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专题1.5-1.6 两条直线的交点坐标，
平面直角坐标系中的距离公式
教学目标 1.学会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标; 2. 掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式、点到直线的距离公式，并能简单应用; 3.能准确求出两平行直线间的距离; 4.会用解析法证明几何问题.
教学重难点 1.重点 (1) 会求两条相交直线的交点坐标，并利用解方程组法判断两直线位置关系； (2) 能灵活运用各种距离公式解决问题． 2.难点 (1)理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系； (2)会用解析法证明几何问题．
知识点01 两条直线的交点坐标（重点）
1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相
交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)，
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个
直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行
【知识剖析】
求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数．
【即学即练】
1.（24-25高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】解二元一次方程组即得交点坐标.
【解析】解方程组，得，
所以所求交点坐标为.
故选：B.
2.（2025·高二·广东惠州·期中）已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为 ；
【答案】
【解析】由方程组，解得， 即交点为.
3.（2025·高二·广西玉林·期中）若直线经过两直线和的交点，则 .
【答案】
【解析】联立，解得，
将点代入到直线，得，故.
故答案为：.
知识点02 两点间的距离公式（重点）
两点间的距离公式为．
【知识剖析】
此公式与两点的先后顺序无关,也就是说公式也可以写成|AB|=.
【即学即练】
1．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则的值为(　　)
A.　 B. C.3 D.2
【答案】D
【解析】由两点间的距离公式，得|AC|＝＝4，
|CB|＝＝2，故＝＝2.
2.（2025山东济南高二上联考）若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为(　　)
A.(－2,0)　 B．(1,0) C. D．(，0)
【答案】D
【解析】设点M(x,0)(x＞0)，由题意可知，＝，
解得x＝.
3.（2025贵州贵阳高二上联考）直线2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离为________．
【答案】(m≠0)
【解析】直线2x＋my＋2＝0与x轴的交点为(－1,0)，与y轴的交点为，所以两交点之间的距离为＝(m≠0)．
知识点03 点到直线的距离公式（重点）
点到直线的距离为．
【知识剖析】
（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；
（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；
【即学即练】
1.（2025·高二·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】由题点到直线的距离为.
故选：D.
2.(2025·高二·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（ ）
A．4 B． C．4或 D．或
【答案】C
【解析】若，在直线的同侧，则，解得；
若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，
则，解得．
故选：C
知识点04 两平行线间的距离公式（重点）
两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)间的距离公式为 (A2+B2≠0).
【知识剖析】
（1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；
（2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．
【即学即练】
1．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知直线，，两直线之间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】直线，，
根据平行线间的距离公式得.
故选：C
2.（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】可变为，
则两条平行直线间的距离为.
故选：B
3.直线与直线间的距离为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】可变为，则两条平行直线间的距离为．
故选：C.
知识点05 过两直线交点的直线系方程（拓展）
1.过两相交直线交点的直线系方程
设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2(A1,B1不同时为0,A2,B2不同时为0),则
过l1,l2的交点的直线系方程为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m,n为参数,且m2+n2≠0).
当m=1,n=0时,此方程即为直线l1的方程;
当m=0,n=1时,此方程即为直线l2的方程.
上面直线系方程也可以改写为A1x+B1y+C1+γ(A2x+B2y+C2)=0(其中γ为参数).
γ=0时表示直线l1,但无论γ取什么实数,都不能表示直线l2.如果要包括直线l2,则可改写为A2x+B2y+C2+λ(A1x+B1y+C1)=0(其中λ为参数),但是此直线系不包括直线l1.
2.直线过定点问题
因为直线A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ)表示过直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2＝0的交点的直线，所以含参数的直线过定点问题，常先将直线方程转化为f(x,y)+ λg(x,y)=0的形式，再令f(x,y)=0且g(x,y)=0，则该方程组的解即为直线所过定点的坐标.
【即学即练】
1.经过点和两直线；交点的直线方程为 .
【答案】
【解析】设所求直线方程为，
点在直线上，，
解得，所求直线方程为，即．
2．经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程为 ．
【答案】x＋y＝0.
【解析】法一：由方程组
解得即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．
∵直线过坐标原点，所以其斜率k＝＝－1，
直线方程为y＝－x，一般式为x＋y＝0.
法二：∵l2不过原点，
∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，
即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0，
将原点坐标(0,0)代入上式解得λ＝1，
∴l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
题型01 求两直线的交点坐标
【典例】（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）直线与的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】联立方程组可解得答案.
【解析】联立方程组，解得，
所以两直线的交点坐标为.
故选：B.
求两条直线的交点坐标,一般将两条直线的方程联立,若方程组有唯一解,则两条直线相交(含垂直相交),此解就是交点坐标.
【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出直线的方程与的方程联立,即可解得交点坐标为.
【解析】设直线的方程为，因为直线经过两点，
所以，解得，
所以的方程为，
将直线与直线的方程联立，解得，
所以直线与的交点坐标为．
故选：C.
【变式2】已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两直线垂直充要条件列式求出，再联立方程组求出交点坐标.
【解析】因为直线与直线垂直，
所以，解得，
直线的方程为.
由，解得，故交点坐标为.
故选：A.
3．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数.
【解析】联立，可得，即交点为，
由题意.
故选：B
题型02 判断两直线的位置关系——方程组法
【典例】判断下列各组直线的位置关系,若相交,求出交点的坐标.
(1)l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0;
(2)l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0;
(3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0.
【分析】联立所给的直线方程得方程组,然后确定其解的个数,从而确定两直线的位置关系.[2]
【解析】(1)解方程组得
所以l1与l2相交,交点坐标是.
(2)
①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解,
所以两直线无公共点,又9≠0,所以l1∥l2.
(3)①×2得6x+8y-10=0,
因此,①和②可以化成同一个方程,有无数组解,故①和②表示同一条直线,所以l1与l2重合.
　
利用方程组法判断两条直线的位置关系的具体策略为：
第一步：列方程组，将两条直线的方程联立,得到方程组；
第二步：解方程组；
第三步：根据方程组解的个数进行判断，若方程组有唯一解,则两条直线相交(含垂直相交),此解就是交点坐标;若方程组无解,则两条直线平行;若方程组有无数组解,则两条直线重合.
【变式1】（2025·高二·上海宝山·开学考试）已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，与函数图像的交点分别为C，D，则直线与（ ）
A．相交，且交点在坐标原点 B．相交，且交点在第一象限
C．相交，且交点在第二象限 D．相交，且交点在第四象限
【答案】A
【解析】由得，得，
所以直线AB的方程为，即
由得，得
所以直线CD的方程为，即，
直线与相交，且交点在坐标原点，
故选：A.
【变式2】两条直线与的交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法：
①若方程组无解，则两直线平行；
②若方程组只有一解，则两直线相交；
③若方程组有无数多解，则两直线重合．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】C
【解析】①若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行；正确；②若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交；正确；③若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合．正确.
故答案为C.
【变式3】曲线与的交点的情况是（ ）
A．最多有两个交点 B．两个交点
C．一个交点 D．无交点
【答案】A
【解析】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点．
故选：A
题型03 求过交点的直线方程
【典例】若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ．
【答案】
【分析】利用直线系方程知识设直线l的方程为，再利用斜率求参.
【解析】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①．
又直线l的斜率为，则，解得．
将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程．
故答案为：.
（1）经过两直线，的交点的直线方程为(除直线)，其中是待定系数；结合已知条件求出，即可得解. （2）联立两直线方程，求出交点坐标，结合已知条件设出所求直线方程，代入点即可得解.
【变式1】（2025·高二·四川成都·期中）已知点，和直线l：（），直线l与线段AB有公共点，则m的取值范围是 .
【答案】
【解析】，得，所以直线过点，
，，
若直线与线段有公共点，所以直线斜率的取值范围是.
故答案为：
【变式2】经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为 ．
【答案】x－y＝0.
【解析】设直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解.过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，
即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，
因为它与直线x－y＋4＝0平行，
所以3＋λ＋3λ－2＝0，
即λ＝－，
故所求直线为x－y＝0.
【变式3】（24-25高二上·重庆九龙坡·月考）经过直线和的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .
【答案】或
【分析】先求出两直线的交点坐标，再分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式方程即可得解.
【解析】联立，解得，
即直线和的交点坐标为，
当直线过原点时，方程为，
当直线不过原点时，设直线方程为，
则有，解得，
故直线方程为，即，
综上所述，所求直线方程为或.
题型04 三条直线的交点问题
【典例1】（多选）（24-25高二上·浙江台州·月考）已知三条直线将平面分为六个部分．则满足条件的m可以是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】ABD
【分析】考虑三条直线交于一点，或与或平行时，满足条件，从而可求出答案.
【解析】因为三条直线将平面分为六个部分，
所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，
当三条直线交于一点时，联立，解得，此时，即，
当两条平行线与第三条直线相交时，可得或，
当时，，当时，，所以或．
故选：ABD.
【典例2】（23-24高二上·安徽·月考）已知三条直线交于一点，则实数=（ ）
A． B．1
C． D．
【答案】C
【分析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可.
【解析】由，即两直线交点坐标为，
代入得：.
故选：C
1.三条直线相交于一点、两点的破解策略.
(1)证明三条直线共一点时，只要将其中两条直线的交点代入第三条直线方程，方程成立即得证.
(2)已知三条直线交于一点，要求直线方程中的参数，只需求出其中两条直线的交点，再将交点坐标代入第三条直线的方程，便可得到关于参数的一个方程，解方程即得所求.
(3)若三条直线相交于两点，则必有两条直线互相平行，且均与第三条直线相交,以上述结论为出发点进行思考即可.
2.三条直线相交于三点的破解策略
(1)若三条直线有三个不同的交点，则需满足两个条件：①其中两条直线的交点不在第三条直线上；②三条直线斜率不同．
(2)一类常见题型是三条直线构成三角形求参数的取值范围,此时往往用补集思想求解.
【变式1】（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值.
【解析】直线的斜率分别为，纵截距分别为
由，解得，即直线的交点为，
由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上，
则或或，解得或或，
所以实数的取值集合为.
故选：C
【变式2】（24-25高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（ ）
A．2组 B．3组 C．4组 D．5组
【答案】B
【分析】写出对应直线的方向向量，讨论直线垂直求参数a，再根据所得参数值研究直线的位置情况，即可得答案.
【解析】由题设，的方向向量分别为，，，
若，则，
此时，，，它们交于一点，不符；
若，则或或，
当时，，，，满足题设；
当时，，，，满足题设；
当时，，重合，不符；
若，则或，
当时，，，，满足题设；
当时，同上分析，不符.
综上，、、时满足要求，故有3组.
故选：B
【变式3】（多选）（23-24高二上·河南焦作·月考）若三条直线，，交于一点，则a的值可为（ ）
A． B．3 C．1 D．
【答案】CD
【分析】先求出直线与的交点，然后代入直线方程即可得到.
【解析】联立直线方程与，
即，解得，
故直线与的交点为，
因为三条直线，，交于一点，
所以将代入，
解得或，检验符合，
故选：CD.
题型05 恒过定点问题
【典例】求证:无论m为何实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都过定点.
【分析】可先取两条特殊的直线,验证它们的交点在所给的直线上,交点即为定点,也可以将方程整理为过定点的直线系方程,然后求出直线的交点坐标,即为定点坐标.
【证明】证法一:对于方程(m-1)x+(2m-1)y=m-5,
令m=1,得y=-4.
令m=,得-x=-,所以x=9.
又当x=9,y=-4时，9(m-1)+(2m-1)（－4）=m-5，
所以点(9,-4)即为所给直线经过的定点.命题得证.[7]
证法二:将已知方程以m为未知数进行整理,得m(x+2y-1)-(x+y-5)=0.
由m取值的任意性,得解得
所以无论m取何实数,所给直线都经过定点(9,-4).
　 解含有参数的直线过定点问题的方法:
(1)特殊值法:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是含参数的直线所过的定点,从而问题得解.
(2)分离参数法：将直线方程分项整理,含参数的并为一项,不含参数的并为一项,整理成等号右边为零的形式,然后令含参数的项和不含参数的项分别为零得方程组,方程组的解即为所求定点的坐标.
【变式1】求证:无论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点,并求出这个定点的坐标.
【证明】 证法一:对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,
令m=0,得x-3y-11=0;令m=1,得x+4y+10=0.
解方程组得两直线的交点坐标为(2,-3).
将点(2,-3)代入已知直线方程,得
(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0.
这表明不论m取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3).
证法二:将已知方程以m为未知数,整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.
要使无论m取什么实数,直线都过定点,则有解得
所以无论m取什么实数,所给的直线都经过定点(2,-3).
【变式2】已知直线方程为，.
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
（2）若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.
【分析】（1）直线方程变形为即可求得定点；
（2）分类讨论直线过原点和不过原点情况讨论截距问题.
【解析】（1）直线方程为,即，
该直线一定经过直线和直线的交点（5,3），
故定点的坐标为.
（2）对于直线方程为，当直线不经过原点时，令，可得，再令，可得，所以，解得，故直线的方程.
当直线经过原点时，，解得，故直线的方程.
故要求的直线的方程为或.
题型06 对称问题
【典例】已知直线，点.求:
(1)点A关于直线l的对称点的坐标;
(2)直线关于直线l的对称直线m'的方程;
(3)直线l关于点对称的直线l'的方程.
【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标.
（2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程.
（3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程.
【解析】（1）设，由已知条件得，解得所以.
（2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点，
则解得故.
设直线m与直线l的交点为N，则由解得即.
又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为.
（3）设为上任意一点，
则关于点的对称点为，
因为在直线上，所以，即.
1.直线关于点对称
设直线l1与l2关于点P对称,这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另一条直线上,并且l1//l2,点P到直线l1,l2的距离相等.
2.直线关于直线对称
直线l1与l2关于直线l对称,它们具有以下几何性质:①若l1与l2相交,则直线l是l1,l2夹角的平分线所在直线;②若l1与l2平行,则直线l在l1,l2之间且到l1,l2的距离相等;③若点A在l1上,则点A关于直线l的对称点B一定在l2上,此时AB⊥l,且线段AB的中点M在l上(即l是线段AB的垂直平分线).充分利用这些性质,可以得出多种求直线l2的方程的方法.
【变式1】直线l:y=3x+3关于点A(3,2)的对称直线的方程为 .
【答案】3x-y-17=0
【分析】思路1:设出所求直线方程→在直线l上取一点E(0,3)→求点E关于点A的对称点E'的坐标→由E'在所求直线上求出直线方程.思路2: 设出所求直线方程→由点A到两直线的距离相等列出方程→通过解方程确定直线的待定系数的值→得到所求直线方程.
【解析】解法一:设直线l关于点A(3,2)对称的直线为l',则l∥l',可设l'的方程为y=3x+b(b≠3).
取直线l上一点E(0,3),该点关于点A的对称点为E'(6,1),则E'在直线l'上,所以1=18+b,即b=-17.
所以直线l'的方程为y=3x-17,
即直线l关于点A(3,2)对称的直线方程为3x-y-17=0.
解法二:设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l'.
易知点A(3,2)不在直线y=3x+3上,
则l∥l',故可设l'的方程为y'=3x'+b(b≠3).
由点到直线的距离公式得=.
即|b+7|=10,解得b=-17或b=3(舍去).
∴直线l'的方程为y'=3x'-17.
即所求直线的方程为3x-y-17=0.
【变式2】如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是 .
【答案】
【解析】如图，
点关于直线的对称点为，则，即，
解得，即点关于直线的对称点为，又点关于轴的对称点为，
则光线所经过的路程为.
故答案为：
【变式3】在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长是 .
【答案】
【解析】以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，
所以直线的方程为，
设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，
由，易得，，直线就是所在的直线，
所以直线的方程为，
设的重心为，则，
所以，即，
所以（舍去）或，
所以，.
结合对称关系可知，，
所以的周长即线段的长度为：.
题型07 利用两点间的距离公式求线段的长
【典例】（2025·高二·天津红桥·期中）已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】设，则，解得，
点的坐标为，
若已知两点间的距离及两点的坐标,并且坐标中含有参数,则可利用两点间的距离公式列方程求出参数.
【变式1】已知，且，则 ．
【答案】
【解析】因为且，所以，解得
【变式2】（2025·高二·天津红桥·期中）已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】设，则，解得，
点的坐标为，
故答案为：．
题型08 利用两点间的距离公式判断多边形的形状
【典例】已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 .
【答案】直角三角形,5
【分析】利用两点间的距离公式算出三边的长度,再利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形.
【解析】因为，
，，
所以，即是以A为直角顶点的直角三角形．
由于是以A为直角顶点的直角三角形，所以.
故答案为：直角三角形；
（1）三角形形状的判断：利用两点间的距离公式计算出各边的长度,根据边相等可以判断是等腰或等边三角形,根据勾股定理的逆定理及其推广可以判断是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形.
（2）四边形形状的判断：利用两点间的距离公式计算各边的大小，再结合各边斜率之间的关系，便可判断各边是否平行或垂直，对边、邻边是否相等，从而得到该四边形的形状.
【变式1】（24-25高二上·河南许昌·期中）已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（ ）.
A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用两点间距离公式及斜率坐标公式计算判断.
【解析】依题意，，，即，
又线段的中点为，线段的中点为，即线段与互相平分，
因此四边形是矩形，而直线的斜率，直线的斜率，
即，则，所以矩形是正方形.
故选：B
【变式2】已知三个点A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.
【分析】已知三角形三个顶点的坐标,利用平面上两点间的距离公式求出三边的长,再由三边长进一步判断△ABC的形状.
【解析】　∵|AB|==,
|AC|==,
|BC|==,
∴|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,
∴△ABC是等腰直角三角形.
【易错警示】本题易犯由|AB|=|AC|直接认为△ABC是等腰三角形的错误.事实上,|AB|2+|AC|2=|BC|2,△ABC也是一个直角三角形,判断几何图形的形状要彻底.
题型09 点到直线距离公式的应用
【典例】已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】直线l：可化为，
依题意得，整理得，所以或．
当时，点的坐标为；
当时，点的坐标为．
综上所述：点的坐标为或.
故选：AB．
点到直线距离公式的应用主要是求线段的长度、判定三角形的形状、求三角形的面积或根据距离求参数的值等.解决此类问题的关键是正确运用公式,并进行合理转化.
【变式1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【解析】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出．
【解答】两点和到直线距离相等，
，解得，或．
故选：B．
【变式2】（24-25高二上·四川达州·期末）已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离公式计算即可.
【解析】由题意可知，当直线与直线垂直时，、两点间距离最小，
点到直线的距离，
故、两点间距离的最小值为.
故选：B.
【变式3】（23-24高二上·广西南宁·月考）已知到直线的距离等于3，则a的值为 .
【答案】或
【分析】由距离公式，解方程得出a的值.
【解析】由距离公式可得，，
即，解得或.
【变式4】（24-25高二上·上海·月考）过点且和原点距离是2的直线方程是 .
【答案】或
【分析】通过斜率存在、不存在两类情况讨论即可.
【解析】依题意，当斜率不存在时，直线方程为：，此时原点到直线的距离为2，满足题意，
当斜率存在时，
所以设直线方程为，即，又原点到直线的距离等于2，
所以，解得．
所以直线方程为或．
题型10 两平行线间距离公式的应用
【典例】已知两条平行直线与之间的距离为，则的值为（ ）
A．或8 B．或9 C．或2 D．或2
【答案】A
【解析】因为两条平行直线与之间的距离为，
由两平行线间的距离公式，可得，解得或．
故选：A.
利用两平行线间的距离公式求距离的步骤：
第一步：将两条直线的方程转化为一般式方程；
第二步：转化两条直线的方程中的一个方程，使得它们x，y的系数对应相同；
第三步：使用公式直接求解两条平行直线间的距离.
【变式1】（2025·高二·浙江·期中）若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】有已知直线与直线平行，
则，即，
此时直线与直线，即满足平行，
则两直线间距离，
故选：D.
【变式2】（24-25高二上·河南·期中）已知两平行直线与之间的距离为，则（ ）
A． B．23 C．13或23 D．或
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式计算即得.
【解析】由直线与平行，得，则，
直线，于是，解得或，
所以或.
故选：C
题型11 与距离有关的最值问题
【典例1】（2025·高二·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为 .
【答案】5
【解析】直线化简为：，
令且，解得，，
所以直线过定点，
直线化简为：，
令且，解得，，
所以直线过定点，
且与平行，
故当与直线，垂直时，直线，的距离最大，
且最大值为，
【典例2】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将所求代数式等价为两点之间距离的平方，由动点在直线上，则最小值为定点到直线的距离的平方，利用点到直线距离公式，可得答案.
【解析】可表示为点到的距离的平方，
由点在直线上的运动，
则的最小值为点到直线的距离的平方，
.
故选：A.
点到直线的距离是点与直线上的点的距离的最小值，两条平行直线间的距离是在两条平行直线上各任意取
一点所得两点间距离的最小值，它们的应用非常广泛，在某些证明问题或最值问题的解答中尤其常见.
最值问题的常用求法有两种：
(1)利用解析几何知识，先设一个函数，然后用函数求最值的方法进行求解.
(2)几何法：根据几何图形直观判断哪种情况下取得最值.
常用结论有：两点之间线段最短；直角三角形的斜边大于直角边；三角形的两边之和(差)大(小)于第三边.
【变式1】（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ）
A．5 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】首先求出直线过定点，则到直线的最远距离为，此时直线垂直于，求出，即可得解.
【解析】将直线方程变形为，
令，解得，由此可得直线恒过点，不妨设为，
所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于．
又，
所以到直线的距离的最大值为．
故选：B.
【变式2】（24-25高二上·山西·期中）已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】D
【分析】先求出定点，再根据当时，点P到l的距离最大，运用两点间距离公式计算即可.
【解析】将直线l的方程变形为，由，
得，所以直线l过定点，
当时，点P到l的距离最大，故最大距离为.
故选：D.
【变式3】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将所求代数式等价为两点之间距离的平方，由动点在直线上，则最小值为定点到直线的距离的平方，利用点到直线距离公式，可得答案.
【解析】可表示为点到的距离的平方，
由点在直线上的运动，
则的最小值为点到直线的距离的平方，
.
故选：A.
题型12 利用距离公式解决函数的最值问题
【典例】（24-25高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案.
【解析】，
则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，
即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值，
即．
故选：A.
对于若干个根式函数之和或差的函数，有时可将根号内的式子进行转化，转化为各点间的距离之和或差的问题，再数形结合，借助图象求其最值.
【变式1】（2025·高二·福建泉州·期中）函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】表示、的距离，
表示、的距离，
又关于x轴的对称点，如图，
所以，
所以．
【变式2】（2025·高二·江苏镇江·期中）函数的最大值为 .
【答案】
【解析】，
表示为点与点的距离减去点与点的距离，
所以，
又，当共线，且P在B的外侧时取等号，
所以的最大值为.
【变式3】（2025·高二·河北石家庄·期末）已知，，则的最小值为 .
【答案】
【解析】
.
记点、点、点和点，
因为，，
所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和.
因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和.
所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为.
因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和.
所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为.
综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为.
所以的最小值为.
题型13 距离的实际应用
【典例】（2025·高二·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【解析】设点关于直线的对称点为，
则，解得，
，又点
故“将军饮马”的最短总路程为．
故选：A．
对于距离的实际应用题，求解的关键是审题，通过审题并画出图形，将实际问题转化为各种距离之间的关系，再利用距离公式求解.
【变式】（2025·高二·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，作点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以.
则“将军饮马”的最短总路程为.
故选：C.
一、单选题
1．（2025届河南许昌高二上联考）过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】联立，得交点坐标为，
因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为，
所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为，即.
故选：A.
2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（ ）
A．10 B．5 C．8 D．6
【答案】A
【分析】由中点坐标公式确定，坐标，再由两点间距离公式即可求解.
【解析】设，则，
即，
所以.
故选：A.
3．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）2．已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，直线的法向量为，
所以直线的方程为，
即，则原点到的距离.
所以选：C.
4．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案.
【解析】由题意联立，解得，
即直线：与直线：的交点为，
由题意可得，解得，
即实数的取值范围是，
故选：A.
5．（2025届重庆部分学校高二上质检）冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影（如图2所示）看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行线间的距离公式列式计算即可.
【详解】设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为，
则由平行线间的距离公式得，得
故选：B.
6．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）若点在直线：上，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．3
【答案】A
【分析】根据表达式特征求出点到直线的距离即可.
【解析】易知代表点与点之间的距离，
因此当两点连线与直线垂直时，取得最小值，
其最小值为点到直线的距离.
故选：A.
7．（2025·广东佛山·二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．20
【答案】D
【解析】曲线C：等价于或或或.
对于表示以和为顶点线段，其长度为，
对于表示以和为顶点线段，其长度为，
对于表示以和为顶点线段，其长度为，
对于表示以和为顶点线段，其长度为，
所以曲线C：的周长为.故选：D
8．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值.
【解析】直线的斜率分别为，纵截距分别为
由，解得，即直线的交点为，
由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上，
则或或，解得或或，
所以实数的取值集合为.
故选：C.
二、多选题
9．（2025浙江杭州二中高一下期中）在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（ ）
A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式、两点间距离公式逐项分析判断.
【解析】对于A，直线的斜率，直线的斜率，
，即，为直角三角形，A正确；
对于B，直线的斜率，点共线，B错误；
对于C，在中，，，
，C正确；
对于D，，，D正确.
故选：ACD

10．（2025届宁夏吴忠市秦宁中学高二上期中）对于直线，．以下说法错误的有（ ）
A．的充要条件是 B．当时，
C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5
【答案】AC
【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.
【解析】当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为，，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，故C错误；
因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，
到直线的距离最大，最大值为，
故D正确，
故选：AC.
11.(2025河北部分重点中学二联)已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为4
C．的最大值为2 D．的最小值为
【答案】AD
【分析】利用基本不等式计算并判断A，结合常数代换可计算并判断B，C，利用两点间距离公式和点到直线的距离公式可计算并判断D.
【解析】因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值为，故A正确；因为，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为6，故B错误；因为，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为2，故C错误；可以看作直线落在第一象限内的点到原点距离的平方，易知最短距离为，所以的最小值为，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
12.（24-25高二上·全国·课后作业）已知点是直线上一点，点与点间的距离为5，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】根据题意，设，列出方程，求得的值，即可求解；
【解析】因为点是直线上一点，
可设，则，解得或，
所以点的坐标为或．
13．（24-25高二上·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为 .
【答案】5
【分析】分别求出直线，过的定点，，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解．
【解析】直线化简为：，
令且，解得，，
所以直线过定点，
直线化简为：，
令且，解得，，
所以直线过定点，
且与平行，
故当与直线，垂直时，直线，的距离最大，
且最大值为.
14.著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】
相当于动点到的距离之和，
因为四边形为矩形，所以，
所以当为矩形对角线交点时，，
此时最小，最小为，
四、解答题
15．（24-25高二上·天津河西·月考）已知直线．
(1)经过点且与直线平行的直线；
(2)经过点且与直线垂直的直线；
(3)经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线．
【分析】（1）根据平行直线的直线系方程假设出直线，再根据题意求解即可；
（2）根据垂直直线的直线系方程假设出直线，在根据题意求解即可；
（3）先求出直线与的交点，再分截距为0和截距不为0两种情况讨论即可.
【解析】（1）设所求直线的方程为，
依题意有，解得，
所以所求直线方程为；
（2）设所求直线方程为，
依题意有，解得，
所以所求直线方程为；
（3）联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，代入得，此时；
当直线的截距都不为时，假设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，即
综上所述或.
16．（24-25高二上·江西抚州·期末）设直线与.
(1)若，求、之间的距离；
(2)当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值.
【分析】（1）由直线平行的判定列方程求参数，再由平行线的距离公式求距离；
（2）根据已知可得，再由三角形面积公式有，即可确定面积最大时的值.
【解析】（1）由，则，化简得，可得或，
当时，不成立，
当时，，，
此时之间的距离为.
（2）直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，，则，
与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，
当时，有最大.
17．（2025届山东临沂高二上联考）已知直线l：（2+m）x+（1+2m）y+4–3m=0．
（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；
（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．
【分析】（1）将题目所给直线方程展开，重新按来合并同类项，利用的系数为零、常数项为零，列方程组，解方程组求得定点的坐标.（2）设出直线的方程点斜式，求出横截距和纵截距，利用中点坐标公式求得中点的坐标，再代入直线方程可求得直线的斜率，由此求得直线的方程.
【解析】（1）将直线l：（2+m）x+（1+2m）y+4–3m=0化为m（x+2y–3）+2x+y+4=0，
∴由题意，令，解得，
∴直线l恒过定点M（）．
（2）设所求直线l1的方程为y–=k（x+），直线l1与x轴、y轴交于A、B两点，
则A（–，0）B（0，）．
∵AB的中点为M，∴，解得k=．
∴所求直线l1的方程为y–（x+），
即30x–33y+220=0．
所求直线l1的方程为30x–33y+220=0．
18．已知点，直线
（1）求点M关于点对称点N的坐标
（2）求点M关于直线的对称点Q的坐标.
（3）已知点，点P在直线上，问使取得最小值时P点的坐标与使取得最小值时P点的坐标是否相同？请说明理由.
【分析】（1）由是的中点可求得点坐标；
（2）由与直线垂直且的中点在直线上可求得点坐标；
（3）设出点坐标为，表示出和，然后求最小值即可得利结论．
【解析】（1）设，则，则，∴．
（2）设，则，解得，即．
（3）两点坐标不相同．证明如下：
由题意，设，
则，显然当时，取得最小值，，此时
由（2），当是与直线的交点时，等号成立，
，直线的方程为，代入的方程解得，，即．
两个点不相同．
19．（2025上海八中高二下段测）在平面直角坐标系中， 已知矩形的长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上.
(1)若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）；
(2)若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围.
【分析】（1）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程．当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，可知与关于折痕所在的直线对称，得到，从而得到点坐标，可得中点的坐标，利用点斜式求得折痕所在的直线方程．
（2）由折痕和线段、相交求出的取值范围，从而求出交点坐标，即可求出折痕长的取值范围．
【解析】（1）①当时，此时点和点重合，折痕所在的直线方程；
②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为，
所以与关于折痕所在的直线对称，有，即，则．
故点坐标为，
从而折痕所在的直线与的交点坐标（即线段的中点）为．
所以折痕所在的直线方程，即．
综上：由①②可得折痕所在的直线方程为．
（2）由（1）可知，对于，
令，可得，令可得，
依题意可得，解得，
如下图，折痕所在的直线与线段、的交点坐标为．
所以，因为，所以，
所以，所以，
所以折痕的长的取值范围．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题1.5-1.6 两条直线的交点坐标，
平面直角坐标系中的距离公式
教学目标 1.学会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标; 2. 掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式、点到直线的距离公式，并能简单应用; 3.能准确求出两平行直线间的距离; 4.会用解析法证明几何问题.
教学重难点 1.重点 (1) 会求两条相交直线的交点坐标，并利用解方程组法判断两直线位置关系； (2) 能灵活运用各种距离公式解决问题． 2.难点 (1)理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系； (2)会用解析法证明几何问题．
知识点01 两条直线的交点坐标（重点）
1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线 ，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线 ；若方程组有无穷多解，则两条直线 .
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)，
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1和l2的公共点个数 一个 ______ ______
直线l1和l2的位置关系 相交 ______ _______
【知识剖析】
求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数．
【即学即练】
1.（24-25高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.（2025·高二·广东惠州·期中）已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为 ；
3.（2025·高二·广西玉林·期中）若直线经过两直线和的交点，则 .
知识点02 两点间的距离公式（重点）
两点间的距离公式为．
【知识剖析】
此公式与两点的先后顺序无关,也就是说公式也可以写成|AB|=.
【即学即练】
1．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则的值为(　　)
A.　 B. C.3 D.2
2.（2025山东济南高二上联考）若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为(　　)
A.(－2,0)　 B．(1,0) C. D．(，0)
3.（2025贵州贵阳高二上联考）直线2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离为________．
知识点03 点到直线的距离公式（重点）
点到直线的距离为 ．
【知识剖析】
（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；
（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；
【即学即练】
1.（2025·高二·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．1
2.(2025·高二·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（ ）
A．4 B． C．4或 D．或
知识点04 两平行线间的距离公式（重点）
两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)间的距离公式为 (A2+B2≠0).
【知识剖析】
（1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；
（2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．
【即学即练】
1．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知直线，，两直线之间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3.直线与直线间的距离为（ ）
A． B． C． D．1
知识点05 过两直线交点的直线系方程（拓展）
1.过两相交直线交点的直线系方程
设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2(A1,B1不同时为0,A2,B2不同时为0),则
过l1,l2的交点的直线系方程为 (其中m,n为参数,且m2+n2≠0).
当m=1,n=0时,此方程即为直线l1的方程;
当m=0,n=1时,此方程即为直线l2的方程.
上面直线系方程也可以改写为A1x+B1y+C1+γ(A2x+B2y+C2)=0(其中γ为参数).
γ=0时表示直线l1,但无论γ取什么实数,都不能表示直线l2.如果要包括直线l2,则可改写为A2x+B2y+C2+λ(A1x+B1y+C1)=0(其中λ为参数),但是此直线系不包括直线l1.
2.直线过定点问题
因为直线A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ)表示过直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2＝0的交点的直线，所以含参数的直线过定点问题，常先将直线方程转化为f(x,y)+ λg(x,y)=0的形式，再令f(x,y)=0且g(x,y)=0，则该方程组的解即为直线所过定点的坐标.
【即学即练】
1.经过点和两直线；交点的直线方程为 .
2．经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程为 ．
题型01 求两直线的交点坐标
【典例】（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）直线与的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
求两条直线的交点坐标,一般将两条直线的方程联立,若方程组有唯一解,则两条直线相交(含垂直相交),此解就是交点坐标.
【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
题型02 判断两直线的位置关系——方程组法
【典例】判断下列各组直线的位置关系,若相交,求出交点的坐标.
(1)l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0;
(2)l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0;
(3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0.
　
利用方程组法判断两条直线的位置关系的具体策略为：
第一步：列方程组，将两条直线的方程联立,得到方程组；
第二步：解方程组；
第三步：根据方程组解的个数进行判断，若方程组有唯一解,则两条直线相交(含垂直相交),此解就是交点坐标;若方程组无解,则两条直线平行;若方程组有无数组解,则两条直线重合.
【变式1】（2025·高二·上海宝山·开学考试）已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，与函数图像的交点分别为C，D，则直线与（ ）
A．相交，且交点在坐标原点 B．相交，且交点在第一象限
C．相交，且交点在第二象限 D．相交，且交点在第四象限
【变式2】两条直线与的交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法：
①若方程组无解，则两直线平行；
②若方程组只有一解，则两直线相交；
③若方程组有无数多解，则两直线重合．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【变式3】曲线与的交点的情况是（ ）
A．最多有两个交点 B．两个交点
C．一个交点 D．无交点
题型03 求过交点的直线方程
【典例】若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ．
（1）经过两直线，的交点的直线方程为(除直线)，其中是待定系数；结合已知条件求出，即可得解. （2）联立两直线方程，求出交点坐标，结合已知条件设出所求直线方程，代入点即可得解.
【变式1】（2025·高二·四川成都·期中）已知点，和直线l：（），直线l与线段AB有公共点，则m的取值范围是 .
【变式2】经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为 ．
【变式3】（24-25高二上·重庆九龙坡·月考）经过直线和的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .
题型04 三条直线的交点问题
【典例1】（多选）（24-25高二上·浙江台州·月考）已知三条直线将平面分为六个部分．则满足条件的m可以是（ ）
A． B． C． D．0
【典例2】（23-24高二上·安徽·月考）已知三条直线交于一点，则实数=（ ）
A． B．1
C． D．
1.三条直线相交于一点、两点的破解策略.
(1)证明三条直线共一点时，只要将其中两条直线的交点代入第三条直线方程，方程成立即得证.
(2)已知三条直线交于一点，要求直线方程中的参数，只需求出其中两条直线的交点，再将交点坐标代入第三条直线的方程，便可得到关于参数的一个方程，解方程即得所求.
(3)若三条直线相交于两点，则必有两条直线互相平行，且均与第三条直线相交,以上述结论为出发点进行思考即可.
2.三条直线相交于三点的破解策略
(1)若三条直线有三个不同的交点，则需满足两个条件：①其中两条直线的交点不在第三条直线上；②三条直线斜率不同．
(2)一类常见题型是三条直线构成三角形求参数的取值范围,此时往往用补集思想求解.
【变式1】（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（ ）
A．2组 B．3组 C．4组 D．5组
【变式3】（多选）（23-24高二上·河南焦作·月考）若三条直线，，交于一点，则a的值可为（ ）
A． B．3 C．1 D．
题型05 恒过定点问题
【典例】求证:无论m为何实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都过定点.
　 解含有参数的直线过定点问题的方法:
(1)特殊值法:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是含参数的直线所过的定点,从而问题得解.
(2)分离参数法：将直线方程分项整理,含参数的并为一项,不含参数的并为一项,整理成等号右边为零的形式,然后令含参数的项和不含参数的项分别为零得方程组,方程组的解即为所求定点的坐标.
【变式1】求证:无论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点,并求出这个定点的坐标.
【变式2】已知直线方程为，.
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
（2）若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.
题型06 对称问题
【典例】已知直线，点.求:
(1)点A关于直线l的对称点的坐标;
(2)直线关于直线l的对称直线m'的方程;
(3)直线l关于点对称的直线l'的方程.
1.直线关于点对称
设直线l1与l2关于点P对称,这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另一条直线上,并且l1//l2,点P到直线l1,l2的距离相等.
2.直线关于直线对称
直线l1与l2关于直线l对称,它们具有以下几何性质:①若l1与l2相交,则直线l是l1,l2夹角的平分线所在直线;②若l1与l2平行,则直线l在l1,l2之间且到l1,l2的距离相等;③若点A在l1上,则点A关于直线l的对称点B一定在l2上,此时AB⊥l,且线段AB的中点M在l上(即l是线段AB的垂直平分线).充分利用这些性质,可以得出多种求直线l2的方程的方法.
【变式1】直线l:y=3x+3关于点A(3,2)的对称直线的方程为 .
【变式2】如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是 .
【变式3】在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长是 .
题型07 利用两点间的距离公式求线段的长
【典例】（2025·高二·天津红桥·期中）已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为 ．
若已知两点间的距离及两点的坐标,并且坐标中含有参数,则可利用两点间的距离公式列方程求出参数.
【变式1】已知，且，则 ．
【变式2】（2025·高二·天津红桥·期中）已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为 ．
题型08 利用两点间的距离公式判断多边形的形状
【典例】已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 .
（1）三角形形状的判断：利用两点间的距离公式计算出各边的长度,根据边相等可以判断是等腰或等边三角形,根据勾股定理的逆定理及其推广可以判断是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形.
（2）四边形形状的判断：利用两点间的距离公式计算各边的大小，再结合各边斜率之间的关系，便可判断各边是否平行或垂直，对边、邻边是否相等，从而得到该四边形的形状.
【变式1】（24-25高二上·河南许昌·期中）已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（ ）.
A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形
【变式2】已知三个点A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.
题型09 点到直线距离公式的应用
【典例】已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
点到直线距离公式的应用主要是求线段的长度、判定三角形的形状、求三角形的面积或根据距离求参数的值等.解决此类问题的关键是正确运用公式,并进行合理转化.
【变式1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【变式2】（24-25高二上·四川达州·期末）已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式3】（23-24高二上·广西南宁·月考）已知到直线的距离等于3，则a的值为 .
【变式4】（24-25高二上·上海·月考）过点且和原点距离是2的直线方程是 .
题型10 两平行线间距离公式的应用
【典例】已知两条平行直线与之间的距离为，则的值为（ ）
A．或8 B．或9 C．或2 D．或2
利用两平行线间的距离公式求距离的步骤：
第一步：将两条直线的方程转化为一般式方程；
第二步：转化两条直线的方程中的一个方程，使得它们x，y的系数对应相同；
第三步：使用公式直接求解两条平行直线间的距离.
【变式1】（2025·高二·浙江·期中）若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25高二上·河南·期中）已知两平行直线与之间的距离为，则（ ）
A． B．23 C．13或23 D．或
题型11 与距离有关的最值问题
【典例1】（2025·高二·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为 .
【典例2】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
点到直线的距离是点与直线上的点的距离的最小值，两条平行直线间的距离是在两条平行直线上各任意取
一点所得两点间距离的最小值，它们的应用非常广泛，在某些证明问题或最值问题的解答中尤其常见.
最值问题的常用求法有两种：
(1)利用解析几何知识，先设一个函数，然后用函数求最值的方法进行求解.
(2)几何法：根据几何图形直观判断哪种情况下取得最值.
常用结论有：两点之间线段最短；直角三角形的斜边大于直角边；三角形的两边之和(差)大(小)于第三边.
【变式1】（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ）
A．5 B． C．4 D．
【变式2】（24-25高二上·山西·期中）已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【变式3】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
题型12 利用距离公式解决函数的最值问题
【典例】（24-25高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A． B． C． D．
对于若干个根式函数之和或差的函数，有时可将根号内的式子进行转化，转化为各点间的距离之和或差的问题，再数形结合，借助图象求其最值.
【变式1】（2025·高二·福建泉州·期中）函数的最小值为 ．
【变式2】（2025·高二·江苏镇江·期中）函数的最大值为 .
【变式3】（2025·高二·河北石家庄·期末）已知，，则的最小值为 .
题型13 距离的实际应用
【典例】（2025·高二·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
对于距离的实际应用题，求解的关键是审题，通过审题并画出图形，将实际问题转化为各种距离之间的关系，再利用距离公式求解.
【变式】（2025·高二·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2025届河南许昌高二上联考）过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（ ）
A．10 B．5 C．8 D．6
3．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）2．已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025届重庆部分学校高二上质检）冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影（如图2所示）看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）若点在直线：上，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．3
7．（2025·广东佛山·二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．20
8．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2025浙江杭州二中高一下期中）在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（ ）
A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形
C． D．
10．（2025届宁夏吴忠市秦宁中学高二上期中）对于直线，．以下说法错误的有（ ）
A．的充要条件是 B．当时，
C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5
11.(2025河北部分重点中学二联)已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为4
C．的最大值为2 D．的最小值为
三、填空题
12.（24-25高二上·全国·课后作业）已知点是直线上一点，点与点间的距离为5，则点的坐标为 ．
13．（24-25高二上·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为 .
14.著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ．
四、解答题
15．（24-25高二上·天津河西·月考）已知直线．
(1)经过点且与直线平行的直线；
(2)经过点且与直线垂直的直线；
(3)经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线．
16．（24-25高二上·江西抚州·期末）设直线与.
(1)若，求、之间的距离；
(2)当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值.
17．（2025届山东临沂高二上联考）已知直线l：（2+m）x+（1+2m）y+4–3m=0．
（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；
（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．
18．已知点，直线
（1）求点M关于点对称点N的坐标
（2）求点M关于直线的对称点Q的坐标.
（3）已知点，点P在直线上，问使取得最小值时P点的坐标与使取得最小值时P点的坐标是否相同？请说明理由.
19．（2025上海八中高二下段测）在平面直角坐标系中， 已知矩形的长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上.
(1)若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）；
(2)若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围.
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