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新湘教版八年级上册数学
第4章 三角形
4.1.1 认识三角形
学习目标
1．理解并掌握三角形的概念，会用符号表示三角形．
2．掌握三角形三边之间的不等关系，能初步理解组成三角形的三条线段应满足的条件．
3．理解并掌握三角形的三种重要线段概念及其性质．
4．会画三角形的高、中线、角平分线．
5．能运用三角形的概念，三边关系及三种线段的性质解决相关问题．
任务导入
观察下图，找一找图中的三角形. 构成三角形的三条线段在同一条直线上吗？这三条线段是怎样连接的？
构成三角形的三条线段不在同一条直线上，
三条线段是首尾连接在一起的.
探索展示
不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.
探索展示
A
B
C
记作 △ABC，读作“三角形ABC”
点A，B，C叫做△ABC的顶点
∠A，∠B，∠C叫做△ABC的内角，
简称三角形的角.
线段AB，BC，CA叫做△ABC的边.
通常∠A，∠B，∠C的对边BC，AC，AB可分别用小写
字母a，b，c来表示
a
b
c
应用提升
1.如图，完成下面的填空：
(1)以CD为边的三角形有 ；
(2)∠EFB是 的内角；
(3)在△BCE中，BE所对的角是 ，
∠CBE所对的边是 ；
(4)以∠A为内角的三角形有 .
课堂练习
A
B
C
D
E
F
△CDF，△CDB
△BEF
∠ECB
CE
△ABC，△ABD，△ACE
探索展示
三角形中，有的三边都不相等，有的两边相等，有的三边
都相等.其中，两条边相等的三角形叫作等腰三角形.在等腰三角形
中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边.两腰的夹角叫作顶角，
腰和底边的夹角叫作底角.
三边均不相等
不等边三角形
有两条边相等
等腰三角形
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
三条边均相等
等边三角形(正三角形)
等边三角形是特殊的等腰三角形,
腰和底边相等的等腰三角形.
探索展示
在小学阶段，通过画三角形等操作过程，探索得知：三角形中任意两边的长度之和大于第三边的长度 . 这一结论对任何三角形都成立吗？为什么？
A
B
C
证：
根据“两点之间，线段最短”，得
AB + AC > BC
同理可得
AB + BC > AC，
AC + BC > AB.
由此得到，三角形三边之间有以下关系：
三角形的任意两边之和大于第三边.
利用不等式的基本性质，对上面的不等式进行移项变形，还可以得到：
三角形的任意两边之差小于第三边.
例1 如图，D 是△ABC的边AC上一点，AD = BD，
试判断AC与BC的大小关系.
应用提升
A
B
C
D
解：
∵AC = AD + DC
又∵ AD = BD
∴ AC = BD + DC
∵在△BDC中，
BD + DC > BC(三角形的任意两边之和大于第三边)
∴ AC > BC
应用提升
课堂练习
2.已知三角形的两边长为6，7，则第三边长的取值范围是多少？
解：根据三角形的三边关系：
7-6＜第三边长＜7+6
∴ 1＜第三边长＜13
探索展示
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，
顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
A
B
C
H
如图，AH⊥BC，垂足为点H，则线段AH是
△ABC的BC边上的高.
一个三角形有三条高
探索展示
如图，试用三角板或量角器分别画出图中△ABC三条边上的高线.
A
B
C
探索展示
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
A
B
C
D
想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗
相同点是： ∠ BAD= ∠ CAD;
不同点是：前者是线段，后者是射线.
一个三角形有三条角平分线
如图，AD平分∠BAC，交BC于点D，
则线段AD是△ABC的一条角平分线.
此时
探索展示
在三角形中，连接一个顶点和它的对边
中点的线段叫作三角形的中线.
A
B
C
E
如图，E是线段BC的中点，则线段AE
是△ABC的边BC上的中线
此时
一个三角形有三条中线
探索展示
任意画一个三角形，画出三边上的中线. 你发现了什么？
A
B
C
E
D
F
G
它们相交于一点
三角形的三条中线相交于一点.
这三条中线的交点叫作三角形的重心.
如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF
相交于点 G，则点G为△ABC的重心.
应用提升
例2 如图 ，AD 是△ABC的中线，AE是△ABC的高线 .
(1)图中共有几个三角形？请分别列举出来.
(2)图中哪些三角形的面积相等？
A
B
C
D
E
△ABD，△ADE，△AEC，
△ABE，△ADC，△ABC.
解：(1)
图中有6个三角形，它们分别是：
(2)∵AD是△ABC的中线
∴ BD=DC
∵ AE是人△ABC的高线，
也是△ABD和△ADC的高线
∴
从而
应用提升
课堂练习
3.如图，AD是△ABC的高DE是△ADB的中线，
BF是△EBD的角平分线.根据已知条件填空:
A
B
C
D
E
F
ADC
90
AE
AB
EBF
DBA
课堂小结
导图复盘
认识三角形
相关概念
三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形。
三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边。
三角形按边分类
不等边三角形
等腰三角形（包括等边三角形）
三角形重要线段
高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。
角平分线
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。
中线
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线。
①
②
③
当堂检测
情景导入
生活中，许多物体给以我们以三角形的形象，你能举出一些例子吗？
三角尺教具
太阳能热水器支架侧面
房顶正面
什么样的图形叫做三角形呢？
探究新知
观察图2—1，找一找图中的三角形，把它们勾画出来，并用一句话说明什么叫做三角形？
不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.
探究新知
三角形可用符号“△”来表示
A
B
C
右图中的三角形可记作“△ABC ”
读作三角形ABC.
点A，B，C叫作△ABC的顶点。
∠A，∠B，∠C叫作△ABC的内角(简称△ABC的角)。
探究新知
A
B
C
a
b
c
线段AB，BC，CA叫作△ABC的边。
通常∠A的对边 又用 来表示。
BC
a
∠B的对边 又用 来表示。
CA
b
∠C的对边 又用 来表示。
AB
c
探究新知
下面三个三角形的边有什么不同？你能说出它们分别是什么三角形吗？
三边各不相等
两边相等
三边相等
等腰三角形
等边三角形
观察
探究新知
在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
A
B
C
腰
腰
顶角
底角
底边
两边相等的三角形叫作等腰三角形.
等腰三角形
探究新知
三边相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）.
等边三角形是特殊的等腰三角形
——腰和底边相等的等腰三角形.
A
B
C
等边三角形
探究新知
A
B
C
在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度之间有怎样的大小关系？为什么？
探究新知
A
B
C
“两点之间线段最短”，在△ABC中,连接B，C两点的线段是 ，所以
BC
AB+AC BC
＞
同理可得，
AB+BC＞AC, AC+BC ＞AB.
探究新知
一般地，我们可以得出：
三角形的任意两边之和大于第三边.
探究新知
有三根木棒，其长度分别为2cm，3cm，6cm，它们能否首尾相接构成一个三角形？
因为2+3＜6，所以不能构成一个三角形.
做一做：
探究新知
例1 如图，D是△ABC的边AC上一点，AD=BD，试判断AC与BC的大小.
分析：AC与BC的大小不能直接比较，但根据三角形的三边关系，在△BDC中，可得BD+DC＞BC。而由AD=BD得BD+DC= AD+DC=AC，即AC=BD+DC。所以，AC＞BC。
探究新知
解：因为AD=BD，所以，
AD+DC=BD+DC,
即 AC=BD+DC.
又因为在△BDC中，
BD+DC＞BC
(三角形的任意两边之和大于第三边)
所以， AC＞BC.
中考考法
1. 下列由三条线段组成的图形是三角形的是( )
C
A. B. C. D.
返回
中考考法
（第2题）
A
返回
中考考法
3. ［2025周口月考］若使用如图所示的①②两根铁丝做成一
个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成
两段的铁丝是( )
A
A. 只有①可以 B. 只有②可以
C. ①②都可以 D. ①②都不可以
返回
中考考法
（第4题）
6
返回
中考考法
等边
返回
中考考法
8
返回
中考考法
中考考法
返回
中考考法
C
A. ①② B. ③④
C. ①④ D. ①③
返回
中考考法
9. 如图，用四个螺丝将四根不可弯曲的木
条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相
邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相
邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹
C
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
角时不破坏此木框，则任意两螺丝之间的距离最大为( )
课堂小结
1. 什么叫做三角形？
不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫做三角形。
2. 两条边相等的三角形叫做 ，三条边都相等的三角形叫做 （或 ），等边三角形是 的特殊等腰三角形。
等腰三角形
等边三角形
正三角形
腰和底边相等
课堂小结
三角形任意两边之和大于第三边.
3. 三角形的三条边长有什么关系？
所以，较小的两边之和大于最长边.
作业
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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