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基本空间图形中的最短距离问题
一、解题策略
在几何问题的考查中，会遇到求解最短距离的题目，其中最短距离指的是：两点之间线段最短。但是有时候所求是立体图形不在一个平面上的两点，那么怎么来求两点之间的最短距离呢 此时就需要我们运用空间想象的能力，将立体图形展开成为平面图形利用最短距离进行求解。平时的学习中，可以多画一画立体图的展开图，培养自己的空间想象力。
应用举例
（一）、多面体中的最短距离问题
例1、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，AA1＝2，P、Q分别为棱AA1，C1D1的中点则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（ ）
A． B． C． D．
例2、如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（ ）
A．4 B． C． D．
例3、如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
cm B．cm
C．9cm D．cm
例4、如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，侧面积为，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为___________cm.
例5、已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达的最短路线的长为___________.
例6、在正三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为___________．
例7、在四面体中，，与直线，均垂直，且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点，则其爬过的路程最小值为（ ）
A． B． C． D．
（二）、旋转体中的最短距离问题
例8、如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B．
C． D．
例9、边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（ ）
A．10cm B．5cm
C．5cm D．cm
例10、如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，O为底面圆心，OA，OB为底面半径，且∠AOB=M是母线PA的中点，则在此圆锥侧面上，从M到B的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B．-1
C． D．+1
例11、如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
三、专项练习
1、已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为______.
2、在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为
3、如图，某圆柱的高为，底面圆的半径为，则在此圆柱侧面上，从圆柱的左下点A到右上点B的路径中，最短路径的长度为______．
4、如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m．
5、已知正三棱柱的所有棱长都是2，点M在棱AC上运动，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
6、在正四棱锥中，，为的中点，为的中点，则从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为（ ）
A． B． C． D．
7、在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且．若点、、分别为棱、、上的动点（不包含端点），则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8、如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9、如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
10、在三棱锥中，，，一只蜗牛从点出发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱的中点，则蜗牛爬行的最短距离是（）．
A． B． C． D．
11、如图，在棱长为1的正方体中，点P在侧面上运动，则的最小值为 ．

12、如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路线的长是__________．
13、在直三棱柱中分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为

14、如图，在长方体中，若，且面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为 .

15、如图，在长方体中，且，为棱上的一点．当取得最小值时，的长为 ．
例16、如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：
（1）蚂蚁经过的最短路程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．基本空间图形中的最短距离问题
一、解题策略
在几何问题的考查中，会遇到求解最短距离的题目，其中最短距离指的是：两点之间线段最短。但是有时候所求是立体图形不在一个平面上的两点，那么怎么来求两点之间的最短距离呢 此时就需要我们运用空间想象的能力，将立体图形展开成为平面图形利用最短距离进行求解。平时的学习中，可以多画一画立体图的展开图，培养自己的空间想象力。
应用举例
（一）、多面体中的最短距离问题
例1、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，AA1＝2，P、Q分别为棱AA1，C1D1的中点则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意在长方体中，分别为棱，的中点，
若按照如下方式展开，则
若按照如下方式展开，则
若按照如下方式展开，则
所以
故选：C
例2、如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，
连接与分别交于两点，
将三棱锥由展开，则，
为虫子爬行从点沿侧面到棱上的点处，再到棱上的点处，
然后回到点的最短距离，
∵，
∴由勾股定理可得，
所以虫子爬行的最短距离4，
故选：A.
例3、如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．cm B．cm C．9cm D．cm
【答案】B
【解析】第一种情况：把所看的前面和上面组成一个平面，如图所示，
则这个长方形的长和宽分别为和，
所以所走的路程最短线段为；
第二种情况：把看到的左面与上面组成一个长方形，如图所示，
则这个长方形的长和宽分别为和，
所以所走的路程最短线段为；
第三种情况：把看到的前面与右面组成一个长方形，如图所示，
则这个长方形的长和宽分别为和，
所以所走的路程最短线段为；
故选：B.
例4、如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，侧面积为，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为___________cm.
【答案】
【解析】将正三棱柱沿侧棱展开，其侧面展开图如图所示，
依题意，由侧面积为，所以，则，
依题意沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线为；
故答案为：
例5、已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达的最短路线的长为___________.
【答案】10
【解析】将正三棱柱的侧面展开两次，再拼接到一起，
其侧面展开图，如图所示的矩形，连接，
因为正三棱柱的底面边长为1，高为8，可得矩形的底边长为，高为，
所以.
故答案为：.
例6、在正三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为___________．
【答案】
【解析】
将正三棱锥沿棱展开，得到如下图形，
由展开图可得，沿爬行时，路程最短；
因为，，
所以，
因此.
故答案为：.
例7、在四面体中，，与直线，均垂直，且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点，则其爬过的路程最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以平面，所以平面平面，将底面旋转，以为轴，旋转至平面与平面共面，如图，此时的直线距离即为最短距离，设到直线的距离为，则，所以.
故选：A
（二）、旋转体中的最短距离问题
例8、如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将圆柱侧面展开半周，则展开矩形长为，
，.故选：C.
例9、边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（ ）
A．10cm B．5cm
C．5cm D．cm
【答案】D
【解析】圆柱的侧面展开图如图所示，
展开后，
∴，即为所求最短距离．故选:D.
例10、如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，O为底面圆心，OA，OB为底面半径，且∠AOB=M是母线PA的中点，则在此圆锥侧面上，从M到B的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B．-1 C． D．+1
【答案】A
【解析】【如图为圆锥的侧面展开图，,
，则，
在中，，
则，
为M到B的路径中，最短路径的长.
故选：A.
例11、如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图为半圆锥的侧面展开图，
连接，则的长为蚂蚁爬行的最短路线长，
设展开图的扇形的圆心角为，
根据题意得，
在中，，所以，
所以扇形弧长为，
所以圆锥底面圆的周长为，即，得.故选：A
三、专项练习
1、已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为______.
【答案】
【解析】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点间的线段距离最短.
即蚂蚁爬行的最短的路线为，
由，，，
，
从而最短距离为.
2、在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为
【答案】3
【解析】取的中点F，连接，如下图：
因为E为的中点，所以点E、F关于平面对称，所以，最小值为.
3、如图，某圆柱的高为，底面圆的半径为，则在此圆柱侧面上，从圆柱的左下点A到右上点B的路径中，最短路径的长度为______．
【答案】
【解析】如图，将圆柱侧面展开，
，
则在圆柱侧面的展开图上，最短路径的长度为．
故答案为：.
4、如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m．
【答案】
【解析】如图所示，根据题意可得为边长为的正三角形，
所以，
所以圆锥底面周长，
根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，可得，
故，则，
所以，
所以小猫所经过的最短路程是．
故答案为：
5、已知正三棱柱的所有棱长都是2，点M在棱AC上运动，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，将三棱柱的上底面ABC
沿AC展开至与平面共面，
此时．
因为，且，
由余弦定理可得，
解得，
所以的最小值为．
故选：A.
6、在正四棱锥中，，为的中点，为的中点，则从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分以下几种情况讨论：
（1）当点沿着平面、到点，将平面、延展为同一平面，如下图所示：
易知、均为等边三角形，延展后，，，
所以，四边形为菱形，所以，且，
因为、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，此时；
（2）当点沿着平面、到点，将平面、延展至同一平面，如下图所示：
连接，则，且，，，
因为，由余弦定理可得；
（3）当点沿着平面、到点，连接，如下图所示：
则，，，
由余弦定理可得；
（4）当点沿着平面、、到点，将这三个侧面延展为同一平面，如下图所示：
易知、、三点共线，且，，，
由余弦定理可得.
综上所述，从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为.
故选：C.
7、在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且．若点、、分别为棱、、上的动点（不包含端点），则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】把四棱锥沿展开，得到如图所示图形：
的最小时，点与共线时，所以求的最小值即求的长度，
因为，，
所以在中，结合余弦定理得，所以，因为，所以，
在中，
,
故选：C.
8、如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，将正四棱柱的侧面展开，
则的最小值为．
在中，，，
则．
故选：D
9、如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【解析】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示：
连接，则的长度即为的最小值，
因为，所以 ，
所以，所以，即的最小值为.
故选：D
10、在三棱锥中，，，一只蜗牛从点出发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱的中点，则蜗牛爬行的最短距离是（）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，将三棱锥的侧面展开，则线段为所求，

由题意得，，
由余弦定理可得，
则，即蜗牛爬行的最短距离是.
故选：D.
11、如图，在棱长为1的正方体中，点P在侧面上运动，则的最小值为 ．

【答案】
【解析】在正方体的右侧补一个同样大小的正方体，得到如图所示的长方体，
由对称性可知，故．
故答案为：
12、如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路线的长是__________．
【答案】
【解析】把圆柱的侧面沿剪开，然后展开成平面图形：矩形，在矩形中求最短距离即可．如图所示，连接，则即为蚂蚁爬行的最短距离．∵，且，
∴
∴蚂蚁爬行的最短路线的长为．
故答案为：
13、在直三棱柱中分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为

【答案】
【解析】由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形．
①若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中，

由勾股定理得；
②若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中，

此时.
③若把面和面展开在同一个平面内，设的中点为，

在直角三角形中，由勾股定理得．
④若把面和面展开在同一个面内，

过作与行的直线，过作与平行的直线，
所作两直线交于点，则在直角三角形中，
由勾股定理得．
由于，
可得从到两点的最短路径的长度为,
故选：B
14、如图，在长方体中，若，且面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为 .

【答案】
【解析】把沿翻折，使矩形和在一个平面上，连接，
则的最小值为，

在中，可知，
由余弦定理得，
所以的最小值为.
故答案为：.
15、如图，在长方体中，且，为棱上的一点．当取得最小值时，的长为 ．
【答案】
【解析】将侧面、侧面延展至同一平面，如下图所示：
当点、、三点共线时，取最小值，
在上图矩形中，，，则，即，
此时，点为的中点，
如下图所示，连接，
易知四边形是边长为的正方形，则，
因为平面，平面，所以，，
又因为为的中点，所以，，
由勾股定理可得.
故答案为：.
例16、如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：
（1）蚂蚁经过的最短路程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）将长方体与顶点相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示：
则的长就为最短路线．
若蚂蚁沿前侧面和上底面爬行，如图1，
则经过的最短路程为，
若蚂蚁沿侧面爬行，如图2，
则经过的最短路程为，
若蚂蚁沿左侧面和上底面爬行，如图3，
则经过的最短路程为，
，
∴所以蚂蚁经过的最短路程是；

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