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专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 3
模型运用 6
模型1.胡不归模型（最值模型） 6
17
胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0（广东·二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，AB=4，∠BAD=30°，∴AD=AB=4，∠BAC=∠CAD=15°，
如图所示，以AB为一边，在AB下方作∠BAE=∠BAC=15°，过点P作PF⊥AE，过点D作DH⊥AE，
∴∠EAP=30°，∠PFA=90°，∠DHA=90°，∴PF=，∴DP+，
当D、P、F三点共线时，取得最小值，最小即为DH长度，
在Rt DHA中，∠DAH=45°，故答案为：．
（四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．

【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1）证明：连接，

∵四边形是菱形，∴，，
∵，∴，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴；
（2）解：过点N作于点F，连接，
∵，∴，∵，∴，
当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：即，
∴在中，，∴的最小值为．
补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。
若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。
一动点在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11），记，即求BC+kAC的最小值.
2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC，将问题转化为求BC+CH最小值.
3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
模型1.胡不归模型（最值模型）
例1（2026八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，，，
，，，，
当点、点、点三点共线，且时，有最小值，即，
，，．故答案为：．
例2（2026八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，，点在线段上，且，点为线段上的一个动点．（1） ；（2）的最小值为 ．
【答案】 30
【详解】解：（1）∵菱形，∴，，
又，∴是等边三角形，∴，
∴，故答案为：30；
（2）过P作于Q，过M作于H，
∵，∴，∴，
∴当M、P、Q三点共线，即Q和H重合时，最小，最小值为，
∵是等边三角形，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴，故答案为：．
例3（2026·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：过点F作于点G，如图，
∵四边形为矩形，∴，，∵，∴为等边三角形，
∴，，∴，．
∵，∴，，∴，
当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值，
∵点E是的中点，∴，则，
∵，∴，∴，∴，解得：，
综上：的最小值为，故答案为：．
例4（2026·湖北武汉·九年级期末）如图， 中，，，为边上一点，则的最小值为______．
【答案】
【详解】如图，过点作，交的延长线于，
四边形是平行四边形，，∴
∵PH丄AD∴∴，，
∴
当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，
此时 ，，，∴ ，
则最小值为，故答案为：．
例5（2026八年级上·湖北武汉·期中）如图，长方形中，对角线，，将长方形沿折叠，得，点是线段上一动点．当的值最小时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：作于点，交于点，作于点，则，
∵四边形是矩形，，，∴，，
∴，∴，∴，，
由折叠得，，，，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴是等边三角形，∴，∵，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴当点于点重合时，取得最小值，最小值为，∴，故选：．
例6（广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________．
【答案】0
【详解】解：如图，作于，
∵四边形是正方形，，，的最小值为0，
∵，∴的最小值为0，故答案为：0．
例7（2026八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)若，，求菱形的面积；(3)若，求的最小值．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：如图1：连接，四边形是菱形，．
，，. 是的垂直平分线，，；
（2）解：如图1：过点作于点，
，，即．，．
∵四边形是菱形，，．
，，
，，过点A作于点，
在中，，∴
根据勾股定理，得，；
（3）解：如图：连接，，
，，当点A、、三点共线时（如图），
即时，取得最小值，在中，由（2）得：，的最小值为．
1．（广东·校考一模）如图，中，，为边上的一动点，则的最小值等于（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵AB∥CD∴∠EDP=∠DAB=60°，∴sin∠EDP=，
∴EP=PD，∴PB+PD=PB+PE
∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，
∵sin∠A=，∴BE=，故选C.
2．（2025·山东·校考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】解：过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，
∵菱形中，，∴，为等边三角形，
∴，，∴在中，，∴，
∴此时得到最小值，，
∵，，∴，又∵，∴,故选：B.
3．（云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接AC，作
∵是正方形且边长为4，∴，，，
∵，∴，∴，
∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，
∵，，∴，∵，∴，
设，则，∴，解得：，
设，则，∵，∴，解得：
∴，故选：D
4.（2026九年级上·山东日照·期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．4
【答案】B
【详解】解：过点A作，过点D作于点M，交于点P，
∵在矩形中，，， ∴， ∴， 则，
∴， ∴ ．
即的最小值为6．故选B．
5.（2025九年级下·甘肃张掖·学业考试）如图，在菱形中，，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
（1） ；（2）的最小值为 ．
【答案】 30
【详解】解析：（1）四边形是菱形，，；
（2）过点作于点，连接，，过点作于点，，，
的垂直平分线交于点，交于点，，
，的最小值为，
，，，的最小值为．
6．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．
【答案】6
【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P，
∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=，
∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD），
，
此时PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6．
7．（2025·江苏·校考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于 ．
【答案】3
【详解】解：如图，过作交的延长线于点，
∵四边形为平行四边形，∴，∴，
∴，∴，∵，∴当三点共线时，线段的和最小，
∵，，∴，即：的最小值等于3；故答案为：3．
8．（九年级下·湖北·期中）如图，四边形是菱形，，且，M为对角线（不含点B）上任意一点，则的最小值为 ．

【答案】
【详解】如图，过点作于，过点作于．

四边形是菱形，，∴，，
，，，，
，，，
，，，
的最小值为，故答案为：．
9.（河北保定·一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．

（1） °；（2）的最小值为 ．
【答案】 2
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，
∴，∴，故答案为：．
（2）过点P作于点E，过点M作于点F，

在中，由（1）知：，∴，∴，
在矩形中，，∵，∴，
在中，，∴，∴的最小值为2，故答案为：2．
9．（2026九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且．点为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：过点作于点M，
在菱形中，，，，
∴为等边三角形，，∵在中，，
，当、、三点共线时，取得最小值，
，，，
在中，，则的最小值为．
10．（河南南阳·一模）如图，矩形的对角线交于点O，，点P是上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点B作射线，使得，过点P作，垂足为点E，则，
在中，，，，
过点O作 ，垂足为点F，则，
，垂线段最短，， 的最小值为线段的长，
在矩形中，，
，，
，，
∵在中，，．解得：．故答案为：
11．（上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．

【答案】/
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，∴，
在线段下方作，过点作于点，连接，

∴，∴，
当、、三点共线时，的值最小，
此时，∴，∴，，
∴，∴的最小值为：，
∴的最小值为．故答案为：．
12．（湖北武汉·九年级期末）如图， 中，，，为边上一点，则的最小值为______．
【答案】
【详解】如图，过点作，交的延长线于，
四边形是平行四边形，，∴
∵PH丄AD∴∴，，
∴
当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，
此时 ，，，∴ ，
则最小值为，故答案为：．
13．（2026·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．
与x轴交于点C，与y轴变于点A，
令x=0，y=，令y=0,得x= ∴A（0，），C（，0），
∴OA＝，OC＝，∴AC==2OA，∴∠ACO＝30°，
∵EH⊥OC，∴EH＝EC，∵BB′＝DE，BB′∥DE，∴四边形DBB′E是平行四边形，∴BD＝B′E，
∵BM∥AC，∴∠BMC＝∠ACO＝30°，∵∠BCM＝90°，BC＝，∴BM＝2BC＝3，
∴B′M＝1＋3，∵∠MFB′＝90°，∴B′F＝MB′＝，
∵BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F，∴BD＋EC≥，
∴BD＋EC的最小值为，故答案为．
14．（吉林·二模）【问题原型】如图①，在，，，求点C到的距离．
【问题延伸】如图②，在，，．若点M在边上，点P在线段上，连结，过点P作于Q，则的最小值为__________．
【问题拓展】如图③，在矩形中，，点E在边上，点M在边上，点F在线段上，连结，若，则的最小值为__________．
【答案】[问题原型]；[问题延伸]；[问题拓展]
【详解】解：[问题原型]∶如图，过点作于，过点作于．
∵，∴．在中，．
∵，∴．∴点到的距离为．
[问题延伸]∶如图，连接，过点作于，过点作于．
∵，∴的最小值等于的长，
∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合，∴的最小值等于的长，
∵，∴．在中，．
∵，∴．即的最小值为；故答案为：；
[问题拓展]∶如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G，
在中，，∴，∴，
∴的最小值等于，
∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合，∴的最小值等于，
∵四边形是矩形，∴，∴，
∴，即的最小值等于．
15．（山东淄博·一模）如图，在边长为6的菱形中，，连接，点 E，F分别是边，上的动点，且，连接，，．
(1)如图①，当点E是边的中点时，求的度数；
(2)如图②，当点E是边上任意一点时，的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，请说明理由；(3)若点P是线段上的一个动点，连接，求的最小值．
【答案】(1)(2)不改变，见解析(3)
【详解】（1）∵四边形是菱形，边长为6，∴，，
∴，是等边三角形，∴，
∵点E是边的中点，∴，，
∵，∴∴点F是边的中点，
∴，∴；
（2）的度数不改变，证明如下：
由（1）得到，是等边三角形，∴，，
∵，∴，∴，
∴；
（3）如图，过点P作于点 G，连接，过点F作于点，交于点，
∵，∴在中，
∴ ∴当点F，P，G三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，过点D作于点H，
∵四边形是菱形，∴，∴的最小值即为的长，
∵，是等边三角形，∴，∴的最小值为．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 3
模型运用 6
模型1.胡不归模型（最值模型） 6
17
胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0（广东·二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ．
（四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．

补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。
若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。
一动点在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11），记，即求BC+kAC的最小值.
2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC，将问题转化为求BC+CH最小值.
3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
模型1.胡不归模型（最值模型）
例1（2026八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 ．
例2（2026八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，，点在线段上，且，点为线段上的一个动点．（1） ；（2）的最小值为 ．
例3（2026·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 ．
例4（2026·湖北武汉·九年级期末）如图， 中，，，为边上一点，则的最小值为______．
例5（2026八年级上·湖北武汉·期中）如图，长方形中，对角线，，将长方形沿折叠，得，点是线段上一动点．当的值最小时，的长为（ ）
A． B． C． D．
例6（广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________．
例7（2026八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)若，，求菱形的面积；(3)若，求的最小值．
1．（广东·校考一模）如图，中，，为边上的一动点，则的最小值等于（ ）
A． B．3 C． D．
2．（2025·山东·校考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．（云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
4.（2026九年级上·山东日照·期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．4
5.（2025九年级下·甘肃张掖·学业考试）如图，在菱形中，，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
（1） ；（2）的最小值为 ．
6．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．
7．（2025·江苏·校考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于 ．
8．（九年级下·湖北·期中）如图，四边形是菱形，，且，M为对角线（不含点B）上任意一点，则的最小值为 ．

9.（河北保定·一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．

（1） °；（2）的最小值为 ．
9．（2026九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且．点为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
10．（河南南阳·一模）如图，矩形的对角线交于点O，，点P是上的动点，则的最小值是 ．
11．（上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．

12．（湖北武汉·九年级期末）如图， 中，，，为边上一点，则的最小值为______．
13．（2026·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ．
14．（吉林·二模）【问题原型】如图①，在，，，求点C到的距离．
【问题延伸】如图②，在，，．若点M在边上，点P在线段上，连结，过点P作于Q，则的最小值为__________．
【问题拓展】如图③，在矩形中，，点E在边上，点M在边上，点F在线段上，连结，若，则的最小值为__________．
15．（山东淄博·一模）如图，在边长为6的菱形中，，连接，点 E，F分别是边，上的动点，且，连接，，．
(1)如图①，当点E是边的中点时，求的度数；
(2)如图②，当点E是边上任意一点时，的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，请说明理由；(3)若点P是线段上的一个动点，连接，求的最小值．
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