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2025-2026学年河南省洛阳市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要使二次根式有意义，则x的值可以是（　　）
A. -3 B. -1 C. 0 D. 1
2.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，BC=3，则AC的长为（　　）
A. 5 B. 1 C. D.
3.蜜蜂的蜂巢造型美观、排列规整，如图，从入口观察，蜂巢由大量正六边形拼接而成，则入口处这些边形成的∠BAC度数为（　　）
A. 105° B. 120° C. 135° D. 150°
4.如图，直线y=ax+b过点A（0，3）和B（-4，0），则方程ax+b=0的解是（　　）
A. x=0
B. x=3
C. x=-4
D. x=5
5.新情境王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是（　　）
A. AB∥CD，AD∥BC B. AB∥CD，AD=BC
C. AB=CD，AD=BC D. AB∥CD，AB=CD
6.小明将某市4月份每天的最高气温情况进行收集整理，通过分析绘制成箱线图，根据图中信息，下列说法正确的是（　　）
A. 这组数据的第一四分位数是15 B. 这组数据的中位数是22.5
C. 这组数据的第三四分位数是26 D. 这组数据的最小值是23，最大值是26
7.已知点，（1，y2）都在直线上，则y1，y2，b的大小关系是（　　）
A. y2＜b＜y1 B. y2＜y1＜b C. y1＜b＜y2 D. b＜y2＜y1
8.校运动队统计男、女队员各5名的一周训练达标次数，数据整理如图，分析两组队员的达标情况，下面说法正确的是（　　）
A. 男生训练达标次数的平均数高于女生 B. 男、女生训练达标次数的离差平方和相等
C. 男、女生训练达标次数的中位数均为4 D. 女生达标情况更稳定
9.如图， OABC的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（4，2），直线y=kx+2将 OABC分为面积相等的两部分，则k的值是（　　）.
A.
B.
C.
D.
10.如图，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中.传感器示数F（单位：N）反映金属块对细线的拉力，F与金属块浸入水中的深度h（单位：cm）的变化关系如图2所示，当金属块完全浸没后，传感器示数F不再随浸入深度h的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，F=G重力-F浮力）.当0≤h≤12时，下列结论错误的是（　　）
A. 该长方体金属块的重力是9N
B. 该长方体金属块的高度是6cm
C. 在长方体金属块完全浸没前，传感器示数F随着长方体金属块浸入水中的深度h的增大而减小
D. 当长方体金属块浸入水中的深度h=5时，传感器示数F为4.5N
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若正比例函数y=kx的图象过一、三象限，请写出一个满足条件的k的值 .
12.将5个数据1，2，3，4，5分成{1，3，5}和{2，4}两组，则这种分组情况的组内离差平方和是 .
13.某天电影院有两个影厅放映电影，上午各厅只放映一场电影，信息如表所示.该影院当天上午所售电影票的平均价格为 .
影厅 每张电影票价格/元 座位/个 上座率/%
A 30 60 50
B 40 60 75
14.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的边OB在x轴上，OA在y轴上，顶点C的坐标是（-3，5），将矩形沿对角线AB进行翻折，点C落在点P的位置，BP交y轴于点Q，则点Q的坐标是 .
15.古琴历史悠久，最初仅有五弦，对应传统五音：“宫、徵、商、羽、角”.其发声管的管长可以通过“三分损益法”推算，例如基本音“宫”音的发声管长是81时，“宫”经“三分益一”得“徵”，即“徵”音的发声管长是；“徵”经“三分损一”得“商”音的发声管长是；“商”经“三分益一”得“羽”；“羽”经“三分损一”得“角”.设“宫”音的发声管长为x cm,五根发声管的长度总和为y cm,则“徵”音的发声管长可用含x的代数式表示为 cm,y关于x的函数解析式为 .
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.计算：
（1）；
（2）.
四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺、引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？大意是：如图，水池底面的宽AB=1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD=1尺，将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC=OE，求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）.
18.(本小题9分)
青少年体重指数（BMI）可评判青少年营养状况与肥胖程度，体重指数BMI=，其中G表示体重（单位：kg），h表示身高（单位：m）.为了解八年级学生体重指数分布情况，八年级某数学综合实践小组开展了一次调查，参考《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（BMI）分成四个等级（如下表），对数据进行整理、描述和分析，并绘制成如图统计图.
八年级学生BMI标准
等级 男生参考范围 女生参考范围
低体重（A） BMI≤15.6 BMI≤15.2
正常（B） 15.7≤BMI≤22.5 15.3≤BMI≤22.2
超重（C） 22.6≤BMI≤25.2 22.3≤BMI≤24.8
肥胖（D） BMI≥25.3 BMI≥24.9
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）所调查的女生体重指数（BMI）的中位数落在______等级（只填字母），将条形统计图补充完整；
（2）请根据以上信息，判断下列结论正确的是______（只填序号）；
①该调查是抽样调查，从八年级随机抽取男、女生各50名的体重指数作为样本，样本容量是100；
②经调查某女生的BMI值是15.5，说明该女生属于低体重；
③若一位男生的身高为1.6m,体重为51.2kg,说明该男生属于正常体重；
④B等级的男生人数少于女生人数，其它等级都是男生人数多于女生人数；
（3）若该年级共有10个班，共550人，其中男生250人，女生300人，请你估计该年级体重指数等级为超重（C）和肥胖（D）的学生人数一共多少人？请对该年级学生体重情况作出评价，并提出合理化建议.
19.(本小题9分)
洛阳依托文旅特色打造夜间文旅消费市场，鼓励商户拓展线下外摆经营.商户小王借此售卖牡丹手工皂与牡丹瓷书签两款特色文创产品，两款文创的进价、售价如下表：
类型 牡丹手工皂 牡丹瓷书签
进价/（元/件） 35 15
售价/（元/件） 45 20
小王计划购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共100件进行销售，设小王购进牡丹手工皂x件，两种商品全部销售完后获得的总利润为y元.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的3倍，当购进两种商品各多少件时，可使得两种商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润.
20.(本小题9分)
如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点E.
（1）请用无刻度的直尺和圆规在射线CD上作出点F，使得四边形ACFE是菱形.（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）若∠ACD=45°，AC=4，点O是AF与CE的交点，求点O到CD的距离.
21.(本小题9分)
小丽一家驾驶电动汽车从家前往景点游玩，行驶一段路程后停车充电，然后继续行驶，直至到达景点.汽车充电前、充电后都以90km/h的速度匀速行驶，且每小时的耗电量均相同.出发后，汽车剩余电量Q（单位：kW h）与行驶路程s（单位：km）的关系如图所示.
（1）汽车行驶______h后停车充电；
（2）当0≤s≤240时，求Q与s之间的函数表达式；
（3）汽车在充电前后的两段行程中，剩余电量不低于50kW h的总时长为______h.
22.(本小题10分)
如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在 ABCD外，且∠AEC=90°，BD=2EO.
（1）求证： ABCD是矩形；
（2）若∠AOB=60°，试说明当CE与CB满足怎样的数量关系时，四边形ABOE是菱形，并写出证明过程.
23.(本小题10分)
定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形.
（1）【初步感知】满足下列哪个条件时，四边形ABCD一定是垂美四边形？______（填序号）；
①AB⊥BC ②AC=BD ③AB=BC=CD=DA ④AB=BC，CD=DA
（2）【探索性质】如图1，垂美四边形ABCD的四条边之间有怎样的数量关系？完成下列探索过程.
∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD.
∴∠AOD=∠COD=∠BOC=∠AOB=90°.
由勾股定理可知，在Rt△ABO中，∵∠AOB=90°，
∴AB2=AO2+BO2，
同理可得CD2=OC2+OD2，AD2=AO2+OD2，
BC2=BO2+CO2，
∴AB2+CD2=（AO2+BO2）+（OC2+OD2）=AD2+______.
（3）【学以致用】如图2，分别以△ABC的边AC和AB为边向外作正方形ACDE与正方形ABFG.连接CG，BE，GE，CE，BG；CG与BE交于点O.
①求证：四边形BCEG是垂美四边形；
②已知AC=5，AB=4，当△ABC是直角三角形时，直接写出△OGE的中线OH的长.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】1（答案不唯一）
12.【答案】10．
13.【答案】36元
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】

17.【答案】水池深度为12尺，芦苇的长度是13尺．
18.【答案】B；
①③④
102人；建议同学们均衡饮食，减少高热量食物摄入，日常加强体育锻炼，保持健康体重
19.【答案】y=5x+500（0≤x≤100，且x为整数）
当购进牡丹手工皂25件，牡丹瓷书签75件时，总利润最大，最大总利润为625元
20.【答案】如图，点F即为所求；

21.【答案】
Q=100-0.25s（0≤s≤240）

22.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵∠AEC=90°，O是AC的中点，
∴，即AC=2EO，
∵BD=2EO，
∴AC=BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是矩形
当CE=CB时，四边形ABOE是菱形，证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，且AC=BD，
∴OA=OB=OC．
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB，∠OAB=60°，
∵∠AEC=90°，O为AC中点，
∴OE=OA=OC，
∴OE=AB=OB，
在△OEC和△OBC中：
，
∴△OEC≌△OBC（SSS），
∴∠EOC=∠BOC，
∵∠AOB=60°，且A，O，C三点共线，
∴∠BOC=180°-∠AOB=120°，
∴∠EOC=120°，
∴∠AOE=180°-∠EOC=60°，
∴∠AOE=∠OAB=60°，
∴AB∥OE，
又∵AB=OE，
∴四边形ABOE是平行四边形，
又∵AB=OB，
∴平行四边形ABOE是菱形
23.【答案】③④
BC2
①证明：当∠CAB≠90°时，
∵四边形ACDE和四边形ABFG都是正方形，
∴AE=AC，AG=AB，∠CAE=∠BAG=90°，
∴∠CAE+∠BAC=∠BAG+∠BAC，
∴∠CAG=∠EAB，
∴△CAG≌△EAB（SAS），
∴∠ACG=∠AEB；如图所示，设AC，BE交于点T，
∵∠AET+∠ATE=90°，
∴∠ACG+∠ATE=90°，
∵∠ATE=∠OTC，
∴∠ACG+∠OTC=90°，
∴∠COT=90°，
∴BE⊥CG，
∴四边形BCEG是垂美四边形；当∠CAB=90°时，则∠CAB+∠CAE=180°=∠CAB+∠BAG，
∴B、A、E三点共线，C、A、G三点共线，即此时点O与点A重合，
又∵此时CG⊥BE，
∴四边形BCEG是垂美四边形；综上所述，四边形BCEG是垂美四边形；②或
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