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《2025-2026 学年度高中数学期末考试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B A A A B D CD ACD
题号 11
答案 ACD
1．A
2．D
分析： 利用 是 上的偶函数可知， ，再根据 在区
间 上单调递增即可判断大小.
解析：利用 是 上的偶函数可知， ，
由于 ，又 在区间 上单调递增，
则 ,
故 .
3．B
分析：根据函数有意义建立不等式组求解即可.
解析：由函数 的定义域为 ，
所以函数 要有意义则： ，解得： ，
所以函数 的定义域为： .
4．A
分析：由正态分布对称性结合题设可得答案．
解析：由题可得： ，则 ，
，
则 .
5．A
分析：根据函数的奇偶性和对称性推出 4 是函数 的一个周期，利用周期性和奇偶性
即可求得答案.
解析：因 是定义在 上的奇函数，则 ，
又 ，则 ，
故 ，即 ，则 ，
故 4 是函数 的一个周期，
于是 .
故选：A.
6．A
解析：二项式 的展开式的通项为 ，
其中 .
令 ，解得 ，则 项的系数为 .
∵ ， ，且已知 的系数为 ，
∴ ，即 ，解得 .
7．B
分析：根据单局胜率表示出总比赛局数的概率分布，再利用给定的数学期望建立方程即可
求解.
解析：由题意得随机变量 可能的取值为 2，3，
，
因为比赛必定在 2 局或 3 局结束，所以打满 3 局的概率就是不出现 2 局结束的对立事件概率，
即 ，
故 的分布列为：
2 3
故 ，
由 ，解得 .
8．D
分析：由题可知，设函数 ， ，根据导数求出 的
极值点，得出单调性，根据 在区间 内的解集中有且仅有
三个整数，转化为 在区间 内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，
可求出实数 的取值范围.
解析：设函数 ， ，
因为 ，令 ，则 或 ，
则 时， ， 或 时， ， ，
在上 递增，在 上递减，
当 时， 至多一个整数根；
当 时， 在 内的解集中仅有三个整数，
根据图象，只需 ， ，
所以 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于分出两个函数 ，
，结合导数研究其函数图象的关系从而得解.
9．CD
分析：本题考查经验回归直线的性质、样本相关系数的意义、残差图的作用以及独立性检
验的应用.
解析：A 中，线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，所以 A 错误:
B 中，相关系数是用来刻画两个变量的相关程度强弱， 值越大两个变量的相关程度越强，
所以 B 错误;
C 中，在残差图中，若残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，所
以 C 正确;
D 中，因为 ，所以可判断 与 有关联且犯错误的概率不超过
0.05，正确.
10．ACD
分析：根据 ，整理变形，可判断 A 的正误；根据基本不等式可判断 B、C 的
正误；利用作差法，可判断 D 的正误.
解析：选项 A：因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故 A 正确；
选项 B：因为 ， ，所以 ，即 ，
当且仅当 时取等号，故 B 错误；
选项 C：因为 ， ，所以 ，即 ，
当且仅当 时取等号，故 C 正确；
选项 D： ，
当且仅当 时取等号，所以 ，故 D 正确.
故选：ACD
11．ACD
分析：通过赋值法求 的值，判断选项 A；构造辅助函数，确定 的表达式，进
而根据 的值域判断选项 B；求导，判断选项 C；利用函数的对称性判断选项 D．
解析：令 ，代入等式 得：
，
解得 或 ，
若 ，令 ，则对任意 有 ，此时 ，
与 矛盾，故 ，A 正确；
由于 在 上可导，对等式两边关于 求导，得
，
令 ，并代入 ， ，得 ，故 C 正确．
令 ，
则
由 得 ，
所以 在 上为常数．
又 因此 ，即 ，
因为对任意 ，都有 ， ，
所以不存在 使得 ，故 B 错误．
，故 ，
对任意 ， ，
故 的图象关于直线 对称，故 D 正确．
12．-1
13．
分析：依题意令 ，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小．
解析：设 ， ，
当 时， ，即 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
14． /0.3125
分析：由题得出 的递推式，构造等比数列求解即可．
解析：由题意得 ， 时， ，即 ，
设 ，故 ，
所以 ，其中 ，
即 是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ，即 ，
所以 ．
15．(1)
(2)证明：因为 ， ：
所以 .
所以
因为 为正整数， ，所以 ，
因此： .
分析：（1）利用已知条件列出方程组，求出 ，即可得出结果；
（2）由（1）可得 ，通过裂项，根据求和计算即证得结果.
解析：（1）设等差数列首项为 ，公差 ，由 ， 成等比数列，
可得： ，由 ，解得： ，
所以 的通项公式为 .
（2）略
16．(1)
(2) ，
分析：（1）利用频率分布直方图的性质求解.
（2）利用超几何分布求解.
（3）利用二项分布求解.
解析：（1）成绩在 的人数为 人，
成绩在 的人数为 人，
用分层随机抽样的方法抽取 5 人，这 5 人成绩在 的有 人， 成绩在
的有 人.
的所有取值为 .
，
，
所以 的分布列为
（2）成绩在 的频率为 .
用频率估计概率，则从全公司中随机抽取 1 人， 成绩在 的概率为 .
随机抽取 3 人，成绩在 范围的人数 .
所以 ， .
17．(1)证明：由正三棱柱的定义可知 是等边三角形， 平面 ．
因为 平面 ，所以 .
因为 是等边三角形，D 为 的中点，所以 .
因为 ， 平面 ，且 ，
所以 平面 ．
(2)存在，
分析：（1）利用正三棱柱的特征及线面垂直的判定证明即可；
（2）先作 于 E 点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计
算线段比即可.
解析：（1）略
（2）如图，取 的中点 ，连接 ， ，则 ，
则 是异面直线 与 CD 所成的角或补角.
设 ，则 ， ， ， ，
故 ，
即异面直线 与 CD 所成角的余弦值为 .
（3）在 中，作 ，垂足为 E.
因为 平面 ，且 平面 ，
所以 .
因为 平面 ，且 ，
所以 平面 .
因为 平面 BCE，所以平面 平面 .
设 ，则 ， ，故 .
因为 ，
所以 ，
则 ， ，
所以 .
故在 上存在点 E，使得平面 平面 ，此时 .
18．(1) 时， 在 单调递增，在 单调递减；
时， 在 ， 单调递增，在 单调递减；
时， 在 上单调递增；
时， 在 ， 单调递增，在 单调递减
(2)
分析：（1）对函数求导，利用导数，按 的取值范围分情况讨论函数的单调性；
（2） ，令 ，则问题转化为
的图象与直线 有两个不同的交点，对函数求导并分析函数单调性，作
出大致图象，结合图象求实数 a 的取值范围．
解析：（1）函数 的定义域为 ，
，
若 ，则 ， ， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
若 ，令 ，则 或 ，
当 ，即 时， 或 ， ，
在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 ，即 时， 在 上恒成立，此时 在 上单调
递增；
当 ，即 时， 或 ， ，
在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
综上：
时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
时， 在 上单调递增；
时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
（2） ，
令 ，则问题转化为 的图象与直线 有两个不同的交点，
，则 ， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
且 时 ， 时 ， ，大致图象如下，
要使 的图象与直线 有两个不同的交点，则 ，即
，
a 的取值范围是 ．
19．(1)
(2)
(3)当直线 的斜率不为 0 时，设 ，
联立椭圆方程 ，得到 ，
则 ，
设 ， ，则 ，由韦达定理可得 ，
，
因为 ，原点 到 的距离为 ，
所以 ，
又因为点 到 的距离为 ， ，
所以 ，
所以 ，
由 ， ，得到 ，
所以 ；
当直线 的斜率为 0 时， ， ， ， 四点共线无法构成三角形，故舍去；
综上， 为定值．
分析：（1）由题设求出 ，进而求解即可；
（2）设 ，由 的面积为 可得 ，进而结合平面向量的数量
积的坐标表示求解即可；
（3）当直线 的斜率不为 0 时，设 ，利用韦达定理得到
， ，且 ，利用距离公式和弦长公
式表示 ， ，所以 ；当直线 的
斜率为 0 时，不满足题意，故 为定值．
解析：（1）由题意得， ，所以 ，
又因为离心率 ，所以 ，
所以 ，所以椭圆的方程为 ．
（2）设 ，所以 ，将 代入椭
圆方程，
所以 ，所以 ．
（3）略2025-2026 学年度第二学期期末考试卷
高二数学
第 I 卷（选择题）
一、单选题：本题共八小题，每小题五分，共 40 分
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 是 上的偶函数，当 时， 是增函数，则
的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
4．已知某地青年男性的身高 （单位： ）服从正态分布 ，且
，在该地区随机抽取 1 名青年男性，则该男性身高不低于
的概率为（ ）
A．0.05 B．0.15 C．0.25 D．0.35
5．已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则
（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
6．已知 的展开式中的 的系数是 280，则 （ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
7．甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必
须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是 ，随机变量 表示最终的比赛局数，若 的数学期
望为 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
8．已知不等式 （其中 ）的解集中恰有三个正整数，则实数 的
取值范围是（ ）
第 1 页，共 2 页
A． B． C． D．
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，
有选错的得 0 分
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线
B．可以用相关系数 刻画两个变量的相关程度强弱， 值越大两个变量的相关程度越强
C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高
D．根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 ，根据小概率值
的 独立性检验 ，可判断 与 有关联，此推断犯错误的概
率不超过 0.05
10．对于 ， ，下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ， ，
且 ，则（ ）
A． B．存在 使得
C． D． 的图象关于直线 对称
第 II 卷（非选择题）
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12．已知 ，则 ______________.
13．已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，当 时，
，若 ， ， ，则 由小到大为_______．
14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第 1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能
地将球传给另外两个人中的任何一人，记 n 次传球后球在甲手中的概率为 ，则
________．
三、解答题:本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．已知等差数列 的公差 ，且 ， ， ， 成等比数列．
第 1 页，共 2 页
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，记 的前 项和为 ，求证： ．
16．2026 年，AI 软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来
了便捷，实现了从“生成式 AI”向“决策式 AI”的全面跨越.行业焦点已从 AI“能说会道”的创造
能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力.某公司进行 AI 知识竞赛.从参赛者中随机
选出 100 人的成绩作为样本，将成绩（满分 100 分）分为 ， ，
， ， ，共 5 组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在 的人中抽取 5 人，再从这 5 人中随
机抽取 3 人，记这 3 人的成绩在 的人数为 ，求 的分布列及数学期望；
(2)假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取 3 人，用 表示其成绩在 范围的人
数，求 Y 的期望及方差.
17．如图，在正三棱柱 中， 为 的中点.
(1)证明： 平面 .
(2)在 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，
说明理由.
18．已知函数 ，其中 ．
(1)讨论函数 的单调性；
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(2)若函数 有两个不同的零点 、 ，求实数 a 的取值范围．
19．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，离心率为 ，且
，直线 l 过点 且与 C 相交于 A，B 两点．
(1)求 C 的方程；
(2)若 的面积为 ，求 ；
(3)过点 A 作直线 的垂线，垂足为 P，求证： 为定值．
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