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浙教版新版九上第二单元 新知超前
2.2.2 简单随机事件的概率②（解析版）
知识点1 列表法求概率
列表法：适用于两步试验。将所有等可能的结果列在表格中，横行和纵列分别表示第一步和第二步的结果。总数n=表的格数，目标数m=满足条件的格数，概率=m/n。
知识点2 树状图法求概率
树状图法：适用于两步或多步试验。从起点出发，每一步列出所有可能的选择，形成树枝状结构。每条路径对应一种结果。总数n=路径总数，概率=目标路径数/n。
知识点3 放回与不放回的区别
放回：每次抽取后放回，每次的总数不变，两次可能抽到同一物体。不放回：抽后不放回，每次的总数逐次减少，两次不可能抽到同一物体。解题前先判断是否有放回。
知识点4 两步事件综合应用
综合运用列表法或树状图解决实际概率问题：两人选同一处、颜色相同/不同、数字和/积等。注意区分"同时摸两个"=不放回，"取后放回再取"=放回。
考点1 列表法求概率
【解题思路】列出行×列的表格，填入每一步的结果组合。总格数=n，符合条件的格数=m，P=m/n。
例1．2025年1月15日，中国邮政发行《中国核工业创建七十周年》纪念邮票1套3枚，邮票图案名称分别为“核铸利器”“核能先锋”“核惠民生”．将3枚邮票背面朝上放置桌面（邮票背面完全相同），从中随机抽取1枚，不放回，再随机抽取1枚，则两次抽到的邮票中恰好有1枚是“核铸利器”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将“核铸利器”“核能先锋”“核惠民生”的邮票分别记为，列表如下：
由表格可知，共有种等可能的结果，其中两次抽到的邮票中恰好有1枚是“核铸利器”的有种，
∴两次抽到的邮票中恰好有1枚是“核铸利器”的概率为
故选：A．
变式1．某班有3名女生和1名男生在体育测试中表现优异，从这4名学生中随机选取2名学生参加区运动会，则选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列表法或树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法或树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．根据题意画出树状图得出所有等可能的结果和恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：解：画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果数为6个，
所以恰好选中一名男生和一名女生的概率是，
故选：C．
变式2．一个不透明的袋子里装了四个除标号外其余都相同的小球，小球的标号分别为．若一次性随机抽取两个小球，则两个小球的对应标号之和大于的概率为__________．
【答案】
【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数和摸出的两个小球标号之和大于的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：

摸出的两个小球标号之和有：，共种等可能的结果，其中摸出的两个小球标号之和大于的结果有种，
摸出的两个小球标号之和大于的概率为，
故答案为：．
考点2 树状图法求概率
【解题思路】从起点分叉：每一步画出所有可能选择，形成树枝。数总路径数和目标路径数，代入P=m/n。
例2．一个不透明的口袋里有一个红球、两个黄球，小球除颜色外无其它差别，从中一次性摸出两个球，摸到的两个球的颜色相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键；因此此题可根据列举法进行求解．
【详解】解：由题意得：
一次性摸出两个球的可能性有：（红，黄1），（红，黄2），（黄1，黄2）共3种可能，其中摸到两个球的颜色相同的只有1种可能，所以其概率为；
故选B．
变式1．如图的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．画树状图，共有6种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和， 和时，灯泡能发光，
画树状图如下：

共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种，
∴灯泡能发光的概率为，
故选：B．
变式2．星期天小明与小辉打算从呼市的青城公园，满都海公园，小草公园，公主府公园个中任选一个进行游玩，则两人选中同一公园的概率为________．
【答案】
【分析】本题考查了树状图求概率，画出树状图，由图可知两人独立选择公园，总共有种等可能结果，其中两人选择同一公园的结果有种，因此概率为 ．
【详解】解：画出树状图，如图所示：
由图可知，小明和小辉各自从个公园中选择一个，
所有可能的选择组合共有：种，
这些结果出现的可能性相等，
两人选中同一公园的情况有种（即同时选中青城公园、满都海公园、小草公园或公主府公园），
所以概率为 ．
故答案为：．
考点3 放回与不放回
【解题思路】放回：每次总数不变，同一物体可重复出现。不放回：总数逐次减1，同一物体不会重复。关键是判断题意。
例3．盒中有1枚白色棋子和2枚黑色棋子，这三枚棋子除颜色外无其他差别，从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，放回后，再从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，那么两次记录的颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据画树状图可知有9种可能，再由树状图可知两次记录的颜色不同情况有4种，最后由概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意画树状图：
由上图可得所有等可能的情况有9种，其中两次摸出棋子颜色不同的情况有4种，
所以．
故选：D．
变式1．武汉旅游资源丰富，古琴台历史悠久、东湖绿道适合骑行、木兰天池沁人心脾、省博物馆享有盛誉．小宜打算端午期间从这四个景点中随机选择两个不同的景点去旅游，则他刚好选到“古琴台”和“东湖绿道”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：令四个景点：古琴台、东湖绿道、木兰天池、省博物馆，分别为、、、，
列表得：
由表格可得：共有12种等可能出现的结果，其中刚好选到“古琴台”和“东湖绿道”的情况有2种，
他刚好选到“古琴台”和“东湖绿道”的概率是，
故选：B．
变式2．“宫、商、角、徵、羽”是我国五声音调中五个不同音的名称，类似现在简谱中的1，2，3，4，5，也称作“五音”．现有一款叫作“一起听古音”的音乐小程序（如图），五个音所在的圆绕着圆匀速运动．小明点击圆时会随机发出其中一个音，小亮再点击圆时会随机发出其中一个音，则小明和小亮两人点击圆发出的音恰好相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查两步概率问题，涉及列表法或列树状图求概率、简单概率公式等知识，先列表，根据表中信息得到全部等可能的结果及满足题意的结果，代入简单概率公式求解即可得到答案，熟练掌握列举法求两步概率问题是解决问题的关键．
【详解】解：列表如下：
亮 明 宫 商 角 徵 羽
宫 宫宫 宫商 宫角 宫徵 宫羽
商 商宫 商商 商角 商徵 商羽
角 角宫 角商 角角 角徵 角羽
徵 徵宫 徵商 徵角 徵徵 徵羽
羽 羽宫 羽商 羽角 羽徵 羽羽
由表可知，共有25种等可能的结果，其中发出的音恰好相同的结果有5种，
小明和小亮两人点击圆发出的音恰好相同的概率为，
故选：C．
考点4 两步事件综合应用
【解题思路】两人选择类：看作两步事件，每人各选一次。用列表或树状图均可，注意区分"同时"和"先后"。
例4．“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用寒假从A，B两处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
画出树状图展示所有4种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如图：
共有4种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为2，
∴两人恰好选到同一处的概率,
故选：B．
变式1．在2，5，7三个数中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．
利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．
【详解】解：根据题意画树状图，如图所示：
一共有6种等可能的情况，其中和为偶数的有2种情况，
∴随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是．
故选：B
变式2．小王和小李都是河南传统文化爱好者，他们分别从推荐的3个文化项目中任选一个进行学习，则两人学习的是同一个项目的概率为______．
【答案】
【分析】本题考查树状图法求概率，用A，B，C分别表示三个文化项目，画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：用A，B，C分别表示三个文化项目，画出树状图，如下：
共有9种等可能的结果，其中，两人学习的是同一个项目有3种等可能的结果，
∴；
故答案为：．
一、选择题
1．（25-26九年级上·全国·期末）从整数2，3，4，5中任选2个数相加，其和是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了用枚举法求事件的概率，从2，3，4，5中任选2个数，总共有6种组合，和为偶数的组合有2种，即可求出概率．
【详解】解：∵从2，3，4，5中任选2个数，总组合数为6种，具体为：．
和为偶数的是和，共2种．
∴和是偶数的概率．
故选：C．
2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）2025年8月7日晚我县因强降雨引发山洪泥石流，导致我县城关镇、马坡乡、小康营乡、夏官营镇4个乡镇发生山洪灾害，相关部门连夜救援，全县人民积极参与抗洪救灾，小张和小李两名同学踊跃前去当志愿者，他们随机从“清理淤泥垃圾”、“安置点做义务工”、“物资装卸”、“物资登记与分发”四项中任选一项参加志愿者活动，则他俩恰好选择不同项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设“清理淤泥垃圾”、“安置点做义务工”、“物资装卸”、“物资登记与分发”分别为、、、，可画树状图为：
由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中他俩恰好选择不同项目的结果数有12种，
∴他俩恰好选择不同项目的概率是．
故选：D．
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）颜料三原色是指红、黄、蓝三色，又称为基色，即用以调配其他色彩的基本色．配色规律如图所示（例如：红和黄按一定比例混合可以呈现橙色）．在一次美术课上，甲同学从颜料三原色中随机同时选择其中两种按一定比例进行混合，那么得到紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得甲同学从颜料三原色中随机同时选择其中两种按一定比例进行混合的所有等可能的结果，再找出得到紫色的结果，然后利用概率公式计算即可得．
【详解】解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，甲同学从颜料三原色中随机同时选择其中两种按一定比例进行混合共有6种等可能的结果，其中，得到紫色的结果有2种，
则得到紫色的概率是，
故选：B．
二、填空题
4．（2025·安徽安庆·二模）小华有一个密码小宝箱，他忘记位数密码的一部分，且密码每一个数字和其他数字都不重复现在小华想要打开他的宝箱，最多需要尝试______次
【答案】5
【分析】题目主要考查数字的排列，根据题意得出还有7，5，3，6，1共五个数字未用，列出所有可能出现的结果即可得出答案．
【详解】解：根据题意得出还有7，5，3，6，1共五个数字未用，
∴最多需要尝试5次．
故答案为5．
5．（25-26九年级上·四川成都·期中）在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，则参与者小刚和小利被分配到同一组的概率为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人分配到同一组的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
小刚小利
由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两人分配到同一组的结果数有3种，
∴参与者小刚和小利被分配到同一组的概率为，
故答案为：．
6．（2025·山西运城·模拟预测）在第16届太原马拉松赛上，小夏和小强作为志愿者，可以分别从甲、乙、丙、丁四个补给站中随机选择一个进行志愿服务，则小夏和小强选择同一个补给站进行志愿服务的概率为__________．
【答案】
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画出树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一个补给站的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：列表如图：
小强 小夏 甲 乙 丙 丁
甲 （甲，甲） （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，乙） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） （丁，丁）
共有16种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一个补给站的结果数为4种，
则小夏和小强选择同一个补给站进行志愿服务的概率，
故答案为：．
三、解答题
7．（2025·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率．
【答案】
【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得从袋子中随机摸出2个球的所有等可能的结果，再找出摸出标有数字2和3的两个球的结果，然后利用概率公式计算即可得．
【详解】解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，从袋子中随机摸出2个球共有12种等可能的结果，其中，摸出标有数字2和3的两个球有2种，
则摸出标有数字2和3的两个球的概率为，
答：摸出标有数字2和3的两个球的概率为．
8．（2025·吉林长春·二模）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员，请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
【答案】
【分析】本题主要考查了利用树状图求概率，根据题意正确画出树状图成为解题的关键．
先根据题意画出树状图、确定所有等可能情况数、再确定满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可．
【详解】解：树状图如下所示：
一共有12种等可能事件，其中甲、丁同学都被选为宣传员的可能性有2种，
∴．
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浙教版新版九上第二单元 新知超前
2.2.2 简单随机事件的概率②（原卷版）
知识点1 列表法求概率
__________：适用于__________。将所有等可能的结果列在__________中，横行和纵列分别表示第一步和第二步的结果。总数n=__________，目标数m=__________，概率=__________。
知识点2 树状图法求概率
__________：适用于__________。从起点出发，每一步列出__________，形成__________结构。每条路径对应一种结果。总数n=__________，概率=__________。
知识点3 放回与不放回的区别
__________：每次抽取后放回，每次的__________不变，两次可能抽到同一物体。__________：抽后不放回，每次的__________，两次不可能抽到同一物体。解题前先判断__________。
知识点4 两步事件综合应用
综合运用列表法或树状图解决实际概率问题：两人选同一处、颜色相同/不同、数字和/积等。注意区分________________=不放回，________________=放回。
考点1 列表法求概率
【解题思路】列出行×列的表格，填入每一步的结果组合。总格数=n，符合条件的格数=m，P=m/n。
例1．2025年1月15日，中国邮政发行《中国核工业创建七十周年》纪念邮票1套3枚，邮票图案名称分别为“核铸利器”“核能先锋”“核惠民生”．将3枚邮票背面朝上放置桌面（邮票背面完全相同），从中随机抽取1枚，不放回，再随机抽取1枚，则两次抽到的邮票中恰好有1枚是“核铸利器”的概率为（　　）
A． B． C． D．
变式1．某班有3名女生和1名男生在体育测试中表现优异，从这4名学生中随机选取2名学生参加区运动会，则选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式2．一个不透明的袋子里装了四个除标号外其余都相同的小球，小球的标号分别为．若一次性随机抽取两个小球，则两个小球的对应标号之和大于的概率为__________．
考点2 树状图法求概率
【解题思路】从起点分叉：每一步画出所有可能选择，形成树枝。数总路径数和目标路径数，代入P=m/n。
例2．一个不透明的口袋里有一个红球、两个黄球，小球除颜色外无其它差别，从中一次性摸出两个球，摸到的两个球的颜色相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式2．星期天小明与小辉打算从呼市的青城公园，满都海公园，小草公园，公主府公园个中任选一个进行游玩，则两人选中同一公园的概率为________．
考点3 放回与不放回
【解题思路】放回：每次总数不变，同一物体可重复出现。不放回：总数逐次减1，同一物体不会重复。关键是判断题意。
例3．盒中有1枚白色棋子和2枚黑色棋子，这三枚棋子除颜色外无其他差别，从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，放回后，再从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，那么两次记录的颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
变式1．武汉旅游资源丰富，古琴台历史悠久、东湖绿道适合骑行、木兰天池沁人心脾、省博物馆享有盛誉．小宜打算端午期间从这四个景点中随机选择两个不同的景点去旅游，则他刚好选到“古琴台”和“东湖绿道”的概率是（ ）
A． B． C． D．
变式2．“宫、商、角、徵、羽”是我国五声音调中五个不同音的名称，类似现在简谱中的1，2，3，4，5，也称作“五音”．现有一款叫作“一起听古音”的音乐小程序（如图），五个音所在的圆绕着圆匀速运动．小明点击圆时会随机发出其中一个音，小亮再点击圆时会随机发出其中一个音，则小明和小亮两人点击圆发出的音恰好相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点4 两步事件综合应用
【解题思路】两人选择类：看作两步事件，每人各选一次。用列表或树状图均可，注意区分"同时"和"先后"。
例4．“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用寒假从A，B两处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A． B． C． D．
变式1．在2，5，7三个数中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
变式2．小王和小李都是河南传统文化爱好者，他们分别从推荐的3个文化项目中任选一个进行学习，则两人学习的是同一个项目的概率为______．
一、选择题
1．（25-26九年级上·全国·期末）从整数2，3，4，5中任选2个数相加，其和是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）2025年8月7日晚我县因强降雨引发山洪泥石流，导致我县城关镇、马坡乡、小康营乡、夏官营镇4个乡镇发生山洪灾害，相关部门连夜救援，全县人民积极参与抗洪救灾，小张和小李两名同学踊跃前去当志愿者，他们随机从“清理淤泥垃圾”、“安置点做义务工”、“物资装卸”、“物资登记与分发”四项中任选一项参加志愿者活动，则他俩恰好选择不同项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）颜料三原色是指红、黄、蓝三色，又称为基色，即用以调配其他色彩的基本色．配色规律如图所示（例如：红和黄按一定比例混合可以呈现橙色）．在一次美术课上，甲同学从颜料三原色中随机同时选择其中两种按一定比例进行混合，那么得到紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2025·安徽安庆·二模）小华有一个密码小宝箱，他忘记位数密码的一部分，且密码每一个数字和其他数字都不重复现在小华想要打开他的宝箱，最多需要尝试______次
5．（25-26九年级上·四川成都·期中）在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，则参与者小刚和小利被分配到同一组的概率为________．
6．（2025·山西运城·模拟预测）在第16届太原马拉松赛上，小夏和小强作为志愿者，可以分别从甲、乙、丙、丁四个补给站中随机选择一个进行志愿服务，则小夏和小强选择同一个补给站进行志愿服务的概率为__________．
三、解答题
7．（2025·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率．
8．（2025·吉林长春·二模）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员，请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
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