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第一章 直线与圆（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ）
A．0 B．1 C．90 D．不存在
2．直线与直线间的距离为（ ）
A． B． C． D．1
3．已知直线与圆，则（ ）
A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分
4．若点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．“”是“直线和直线不重合而平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）．
A．5 B． C． D．10
8．已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线，则（ ）
A．的倾斜角为
B．在轴上的截距为
C．原点到的距离为1
D．与坐标轴围成的三角形的面积为2
10．已知直线：与圆：相交于，两点，则（ ）
A．圆心的坐标为 B．圆的半径为
C．圆心到直线的距离为2 D．
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程是
B．的取值范围为
C．圆与圆有两条公切线
D．过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，该直线斜率为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是直线的一个方向向量，则的倾斜角为 .
13．写出过点且与圆相切的一条直线方程 ．
14．在平面直角坐标系中，，点满足，则面积的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
求经过点，且满足下列条件的直线的方程：
(1)经过点；
(2)与直线垂直．
16．（本小题满分15分）
已知三个顶点坐标分别为、、．
(1)求的面积S；
(2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标．
17.(本小题满分15分)
设直线
(1)求与直线的距离为的直线的方程；
(2)求圆关于直线的对称圆的方程.
18.(本小题满分17分)
为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系.
(1)试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离；
(2)试求经过三点的圆的标准方程；
(3)某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？
19.(本小题满分17分)
已知圆：，过直线：上的动点作圆的切线，切点分别为，．
(1)当时，求出点的坐标；
(2)经过，，三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；
(3)求线段的中点的轨迹方程．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第一章 直线与圆（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ）
A．0 B．1 C．90 D．不存在
【答案】D
【解析】直线垂直于垂直，所以直线的斜率不存在.
故选：D
2．直线与直线间的距离为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可.
【解析】可变为，则两条平行直线间的距离为．
故选：C.
3．已知直线与圆，则（ ）
A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分
【答案】C
【解析】因为圆的圆心为，
直线过点，所以直线平分，
故选：C.
4．若点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点在圆外，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围．
【解析】点在圆外，
且，
解得．
故选：C．
5．“”是“直线和直线不重合而平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用平行的位置关系可列出系数满足的关系式，从而求解进行判断即可.
【解析】当时，直线和直线是不重合而平行关系，即满足充分性，
当直线和直线不重合而平行时，
有，解得，故满足必要性，
故选：C.
6．已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，边所在直线的方程为，
设所在直线方程为，因为过，
所以，所以所在直线方程为，
由解得，即顶点的坐标为.
故选：A.
7．若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）．
A．5 B． C． D．10
【答案】A
【解析】，，，
由，解得，或，
则，
因为，所以四边形的面积为.
故选：A.
8．已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得到，
所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图，
当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点，
当直线与曲线相切时，由，解得或（舍），
由图可知，实数的取值范围是，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线，则（ ）
A．的倾斜角为
B．在轴上的截距为
C．原点到的距离为1
D．与坐标轴围成的三角形的面积为2
【答案】ABC
【解析】选项A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故选项A正确；
选项B：令则则在轴上的截距为，故选项B正确；
选项C：原点到的距离为，故选项C正确；
选项D：与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项D错误.
故选：ABC.
10．已知直线：与圆：相交于，两点，则（ ）
A．圆心的坐标为 B．圆的半径为
C．圆心到直线的距离为2 D．
【答案】ACD
【分析】化圆的方程为 标准形式判断AB；求出圆心到直线距离判断C；利用圆的弦长公式计算判断D.
【解析】对于AB，圆：的圆心，半径，A正确，B错误；
对于C，点到直线：的距离，C正确；
对于D，，D正确.
故选：ACD
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程是
B．的取值范围为
C．圆与圆有两条公切线
D．过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，该直线斜率为
【答案】ABC
【解析】对A，设，
由，可得，
即，化简可得，故A正确；
对B，由选项A可知：圆的圆心为，半径，
设，可知直线与圆有公共点，
则，解得，
所以的取值范围为，故B正确；
对C，圆圆心到圆圆心的距离为，
又因为且，
故两圆相交，有两条公切线，故C正确；
对D，当直线斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为不合题意，
设直线，则由题意C到的距离等于，
即，解得，故斜率直线斜率为，故D正确；
故选：ABC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是直线的一个方向向量，则的倾斜角为 .
【答案】
【解析】依题意，直线的斜率，其倾斜角为.
13．写出过点且与圆相切的一条直线方程 ．
【答案】或（写出一条即可）
【解析】依题意切线的斜率存在，设斜率为k，则切线为，即，
则圆心到直线的距离，解得或，
所以切线方程为或．
14．在平面直角坐标系中，，点满足，则面积的最大值是 .
【答案】
【解析】设点，由可得，整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
又直线与轴重合，所以点到直线的最大距离为圆的半径，
所以面积的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
求经过点，且满足下列条件的直线的方程：
(1)经过点；
(2)与直线垂直．
【解析】（1）由题意可得直线斜率为，（3分）
故直线方程为，即.(6分)
（2）由题意可设直线方程为，，（9分）
结合直线经过点，
可得，则直线方程为.（13分）
16．（本小题满分15分）
已知三个顶点坐标分别为、、．
(1)求的面积S；
(2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标．
【解析】（1）因为，所以直线的方程为，即.
所以点到直线的距离. （3分）
因为，
所以.(7分)
（2）因为，所以AC边上的高的斜率为，
所以AC边上的高线的方程为，即.（10分）
因为、的中点为，又，所以边上的中线方程为，
由，解得，
所以边上的中线与AC边上的高的交点坐标为.（15分）
17.(本小题满分15分)
设直线
(1)求与直线的距离为的直线的方程；
(2)求圆关于直线的对称圆的方程.
【解析】（1）由题意可知该直线与直线平行，
所以设该直线方程为，
依题意，解得或，（5分）
故该直线方程为或.（7分）
（2）圆的圆心为，
设圆心关于直线的对称点为，
则且的中点在直线上．
，解得，（12分）
，
圆关于直线的对称圆半径不变，
该对称圆方程为．（15分）
18.(本小题满分17分)
为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系.
(1)试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离；
(2)试求经过三点的圆的标准方程；
(3)某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？
【解析】（1）由题意知：，，，
，，.（4分）
（2）设经过三点的圆的方程为：，
，解得：，
所求圆的一般方程为：，
则经过三点的圆的标准方程为：.（10分）
（3）由题意知：，则轮船航向所在直线方程为：，即，
由（2）知：经过三点的圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，（14分）
直线与圆相交，即轮船会进入安全预警区；
设直线与圆的交点为，则，
则轮船在安全预警区内会行驶小时.（17分）
19.(本小题满分17分)
已知圆：，过直线：上的动点作圆的切线，切点分别为，．
(1)当时，求出点的坐标；
(2)经过，，三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；
(3)求线段的中点的轨迹方程．
【解析】（1）（1）
直线的方程为，点在直线上，设，
因为，由对称性可得：由对称性可知，
由题所以，所以，
解之得：故所求点的坐标为或．（6分）
（2）设，则的中点，因为是圆的切线，
所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，
故圆E方程为：
化简得：，此式是关于的恒等式，
故解得或,
所以经过三点的圆必过定点或．（12分）
（3）由
可得：，即，
由可得过定点.
因为N为圆的弦的中点，所以，即，
故点N在以为直径的圆上，
点N的轨迹方程为.（17分）
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