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河南省实验中学2025-2026学年下学期期末考试
年级：高二 科目：数学
（时间：120分钟，满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. “”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件
2. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. 12 D. 21
4. 甲 乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩，乙地学生的成绩.下图分别是其正态分布的密度曲线，则（ ）
（若随机变量，则，，）
A. 甲地数学的平均成绩比乙地的高 B. 甲地数学成绩的离散程度比乙地的小
C. D. 若，则
5. 今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D. ，但和的大小关系无法确定
8. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品（，2，3，4），用表示主持人打开j号箱子（，3，4），下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为
D. 若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个
二．多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若回归方程为，则变量x与y正相关
B. 运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本中心点
C. 若散点图中所有点都在直线上，则相关系数
D. 若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好
10. 已知函数（），则下列说法错误的是（ ）
A. ，使得 B. ，都有
C. 是偶函数 D. 有最小值
11. 设函数，且记，则（ ）
A. 数列的首项为 B. 数列的前10项和为512
C. 数列的前10项和为 D. 数列的前10项和为0
三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设集合，，则___________．
13. 已知函数在上最大值为，且最小值为，则_____．
14. 平面直角坐标系中，原点处有一只蚂蚁，每过1秒，该蚂蚁都会随机地选择上、下、左、右四个方向之一移动一个单位长度，那么在6秒后，蚂蚁到原点的距离等于的概率为_____．
四．解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分）
15. 随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍.
不使用手机 使用手机 合计
学习成绩优秀人数 12
学习成绩不优秀人数 26
合计
（1）求表中，的值，并补全表中所缺数据；
（2）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？
参考数据：，其中.
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16. 已知数列的首项，的前项和为，且.
（1）证明数列是等比数列；
（2）令，求函数在点处的导数.
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，关于的不等式恒成立，求的取值范围．
18. 在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的.
（1）求6次姿态修正后达到个单位的概率；
（2）以下三种情况将导致校准流程终止：
情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）；
情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）；
情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）.
（ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率；
（ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求．
19. 设，，函数，对于集合，记．
（1）若，求和；
（2）已知，设，若，求的最小值；
（3）若，都有，求．河南省实验中学2025-2026学年下学期期末考试参考答案
年级：高二 科目：数学
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B A B D D A B C BD AD ABD
12. 13. 14.
15. 解：（1）由已知得，解得，…………………………4分
补全表中所缺数据如下：
不使用手机 使用手机 合计
学习成绩优秀人数 28 12 40
学习成绩不优秀人数 14 26 40
合计 42 38 80
…………………………………………………………………………………………………6分
（2），………………………………11分
有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.……………………………………13分
16. 解：（1）证明：数列的首项，的前项和为，
且，
所以，
所以，………………………………3分
又，，即，
所以数列是公比和首项均为2的等比数列.………………………………………6分
（2）令，
由（1），，所以，
所以，
所以，………………………9分
设，
所以，
所以，……13分
所以，
又，所以.………………15分
17. 解：（1）函数的定义域为，因为，………1分
当时，，在上单调递增；………………………………2分
当时，时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增；…………………………………5分
综上，当时，，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；……………………6分
（2）恒成立，即恒成立，…………7分
设，，
因为，令，得，令，得，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，所以，即，………………10分
①当时，，恒成立，不符合题意；…………………12分
②当时，设，则，所以在单调递减，
又因为，所以等价于，所以，…………14分
综上，，即的取值范围是.…………………………………………15分
18. 解：（1）6次姿态修正后达到，说明4次向正方向，2次向负方向，
；……………………………………………………………………4分
（2）（i）记事件A为能源耗尽，事件B为校准到位，
；…………………………………………9分
（ii）X的所有可能的取值为2，4，6，
，
,
,………………………………………………………………14分
X的分布列如下：
X 2 4 6
P
.……………………………………………………17分
19. 解：（1）当时，，
，的图象对称轴为直线，开口向上，，图象对称轴为直线，开口向下，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，且，
所以函数在的值域为，在上的值域为，
所以；………………………………………………5分
（2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
且，而，因此，
所以的最小值为0；……………………………………………………………………10分
（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
取，则，，因此；
当时，函数在上单调递增，；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
取，则，，因此；
所以，都有时，.……………………………………17分

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