中点，得，即可证明全等，根据全等性质即可得.
（2）根据菱形的性质得相等，平行，根据得，根据B是的中点，得，即可得是直角三角形，然后根据斜边中线的性质得到，，再根据勾股定理求解，最后根据全等三角形得到相等，即可得的长．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵B是的中点，
∴
∴
∴，
∴；
（2）解：∵菱形中，，，
又∵，
∴，
∵B是的中点，
∴
∴，
∴，
由（1）得，
∴．
20．某公司研发了甲、乙两款教育辅助产品，为了解其使用效果，对使用这两款产品的学生进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了使用这两款产品的学生各20名，对这两款产品的使用效果进行评分（百分制），并对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，共分为四组：A：．B：．C：．D：）．下面给出了部分信息．
抽取的对甲款产品的所有评分数据：
65，69，74，77，77，79，86，86，86，86，87，88，89，89，95，96，97，97，98，99．
抽取的对乙款产品的评分数据中C组包含的所有数据：83，85，86，88，89，89，89，90．
抽取的对甲、乙两款产品的评分统计表
产品 中位数 众数 方差
甲 86.5 b 92.2
乙 a 89 70.6
抽取的对乙款产品的评分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ______， ______， ______．
（2）若甲、乙两款教育辅助产品的平均数相等，根据以上数据，你认为哪款教育辅助产品更受学生欢迎 请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）若本次调查有600名学生对甲款教育辅助产品进行了评分，有800名学生对乙款教育辅助产品进行了评分，请估计其中对甲、乙两款教育辅助产品非常满意的学生总人数．
【答案】（1）；86；.
（2）解：乙款更受欢迎．理由如下：
依题意：乙的方差更小，成绩更稳定，
∴乙款更受欢迎．
（3）解：对甲款非常满意人数：20人中90分以上有6人，
∴人；
对乙款非常满意人数：20人中90分以上有4人，
∴人，即，
∴其中对甲、乙两款教育辅助产品非常满意的学生总人数为人.
【知识点】中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：乙款数据共20个，则：，
结合题意：C组8个数据，
故D组频率，即．
∵乙款数据共20个，
∴中位数是数据从小到大（或者从大到小）排序后，位于中间位置的数，
∴乙的中位数是第10、11位数据的平均数，位于C组后半段，
∴.
依题意得：甲的众数：出现次数最多的是86，故．
故答案为：；86；.
【分析】（1）先条件求出乙款的A组、B组、C组的数据个数，再运用D组数据个数除以乘，得，根据中位数、众数的定义即可得，，即可作答．
（2）根据方差分析即可得答案.
（3）对甲款非常满意人数，20人中90分以上有6人，即可算出对甲款、对乙款非常满意人数，再计算总人数，即可得甲、乙两款教育辅助产品非常满意的学生总人数为人.
（1）解：依题意，乙款数据共20个，
则，
结合题意：C组8个数据，
故D组频率；
即．
∵乙款数据共20个，
∴中位数是数据从小到大（或者从大到小）排序后，位于中间位置的数，
则乙的中位数是第10、11位数据的平均数，位于C组后半段，
则；
依题意，甲的众数：出现次数最多的是86，
故．
（2）解：乙款更受欢迎．理由如下：
依题意，乙的方差更小，成绩更稳定；或乙的众数更高．
故乙款更受欢迎．
（3）解：对甲款非常满意人数：20人中90分以上有6人，
∴人；
对乙款非常满意人数：20人中90分以上有4人，
∴人；
即，
∴其中对甲、乙两款教育辅助产品非常满意的学生总人数为人
21．综合与实践．
【主题】探索锐角三角函数的应用．
【背景】广东吴川“飘色”起源于清代，是一种由色板上装饰着靠色梗支撑的固定姿势人物的传统民俗艺术，其人物造型依据戏剧人物设计，内容涵盖历史故事、神话传说及现代题材等．
【素材】如图，这是“飘色”的示意图，是“飘色”的支撑杆．小明站在处，测得与支撑杆的距离米，借助测角仪观察，发现支撑杆上的点的仰角；小琪在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，支撑杆上的点的俯角，点，之间的距离是米，已知支撑杆米，小明的眼睛到地面的距离米．
【探究】
（1）求支撑杆上的长度．
（2）求支撑杆上的长度．（结果精确到米，参考数据：，）
【答案】（1）解：如图，
在中，，米，
米，
∴支撑杆上的长度约为3.46米.
（2）解：如图，
，
，
，米，
米，
米，米，
米，
米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在中，等于30度，等于6米，根据锐角三角函数的定义即可列方程，解出即可得支撑杆上的长度约为3.46米.
（2）根据得等于90度，再根据求出，进而求出为1.98米，最后再根据，求解即可得支撑杆上的长度．
（1）解：在中，，米，
米；
（2），
，
，米，
米，
米，米，
米，
米．
22．已知四边形是矩形，．
（1）如图①，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连接、、，判定的形状，并说明理由；
（2）如图②，将矩形绕点顺时针旋转度（）得到矩形，点恰好落在的延长线上，与相交于点，求的面积；
（3）如图③，在（2）条件下，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值．
【答案】（1）解：是等腰直角三角形；
理由：由旋转性质可知：，
，
，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：∵，
，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴的面积；
（3）解：连接，取的中点，连接，取、的中点为、，连接，
∵是的中点，
∴，且，
∵，
∴，
∵，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
设的中点为，连接，
∴，
∴的最大值为，最小值为．
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由旋转性质可知：，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得DM，再根据勾股定理建立方程，解方程可得MF，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）连接，取的中点，连接、，根据三角形中位线定理可得，，根据旋转性质可得，则，点H在以为圆心，半径为的圆上运动，根据直角三角形斜边上的中线可得DO，当点H在延长线上时，的最大值为，当点H在线段上时，的最小值为．
（1）解：是等腰直角三角形；
理由：由旋转性质可知：，
，
，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：∵，
，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴的面积；
（3）解：连接，取的中点，连接，取、的中点为、，连接，
∵是的中点，
∴，且，
∵，
∴，
∵，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
设的中点为，连接，
∴，
∴的最大值为，最小值为．
23．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点，交x轴于点C，交y轴于点D，连接．
（1）求反比例函数的解析式和b的值．
（2）如图1，已知轴，轴，作射线交一次函数的图象于点T，求证：．
（3）①如图2，在中，，用无刻度的直尺和圆规作∠O的平分线交于点C（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出 ；
②设G为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出点G的坐标．（提示：如）
【答案】（1）解：把代入，得：
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，b的值为3.
（2）解：联立，解得或，∴，
∵，轴，轴，
∴，
设的解析式为，则，
∴，
∴，
联立，解得，
∴，
∵，，
∴的中点坐标为，
∴点即为的中点，
∴为的中线，
∴.
（3）解：①【答案】.
②如图，
i、当点在点下方时，以为直角顶点，为直角边，构造直角三角形，使，作轴，作，
∴，，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同（2）可得：直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴.
ii、如图，
当点在点上方时，以为直角顶点，为直角边，构造直角三角形，使，作轴，作，
∴，，
同理得：，直线的解析式为，
联立，解得或，
∴.
综上：或．

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】①解：根据题意作图如下：
由作图可知：，作交于点，则：，，
在中，设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）把代入直线解析式求出，即可得，代入解析式，根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可得答案.
（2）联立直线和反比例函数的解析式，解出即可得点坐标，即可得点坐标，根据待定系数法求出的解析式，联立两条直线的解析式，求出点坐标，即可得两点的中点坐标，再根据三角形的中线平分面积即可得相等.
（3）①根据尺规作图的方法作相等，即可得等于与的和等于30度，相等，在中，设，则等于，相等，进而求出的长，再根据正切的定义进行求解即可得答案.
②当点在点下方时，以为直角顶点，为直角边，构造直角三角形，使等于30度，作轴，作，即可得，等于90度，等于3，进一步推理即可得为等腰直角三角形，进一步得即可得，即可得同（2）可得：直线的解析式为，联合解析式解出即可得同理可得当点在点上方时，以为直角顶点，为直角边，构造直角三角形，使，作轴，作，，综合即可得G的坐标．
（1）解：把代入，得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：联立，解得或，
∴，
∵，轴，轴，
∴，
设的解析式为，则，
∴，
∴，
联立，解得，
∴，
∵，，
∴的中点坐标为，
∴点即为的中点，
∴为的中线，
∴；
（3）解：①由题意，作图如下：
由作图可知：，
作交于点，则，，
在中，设，则，，
∴，
∴，
∴，即；
②当点在点下方时，以为直角顶点，为直角边，构造直角三角形，使，作轴，作，则，，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同（2）可得：直线的解析式为，
联立，解得或（舍去）；
∴；
当点在点上方时，以为直角顶点，为直角边，构造直角三角形，使，作轴，作，则，，
同法可得：，直线的解析式为，
联立，解得或，
∴；
综上：或．
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