资源简介

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专题1-1 空间向量与立体几何重难点突破
重点题型
【题型1】通过基底表示目标向量 1
【题型2】共面问题 4
【题型3】夹角，数量积，投影计算 7
中档题型
【题型4】利用空间向量求线段长 9
【题型5】立体图形中的极化恒等式 14
【题型6】点到直线距离问题 17
【题型7】点到平面距离问题 19
【题型8】求线面角 24
【题型9】求面面角，二面角 29
压轴题
【题型10】利用空间向量求最值与范围 38
【题型11】综合性问题（选填压轴） 44
【题型1】通过基底表示目标向量
一般是插入相关点把向量拆分成基底相关的向量，在某些适当的时候也可以通过结合爪型图来拆分向量
在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若，，，则
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角形法则和平行四边形法则、数乘运算求解即可.
【解析】
如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，即，
又，所以.
故选：D

【巩固练习1】如图，已知空间四边形，分别是的中点，且，，，用表示向量为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，连接，则，

，所以.
【巩固练习2】如图，平行六面体中，分别为的中点.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间共面向量定理的推论及应用
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法，求得，进而求得的值，即可求解.
【详解】因为平行六面体中，分别为的中点，
可得，
又因为，可得，即.
【巩固练习3】在四面体中，设，为的中点，为的中点，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为的中点，为的中点，
所以.
【题型2】共面问题
1.空间向量基本定理
如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得
2.四点共面
O为空间中一任意点，若，且，则O,A,B,C四点共面
下列命题正确的是（ ）
A．若，则与，共面
B．若，则共面
C．若，则共面
D．若，则共面
【答案】ABD
【知识点】平面向量基本定理的应用、判定空间向量共面
【分析】利用共面向量定理:即若一条向量用另外两条向量线性表示，则这三条向量一定共面，用此法可判断三条向量共面，再利用有公共点的三条向量共面，进而可判断四点共面，针对，可以利用线性运算转化为，再进行判断.
【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的；
选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点，
所以共面；
选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量，
则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量，
此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的；
选项D，由可得，
则，即，
则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的
若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】A
【知识点】判定空间向量共面
【分析】根据向量共面的条件对选项逐一分析即可.
【详解】构成空间的一组基底，则不共线，
假设共面，则存在不全为零的实数，使，即，
则，则，与不共线矛盾，故不共面；
，故共面；
，故共面；
，故共面.
为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则 .
【答案】
【知识点】空间向量共面求参数
【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解.
【详解】因为，，所以，
即，由于，，，四点共面，则，解得：
若向量，，共面，则 ．
【答案】2
【知识点】空间向量共面求参数
【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算即得.
【详解】由，，得不共线，由共面，得，
即，则，解得，所以.
【巩固练习1】（多选）设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】BCD
【知识点】判定空间向量共面
【分析】利用空间向量为基底作出一个平行六面体，利用空间关系来观察是否共面，即可得出判断.
【详解】
∵，∴根据平面向量基本定理得：，，共面，不能作为空间向量的一个基底．所以①不符合；
∵，，，且是空间的一个基底，
∴由图可知，四点不共面，所以，，不共面，可作为空间向量的一个基底．所以②符合
∴由图可知，四点不共面，所以，，不共面，可作为空间向量的一个基底，所以③符合
∵,
∴由图可知，与共面于平面，显然对应的直线平面平面，
所以，，不共面，都可作为空间向量的一个基底．所以④符合
故选;BCD.
【巩固练习2】已知动点在所在平面内运动，若对于空间中不在平面上的任意一点，都有，则实数的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量共面求参数
【分析】由三点共面得到系数之和为，从而解出的值.
【详解】因为，动点在所在平面内运动，所以，解得．
【巩固练习3】已知向量，，，若，，共面，则（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
【答案】D
【知识点】空间向量共面求参数
【分析】根据共面定理得，即可代入坐标运算求解.
【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得，
即，即，解得.
【巩固练习4】如图，在空间四边形中，是的重心，若，则 .
【答案】1
【知识点】三角形的心的向量表示、空间向量加减运算的几何表示、用空间基底表示向量
【分析】结合是的重心，根据向量的线性运算，代入即可得出．
【详解】D为AB中点，连接OD，CD，有，
是的重心，则G在CD上，且，
即，则有，
所以，可得，则有.
【题型3】夹角，数量积，投影计算
与平面向量公式一致
（多选）已知空间向量，则（ ）
A．
B．在上的投影向量为
C．若向量，则点在平面内
D．向量是与平行的一个单位向量
【答案】ABD
【分析】由空间向量垂直和平行坐标运算判断AD,由空间向量基本定理判断C,由投影向量判断B.
【详解】由已知可得，A正确；
由于，所以在上的投影向量即为，B正确；
若在平面ABC内，则存在实数x，y，使得，而,
所以，上述方程组无解，故点E不在平面ABC内，C错误;
由，故，且，所以正确．
已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（ ）
A． B．14 C． D．2
【答案】A
【分析】利用空间向量数量积的性质即可求解.
【详解】依题意得，，；
所以，
【巩固练习1】已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的投影向量公式进行求解.
【详解】，故在上的投影向量为.
【巩固练习2】已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解.
【详解】由题意，，，，
则空间向量在向量方向上的投影数量为.
所以所求投影向量的模长为2.
【巩固练习3】在空间四边形中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】先利用题给条件求得的值，进而求得的值.
【详解】如图所示，
∵，
又，，则
∴，∴，.
【题型4】利用空间向量求线段长
先把所求线段拆分成基底的形式，再将等式两边同时平方
如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.
(1)试用表示向量；
(2)求BM的长.
【答案】(1)；(2)
【分析】利用空间向量基本定理用基底表示；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.
【详解】（1）
（2）
，所以，则BM的长为.
如图在平行六面体中，，，则的长是 ．
【答案】
【知识点】空间向量数量积的应用
【分析】根据题意，由条件可得，再由空间向量的模长公式，即可得到结果.
【详解】因为，所以
，则，所以的长是.
如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，，，则的长等于 ．

【答案】
【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、空间向量数量积的应用、空间向量加减运算的几何表示
【分析】根据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可．
【详解】由二面角的平面角的定义知，，
由，，得，又，
，所以，即
（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．

(1)求；
(2)求的长．
【答案】(1)；(2)
【知识点】空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积
【分析】（1）根据，代入数值直接求得结果；
（2）化简可得，然后采用先平方再开方的方法求解出，则的长可知.
【详解】（1）.
（2）因为，
所以
【巩固练习1】在平行六面体中，，，，，，则
【答案】
【知识点】空间向量数量积的应用
【分析】根据题意，由条件可得，再由空间向量的模长公式计算即可得.
【详解】因为，
所以
，故.
故答案为：.
【巩固练习2】如图在一个的二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若，，，则 ．
【答案】
【知识点】空间向量数量积的应用
【分析】利用表示，根据数量积的性质求即可.
【详解】由已知可得，所以，
因为线段AC、BD均与棱AB垂直，所以，，
因为二面角的大小为，所以，所以，
因为，，，所以
【巩固练习3】在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，用，，表示向量 ，异面直线与所成角的余弦值为 .
【答案】
【分析】画出对应的正四面体，设棱长均为1,
由向量的三角形加法法则和平行四边形加法法则得出答案;
(2) 设异面直线与所成角为,将用基底，，表示,代入公式计算得出答案.
【详解】画出对应的正四面体，设棱长均为1,则
(1) .
(2)由(1) ，又.
又.设异面直线与所成角为,
则.
【巩固练习4】如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．
(1)求的长；
(2)求和夹角的余弦值．
【答案】(1)；(2)
【知识点】向量夹角的计算、空间向量数量积的应用
【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案；
（2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】（1）由题意得，
又，，，，，
故，
故；
（2）
，
则.
【题型5】立体图形中的极化恒等式
在三角形ABC中（M为BC的中点），则
证明（基底法）：因为，
所以
如图，半径为1的球是圆柱的内切球，线段是球的一条直径，点是圆柱表面上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把都用表示，再根据的模长的范围求出数量积的范围即可.
【详解】，因为线段是球的一条直径，
,
，又，，
已知是棱长为的正方体外接球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据已知条件及正方体的体对角线为正方体外接球的直径，再利用平面向量的数量积的运算，结合平面向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意可知，为棱长为的正方体外接球的一条直径，为球心，为正方体表面上的任意一点，如图所示
则球心也就是正方体的中心，
所以正方体的中心到正方体表面任意一点的距离的最小值为正方体的内切球半径，它等于棱长的一半为,的长为正方体的对角线长为.
，
所以的最小值为.
正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为 .
【答案】
【分析】利用等体积法求得，根据空间向量运算可得，则当的长度最小时，取得最小值，结合正四面体的结构特征运算求解.
【详解】设的中点为，的中心为，连接，
因为四面体是棱长为1的正四面体，可知，
即四面体的高为，则其体积为，
设正四面体内切球的半径为，
由等体积可得，解得，
如图，取的中点为，
则，
显然当的长度最小时，取得最小值.
设正四面体内切球的球心为，可求得，
因为球心到点的距离，
所以球上的点到点的最小距离为，
即当取得最小值时，点到的距离为.
故答案为：.
【巩固练习1】已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解
【解析】设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，所以，，所以，
又点Р在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为；所以，所以的取值范围为
【巩固练习2】已知正方体的棱长为，球是正方体的内切球，是球的直径，点是正方体表面上的一个动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】因为球是正方体的内切球，是球的直径，
所以，，，
因为，
又因为点是正方体表面上的一个动点，
所以当点为正方体顶点时，有最大值，最大值为，
当点为内切球与正方体的切点时，有最小值，最小值为，
即，
即的取值范围为
【巩固练习3】已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，取中点为，则，再结合向量的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】
取中点为，因为，，
所以，
又，则，
又正方体的棱长为2，则正方体的内切球半径为1，则，，
所以，
所以，
所以当，反向时，，有最小值为；
当，同向时，，有最大值为.
【题型6】点到直线距离问题
点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为（如图）．
【注意】也可以用此法求“两条平行直线直接的距离”，即在一直线上任取一点，再利用点到直线的距离求得.
在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
.故选：A.
（23-24高二下·广东·月考）AD为三角形ABC边BC上的高，在空间直角坐标系中，，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，则，，
所以.故选：B
【巩固练习1】已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】点，点.
又直线的方向向量为
所以点到的距离.故选：B.
【巩固练习2】已知点，，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】设点到直线的距离为，因为，，
所以，故.故选：B.
【巩固练习3】已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在棱长为2的正方体中，以分别为轴建立空间直角坐标系，
则有，则，
设点，
则点到直线的距离
当且仅当时取等号，则点到直线的距离的最小值为.故选：D.
【题型7】点到平面距离问题
一、点到平面的距离
已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为（如图）.
注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
二、利用空间向量求异面直线所成角的步骤：
（1）建立适当的空间直角坐标系，一般找底面的直角顶点作为原点
（2）求出直线的方向向量和平面法向量的坐标
（3）利用公式求出距离
在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，令得，故，
显然平面平面，
所以平面与平面之间的距离．
（23-24高二下·广东广州·期中）如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点．
(1)求证：；
(2)若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）连接，因为三棱柱所有棱长均为2，则为等边三角形，
因为为中点，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，可得，
由题设知四边形为菱形，则，
因为，分别为，中点，则，可得，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）连接，因为，，所以为正三角形，所以，
又侧面与底面垂直，平面，侧面底面，
所以平面，所以，，两两垂直．
以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，
点为棱上靠近的三等分点，故，
可得，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，可得，
所以点到平面的距离为；
【巩固练习1】已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A．10 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】由题得，
所以到平面的距离为，故选：C.
【巩固练习2】是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为
【答案】
【分析】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，的坐标，利用距离公式，即可得到结论.
【详解】解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
设平面的法向量是，
，
∴由，可得
取得，，∴到平面的距离.
【巩固练习3】（23-24高二下·山东烟台·月考）如图，在三棱锥中，平面，点分别为的中点，是线段的中点，，则直线到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知，，两两垂直，则以为坐标原点，
，，的放向分别为轴，轴，轴正方向，建立如空间直角坐标系.
由题意，得
所以.设为平面的法向量，则令，
得.
又，所以，且平面，所以平面，
所以直线到平面的距离即为点到平面的距离，
设为，因为，所以.
故选：D
【巩固练习4】（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，在棱上，且．已知平面与平面的夹角为．
(1)求的长；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；
（2）结合（1）中结论，利用向量法求解即可.
【详解】（1）因为为直三棱柱，所以平面.
因为，所以.
可以以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系.
不妨设，则，，，
所以，，
设平面的法向量为，所以，、令，则，，即，
取平面的一个法向量为，
因为平面与平面的夹角为，
所以，解得.
即长为.
（2）由（1）知平面的一个法向量为.
因为，
所以点到平面的距离为.
【题型8】求线面角
1、直线与平面所成角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有①，②.（注意此公式中最后的形式是：）
思考：为什么要加绝对值？
直线的方向向量与共线，平面的一个法向量为，则直线和平面的夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线和平面的夹角为，则，
所以直线和平面的夹角的余弦值是.故选：B
如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，．
(1)求证：；
(2)求直线PE与平面PBD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知先证平面，再利用线面垂直的性质定理即可得证；
（2）运用空间向量法，借助法向量和方向向量,向量夹角公式求解即可.
【详解】（1）证明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴PA⊥BD．
又底面ABCD为正方形，∴．
又，且PA，平面PAC，∴平面PAC，
∵平面PAC，∴．
（2）以A点为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示，
则，，，，，
则，，，
设平面PBD的法向量为，
则即,令，可得，
∴，
设直线PE与平面PBD所成角为，
则．
【巩固练习1】将边长为1的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与C在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，，，
如图所示，建立空间直角坐标系．

则，
∴
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
∴．故选：D．
【巩固练习2】（23-24高二下·辽宁·月考）在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，又平面，平面，则，
以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
，，，设平面的法向量为，
则，令，得，设直线与平面所成角为，
则，所以.故选：A
【巩固练习3】如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，，为侧棱的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成的角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】证明面面垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）先证明平面，则有，再证明平面，根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又平面，
所以平面，又平面，所以，
因为点M为中点，，
所以，又平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面；
（2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知可得，
因为平面，
所以，即为平面PCD的一个法向量，
，
设直线与平面所成角为，
则，
又，所以，
即直线与平面所成角的大小为.

【巩固练习4】在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点．
(1)求证：底面；
(2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析;(2)存在，且
【解析】（1）证明：在中，，，
所以.
在中，，，，
由余弦定理有：，
所以，，所以，所以，
又因为，，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，
在中：，，，则，所以，，
因为，、平面，所以面.
（2）解：因为平面，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有、、、、，
设，其中，
则，，，
设为面的法向量，
则有，取，则，，
所以，平面的一个法向量为，
由题意可得，
可得，因为，所以.
因此，存在点使得与平面所成角的正弦值为，且.
【题型9】求面面角，二面角
1、面面角与二面角
如图，若于G，于H，平面PHG交于E，则∠HEG为二面角的平面角，∠HEG+∠HPG=180°.
若,分别为面，的法向量，则
① 设二面角的平面角为，则
②设平面与平面所成角为，则
【注意】二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解决。
2、几何法补充：三垂线法求二面角、面面角
使用前提：已知其中某个平面的垂线段
具体步骤
（1）已知AB垂直平面β，垂足为B（l⊥AB）
（2）过垂足B作交线l的垂线BO（l⊥OB）
（3）易知l⊥平面AOB，则∠AOB即为所求，且△AOB为直角三角形，邻比斜
正方体中，二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，可得，
则，
设是平面的一个法向量，则，即，
取，得，故，
又平面，故平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的余弦值为.故选：D.
如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析，(2)．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明,再通过线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出平面与平面的法向量，根据向量法求二面角的公式即可求解.
【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，，，
所以，，，
，，．
因为，所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）设平面的法向量为，
则，取，则，．
所以，是平面的一个法向量，
又因为平面，
所以为平面的一个法向量，
则，
设平面与平面的夹角为，
则，即平面与平面的夹角的余弦值为．
如图，四棱锥的底面是梯形，平面.
(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)存在，.
【分析】（1）只需结合已知证明平面，由面面垂直的判定定理即可进一步得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，引入参数，进一步表示两个平面的法向量，由向量夹角公式建立方程即可求解.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
因为，所以，
所以，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以，又，
所以两两互相垂直，
所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
如图，，
设，
则，
，设平面的法向量为，
则，即，取，满足条件，
所以可取，
，，设平面的法向量为，
则，即，取，解得，
所以，
由题意，
化简并整理得，解得或（舍去），
所以，
综上所述，棱上是否存在一点E，且，使得二面角的余弦值为.
【巩固练习1】如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，以的中点为球心、为直径的球面交于点．
(1)求证平面；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理和性质定理证平面，进而可得，再有利用线面垂直的判定定理可证；
（2）建立空间直角坐标系，根据向量法求二面角的大小.
【详解】（1）因为平面，平面，平面，
所以，，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
有题意可知，又，平面，平面，
所以平面．
（2）分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
因平面，平面，所以，
因为，所以为中点，
故，
平面的一个法向量为，
，
设平面的法向量为，
由得，令得，，
则，所以，
因为二面角是钝二面角，所以二面角的大小为．
【巩固练习2】如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）依据题意建立以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，计算即可得证.
（2）由（1）得直线的的方向量，平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则由即可得解.
（3）求出平面的一个法向量，计算，则由计算结果即可得解.
【详解】（1）如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，，
，，，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
故，即，则，
令，得，
所以，
所以，又平面，
所以平面.
（2）由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设平面的一个法向量，由（1）可得，，
则，故，即，
令，得，
所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
【巩固练习3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点．
(1)求证：平面；
(2)若与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设为中点，连接，证明即可；
（2）利用向量法求出两个平面的法向量，再利用平面与平面的夹角公式计算即可.
【详解】（1）设为中点，连接，
又分别是中点，
所以，，
又底面是正方形，
所以，，故四边形为平行四边形，则，
由平面平面，则平面.
（2）由题意知，以为原点，构建空间直角坐标系，

令，则，
所以，
所以，
令为平面的一个法向量，则，
令，即，
令为平面的一个法向量，则，
令，即，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值．
【巩固练习4】（23-24高二上·湖南长沙·期中）如图，在正三棱柱中，，点D，E，F分别在棱，，上，，为中点，连接

(1)证明：平面
(2)点P在棱上，当二面角为时，求EP的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）取中点，连接，，即可得到，，从而得到四边形为平行四边形，则，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，设，分别求出平面的法向量为和平面的法向量为，利用，求出a的值，即可求出结果．
【详解】（1）取中点，连接，，又为中点，所以为梯形的中位线，
所以，，
又，故，且，故四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，故平面
（2）以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：

则，，，设，
可得，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则有，即，取，则，，得，
又，即，取，则，，得，
由二面角为，得，即，解得，故
【题型10】利用空间向量求最值与范围
一、函数法
大多数情况下,把这类动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值
二、解不等式法
利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解
三、变量分析法
在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题
（23-24高二上·广东深圳·期中）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（，，），则（ ）
A．若，则平面ACD B．当最小时，
C．若，则 D．当最大时，
【答案】BCD
【分析】根据可证平面，设，且，进而可得，对于：若，则点即为点，进而可得结果；对于、：过作，垂足为，可证平面，则，结合图形分析判断；对于：若，可得点在线段上（包括端点），结合垂直关系分析判断.
【详解】由，平面平面，平面平面，平面，得平面，
又N在侧面上（包含边界），设，且，
于是，
而，则，且，
对于，若，则，点即为点，显然平面，错误；
过作，垂足为，得，，
由平面，平面，得，而，平面，
则平面，因此，
对于，显然当点与点重合时，最小，此时，则，正确；
对于，若，则，即点在线段上（包括端点），
由平面，平面，得，正确；
对于，显然当点与点重合时，最大，即最大，此时，
于是，正确.
（22-23高二下·江苏南通·期中）已知长方体的棱，，点满足：，、、，下列结论正确的是（ ）

A．当，时，到的距离为
B．当时，点的到平面的距离的最大值为1
C．当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为
D．当，时，四棱锥外接球的表面积为
【答案】CD
【分析】根据向量的线性关系确定所在的位置或区域，结合长方体的结构求点线、点面距离，根据线面角的定义求直线与平面所成角的最大正切值，求棱锥外接球的半径，进而求外接球的表面积.
【详解】A：，则，即，故在上运动，
所以到的距离为，即棱与的距离，错；
B：，则，故在底面上运动，
所以，当在上时，的到平面的距离最大，
而，面，面，则面，
所以，由长方体结构特征，最大值问题化为到的距离，，则，错；
C：，则，故在上运动，
根据长方体的结构易知：当与重合时，直线与面所成角正切值的最大值为，对；
D：，则，故为中点，
如下图，，，

所以的底面为矩形，顶点在的投影为底面中心，即的交点，
故外接球的球心一定在直线上，令球体半径为R，所以，，且，可得，则外接球的表面积为，对.
【巩固练习1】如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，则 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，设，由与共线，可得，进而结合空间两点的距离公式表示出，然后利用函数的性质求出最值即可.
【详解】设正方体的棱长为1，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，的中点，
，，则，设，，
由与共线，可得，所以，所以，其中，因为，
，
所以，所以，即是动点到直线的距离，
由空间两点间的距离公式可得，所以当时，取得最小值，
此时为线段的中点，由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点．
【巩固练习2】设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】以方向为轴，垂直于方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由的表达式即可求得最小值.
【详解】以方向为轴建立空间直角坐标系，则，，
设 则，
当时的最小值是，
取 则
又因为是任意值，所以的最小值是.
取 则
又因为是任意值，所以的最小值是.
【巩固练习3】（22-23高二上·浙江·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．几何体的外接球半径
B．平面
C．异面直线与所成角的正弦值的取值范围为
D．面与底面所成角正弦值的取值范围为
【答案】BC
【分析】对于A，几何体的外接球与正方体的外接球相同，可求得其半径；对于B，利用面面平行的性质定理可判断；对于C，找到异面直线与所成角的正弦值取到最大以及最小值的位置，即可求解；对于D，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式，结合三角函数的知识可进行求解.
【详解】几何体关于正方体的中心对称，
其外接球与正方体的外接球相同，半径为，故A错误.
在正方体中， ,故为平行四边形，
所以,而平面平面，平面，故平面，
同理可证平面,而平面,
所以平面平面平面，则平面，B正确.
由于，则直线与所成最大角为（或），
其正弦值为.直线与所成最小角为与平面所成角，
当为中点时，所成角即为，
而平面平面,故 , ，
故 ，故C正确.
以D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则 ,则,
设 ,则 ,
设平面的法向量为，则，
令，则 ，故 ，
由题意知平面ABCD的法向量可取为 ，则 ，
则面与底面所成角正弦值为，
由于，故当时，取到最小值8，则取到最小值为 ，
当或时，取最大值12，取最大值为，
所以面与底面所成角正弦值的取值范围为，D错误.
【题型11】综合性问题（选填压轴）
（22-23高二上·安徽安庆·阶段练习）如图，多面体中，，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ）

A．三棱锥的体积是定值
B．球面经过点四点的球的直径是
C．直线平面
D．二面角等于
【答案】AB
【分析】将原多面体补形为长方体，建立空间直角坐标系，运用空间向量求解.
【详解】在中，有，解得，
依题意，将原多面体补形为长方体如下图：

以O为原点，分别以OA，OB，OC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，
则有，三棱锥的体积，A正确；
经过A，B，C，D四点的球面的的球心就是长方体对角线CE的中点，其直径，B正确；
设平面ACD的法向量为，，
，令，则，，
与平面ACD不平行，C错误；
显然平面OAC的一个法向量为，
设平面OCD的法向量为，，则，
令，则， 设二面角为，则，D错误
【巩固练习1】已知正方体的棱长为2，点是棱的中点，点在四边形内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）
A．若在线段上，则三棱锥的体积为定值
B．若在线段上，则与所成角的取值范围为
C．若平面，则点的轨迹的长度为
D．若，则与平面所成角正切值的最大值为
【答案】ACD
【分析】A. 如图，当在线段上时，当到平面的距离不变，又底面的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，所以该选项正确；
B. 如图，分析得与所成角的取值范围为，所以该命题错误；
C.如图，分别是中点，点的轨迹是线段，所以该选项正确；
D. 点的轨迹为以中点为圆心，以1为半径的半圆，,所以的最小值为,所以与平面所成角正切值的最大值为.所以该选项正确.
【详解】A. 如图，因为平面平面所以平面所以当在线段上时，当到平面的距离不变，又底面的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，所以该选项正确；
B. 如图，因为所以与所成角就是与所成的角（锐角或直角），当点在时，由于△是等边三角形，所以这个角为，当时，这个角为，由图得与所成角的取值范围为，所以该命题错误；
C.如图，分别是中点，点的轨迹是线段,由于,平面,平面,所以平面，同理可得平面，又平面,,所以平面平面，所以平面，，所以点的轨迹的长度为，所以该选项正确；
D.如图，由题得与平面所成角为,,即求的最小值，因为,平面,所以平面,所以,所以点的轨迹为以中点为圆心，以1为半径的半圆，,所以的最小值为,所以与平面所成角正切值的最大值为.所以该选项正确.
【巩固练习2】（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，点在线段上运动，以下四个命题中正确的是（ ）

A．平面截正方体所得的截面图形是五边形
B．直线到平面的距离是
C．存在点，使得
D．面积的最小值是
【答案】ACD
【分析】作出截面图形判断A；利用等积法可判断B，利用坐标法可判断CD.
【详解】对于A，如图直线与、的延长线分别交于、，
连接、分别交、于、，连接、，

则五边形即为所得的截面图形，故A正确；
对于B，由题可知，平面，平面，
所以平面，故点到平面的距离即为直线到平面的距离，

设点到平面的距离为，由正方体的棱长为，
可得，，，
所以，，
所以由，可得，所以直线到平面的距离是，故B错误；
对于C，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，

设，其中，所以，
又、、，所以，，，
假设存在点，使得，，整理得，
所以（舍去）或，故存在点，使得，故C正确；
对于D ，由上知，所以点在的射影为，
所以点到的距离为：，
所以当时，，故面积的最小值是，故D正确．
【巩固练习3】（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（ ）

A．平面
B．到平面的距离为
C．过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是
D．平面与平面夹角余弦值为
【答案】ABD
【分析】
建立空间直角坐标系，对于A，用空间向量计算证明垂直即可判断；对于B，用空间向量求平面的法向量，再在法向量上的投影即可判断；对于C，补全完整截面为正六边形，直接计算面积即可判断；对于D，用空间向量求平面的法向量再计算二面角的余弦值即可判断.
【详解】
以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，，，，，
则，，，，，则平面，故A正确；
向量为平面的法向量，且，，
所以到平面的距离为，故B正确；
作中点，的中点，的中点，连接，，，，，则正六边形为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为：，故C错误；
平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
设两个平面夹角为，，故D正确
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专题1-1 空间向量与立体几何重难点突破
重点题型
【题型1】通过基底表示目标向量 1
【题型2】共面问题 3
【题型3】夹角，数量积，投影计算 4
中档题型
【题型4】利用空间向量求线段长 5
【题型5】立体图形中的极化恒等式 6
【题型6】点到直线距离问题 7
【题型7】点到平面距离问题 8
【题型8】求线面角 10
【题型9】求面面角，二面角 12
压轴题
【题型10】利用空间向量求最值与范围 16
【题型11】综合性问题（选填压轴） 17
【题型1】通过基底表示目标向量
一般是插入相关点把向量拆分成基底相关的向量，在某些适当的时候也可以通过结合爪型图来拆分向量
在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若，，，则
A． B． C． D．
如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（ ）

A． B．
C． D．
【巩固练习1】如图，已知空间四边形，分别是的中点，且，，，用表示向量为（　　）

A． B． C． D．
【巩固练习2】如图，平行六面体中，分别为的中点.若，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】在四面体中，设，为的中点，为的中点，则（ ）

A． B． C． D．
【题型2】共面问题
1.空间向量基本定理
如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得
2.四点共面
O为空间中一任意点，若，且，则O,A,B,C四点共面
下列命题正确的是（ ）
A．若，则与，共面
B．若，则共面
C．若，则共面
D．若，则共面
若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则 .
若向量，，共面，则 ．
【巩固练习1】（多选）设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【巩固练习2】已知动点在所在平面内运动，若对于空间中不在平面上的任意一点，都有，则实数的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．
【巩固练习3】已知向量，，，若，，共面，则（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
【巩固练习4】如图，在空间四边形中，是的重心，若，则 .
【题型3】夹角，数量积，投影计算
与平面向量公式一致
（多选）已知空间向量，则（ ）
A．
B．在上的投影向量为
C．若向量，则点在平面内
D．向量是与平行的一个单位向量
已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（ ）
A． B．14 C． D．2
【巩固练习1】已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（ ）
A．2 B． C． D．
【巩固练习3】在空间四边形中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
【题型4】利用空间向量求线段长
先把所求线段拆分成基底的形式，再将等式两边同时平方
如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.
(1)试用表示向量；(2)求BM的长.
如图在平行六面体中，，，则的长是 ．
如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，，，则的长等于 ．

（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．
(1)求；(2)求的长．
【巩固练习1】在平行六面体中，，，，，，则
【巩固练习2】如图在一个的二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若，，，则 ．
【巩固练习3】在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，用，，表示向量 ，异面直线与所成角的余弦值为 .
【巩固练习4】如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．
(1)求的长；
(2)求和夹角的余弦值．
【题型5】立体图形中的极化恒等式
在三角形ABC中（M为BC的中点），则
证明（基底法）：因为，
所以
如图，半径为1的球是圆柱的内切球，线段是球的一条直径，点是圆柱表面上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
已知是棱长为的正方体外接球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最小值为 .
正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为 .
【巩固练习1】已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知正方体的棱长为，球是正方体的内切球，是球的直径，点是正方体表面上的一个动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型6】点到直线距离问题
点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为（如图）．
【注意】也可以用此法求“两条平行直线直接的距离”，即在一直线上任取一点，再利用点到直线的距离求得.
在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
（23-24高二下·广东·月考）AD为三角形ABC边BC上的高，在空间直角坐标系中，，，（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知点，，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．2
【巩固练习3】已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型7】点到平面距离问题
一、点到平面的距离
已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为（如图）.
注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
二、利用空间向量求异面直线所成角的步骤：
（1）建立适当的空间直角坐标系，一般找底面的直角顶点作为原点
（2）求出直线的方向向量和平面法向量的坐标
（3）利用公式求出距离
在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
（23-24高二下·广东广州·期中）如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点．
(1)求证：；(2)若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离．
【巩固练习1】已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A．10 B．3 C． D．
【巩固练习2】是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为
【巩固练习3】（23-24高二下·山东烟台·月考）如图，在三棱锥中，平面，点分别为的中点，是线段的中点，，则直线到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，在棱上，且．已知平面与平面的夹角为．
(1)求的长；(2)求点到平面的距离．
【题型8】求线面角
1、直线与平面所成角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有①，②.（注意此公式中最后的形式是：）
思考：为什么要加绝对值？
直线的方向向量与共线，平面的一个法向量为，则直线和平面的夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，．
(1)求证：；(2)求直线PE与平面PBD所成角的正弦值．
【巩固练习1】将边长为1的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与C在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
【巩固练习2】（23-24高二下·辽宁·月考）在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，，为侧棱的中点.
(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成的角的大小.
【巩固练习4】在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点．
(1)求证：底面；
(2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【题型9】求面面角，二面角
1、面面角与二面角
如图，若于G，于H，平面PHG交于E，
则∠HEG为二面角的平面角，∠HEG+∠HPG=180°.
若,分别为面，的法向量，则
① 设二面角的平面角为，则
②设平面与平面所成角为，则
【注意】二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解决。
2、几何法补充：三垂线法求二面角、面面角
使用前提：已知其中某个平面的垂线段
具体步骤
（1）已知AB垂直平面β，垂足为B（l⊥AB）
（2）过垂足B作交线l的垂线BO（l⊥OB）
（3）易知l⊥平面AOB，则∠AOB即为所求，
且△AOB为直角三角形，邻比斜即可
正方体中，二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．
(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．
如图，四棱锥的底面是梯形，平面.
(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【巩固练习1】如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，以的中点为球心、为直径的球面交于点．
(1)求证平面；(2)求二面角的大小．
【巩固练习2】如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面所成角的余弦值.
【巩固练习3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点．
(1)求证：平面；
(2)若与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值．
【巩固练习4】（23-24高二上·湖南长沙·期中）如图，在正三棱柱中，，点D，E，F分别在棱，，上，，为中点，连接

(1)证明：平面(2)点P在棱上，当二面角为时，求EP的长．
【题型10】利用空间向量求最值与范围
一、函数法
大多数情况下,把这类动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值
二、解不等式法
利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解
三、变量分析法
在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题
（23-24高二上·广东深圳·期中）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（，，），则（ ）
A．若，则平面ACD
B．当最小时，
C．若，则
D．当最大时，
（22-23高二下·江苏南通·期中）已知长方体的棱，，点满足：，、、，下列结论正确的是（ ）
A．当，时，到的距离为
B．当时，点的到平面的距离的最大值为1
C．当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为
D．当，时，四棱锥外接球的表面积为
【巩固练习1】如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，则 ．
【巩固练习2】设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是 ．
【巩固练习3】（22-23高二上·浙江·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．几何体的外接球半径
B．平面
C．异面直线与所成角的正弦值的取值范围为
D．面与底面所成角正弦值的取值范围为
【题型11】综合性问题（选填压轴）
（22-23高二上·安徽安庆·阶段练习）如图，多面体中，，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ）

A．三棱锥的体积是定值
B．球面经过点四点的球的直径是
C．直线平面
D．二面角等于
【巩固练习1】已知正方体的棱长为2，点是棱的中点，点在四边形内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）
A．若在线段上，则三棱锥的体积为定值
B．若在线段上，则与所成角的取值范围为
C．若平面，则点的轨迹的长度为
D．若，则与平面所成角正切值的最大值为
【巩固练习2】（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，点在线段上运动，以下四个命题中正确的是（ ）

A．平面截正方体所得的截面图形是五边形
B．直线到平面的距离是
C．存在点，使得
D．面积的最小值是
【巩固练习3】（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（ ）

A．平面
B．到平面的距离为
C．过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是
D．平面与平面夹角余弦值为
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