资源简介

相约在高校， 备考必用之！
目录
2
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目录 1
自序 3
专题A 常用的数学思想和方法 4
专题B 常用化简技巧与常用公式 5
专题C 数学解题经验谈 6
专题1 集合(B1) 7
练习 集合 10
专题2 函数及其定义域(B1) 13
练习 解不等式 15
练习 函数定义域 15
专题3 函数解析式的求法(B1) 17
练习 求函数解析式 19
专题4 值域，最值(B1) 22
练习 函数值域 25
专题5 函数图象及其变换(B1) 26
练习 函数图象 28
专题6 单调性(B1) 29
练习 函数单调性 31
专题7 奇偶性、对称性(B1) 33
练习 函数奇偶性 35
专题8 周期性(B4) 37
练习 周期性 39
专题9 指数与指数函数(B1) 41
练习 指数函数 42
专题10 对数与对数函数(B1) 45
专题11 幂函数的图像与性质(B1) 46
练习 对数函数 47
专题12 抽象函数及定点问题(B1) 51
练习 定点和定值问题、抽象函数问题 52
专题13 成立与恒成立(B1) 56
练习 恒成立、有解、无解问题 58
专题14 函数与方程、二分法(B1) 60
专题15 二次方程根的分布(B1) 62
练习 函数与方程 63
专题16 函数的应用(B1) 65
练习 函数的应用 66
专题17 常见函数题型的解题思路（1）(B1) 68
练习 必修1教材经典习题精选 70
专题18 空间几何体(B2) 71
练习 空间几何体 73
专题19 点、直线、平面之间的关系(B2) 75
练习 立体几何 80
专题20 直线方程(B2) 88
练习 直线与方程 91
专题21 曲线的对称性(B2) 94
专题22 圆的方程(B2) 95
练习 圆与方程 99
练习 必修2教材经典习题精选 104
练习 综合训练（1） 105
专题23 算法、程序框图、程序(B3) 109
专题24 统计(B3) 112
专题25 概率(B3) 115
练习 算法、统计、概率 118
专题26 三角函数(B4) 121
专题27 三角函数的图象与性质(B4) 124
专题28 平面向量(B4) 127
练面向量 130
专题29 两角和与差的公式(B4) 135
专题30 解三角形(B5) 136
练习 三角函数 138
专题31 数列(B5) 141
专题32 等差数列(B5) 142
专题33 等比数列(B5) 143
专题34 递推数列的通项公式(B5) 145
专题35 数列求和(B5) 148
专题36 数列型不等式的证明(B5) 149
练习 数列 150
专题37 不等式的性质(B5) 153
专题38 解不等式(B5) 154
专题39 含参数不等式的解法(B5) 155
专题40 证明不等式常用方法(B5) 156
专题41 线性规划(B5) 157
练习 线性规划 158
专题42 常用逻辑用语[X21] 159
专题43 椭圆、双曲线、抛物线[X21] 160
专题44 直线交圆锥曲线的解题模式[X21] 162
专题45 直线与圆锥曲线的综合知识[X21] 163
专题46 曲线中的最值，定值(点)，取值范围[X21] 163
专题47 求轨迹方程[X21] 164
练习 圆锥曲线（1） 165
练习 圆锥曲线（2） 169
专题48 空间向量，距离与夹角(X21) 172
专题49 导数[X22] 173
练习 函数综合题 175
专题50 定积分(X22) 177
专题51 常见函数题型的解题思路（2）(X22) 178
练习 函数性质 193
练习 恒成立问题 194
专题52 推理与证明[X22] 198
专题53 复数[X22] 199
专题54 排列与组合(X23) 200
专题55 二项式定理(X23) 201
专题56 随机变量及其分布(X23) 202
专题57 回归分析、独立性检验[X23] 204
练习 排列与组合 205
练习 概率与统计（1） 205
练习 概率与统计（2） 209
专题58 几何证明(X41) 211
专题59 坐标系，参数方程[X44] 212
专题60 柯西不等式、排序不等式(X45) 214
练习 不等式 215
练习 教材经典习题精选 216
练习 综合训练（2） 223
专题D 数学解题表 225
后记 226
3
【说明】括号中的B1表示必修1，以此类推！括号中X21表示选修2-1，以此类推！
（注意：X11、X12的内容在加中括号的X21、X22、X23中）
(
总结
细致入微
，
促你
于无声处常顿悟！
)
(
归纳
全面突破
，
助你
求知路上拔头筹
！
)
任何一种简洁的解题方法都离不开准确快速的运算做支撑！
可以说，得运算者得数学，得数学者得天下！
数学其实也是一门游戏，先掌握好规则，
（规则：数学定义、定理、运算法则等）
再学习如何用好规则，就能取得好成绩！
高考数学能力要求
空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、以及应用意识、创新意识．
其中，运算求解能力是最基础的又是应用最广的一种能力：运算的合理性，运算的准确性，运算的熟练性，运算的简洁性．它体现了思维的灵活性、敏捷性、深刻性．不仅包括对数的运算，也包括对式的运算，兼顾对算理和逻辑推理的考查．
66
自 序
这是一本极具个性和特色的高中数学知识要点和解题方法的辅导工具书！
它是来自于长期在教学一线并从事高三数学教学多年的教师的心血之作！
它站在实用的立场，瞄准高考，几乎一网打尽高考数学解题方法和策略！
一、大开本页面排版，使得每个专题的知识点、题型方法在一面上就能集中连贯流畅的显示，阅读起来非常方便；它避免了同学们在笔记本上因东抄西写而不成系统的缺陷，因此使用起来效率更高．
二、编排上不同于一些数学知识手册，它不是简单地将课本上的概念、定义、公式、定理简单罗列，而是将有规律性的数学结论（如周期性、等比型递推数列、线性规划中目标函数的类型等）集中在一起，有些结论给出了详尽的推导过程，还有一些给出了方法提示，阅读的时候若能比较、鉴别、思考，就能悟出许多解题方法．
三、将平常练习与考试中经常遇到的问题归结为一个题型，或进一步提供解题思路、或进一步归纳解决这一类问题的理论依据，以达到训练思维的作用．如：“，，使得方程成立”，这句话的含义就是“”，如果悟出了这个含义，涉及它的问题不就很容易解决了吗！
如果平时没有学会这些命题或语句的转化，临到考试时岂不是束手无策？本书（如专题“成立与恒成立”）收集了众多这种能训练思维、清晰解题思路的命题或语句，如果平时能多悟一悟，解题能力必将上一新台阶！
四、强调知识、方法应用的可操作性．作者在归纳中，强调通则通法的掌握运用，并不归纳怪、偏、难的方法，如专题“常见函数题型的解题思路（1）（2）”，可使学生在模仿解题中感悟，在感悟中收获．还有些知识点，通过作者的反复揣摩，归纳出可操作性的步骤和结论，掌握之后，再全面理解整个知识点的发生过程就容易多了．
五、将教师在教学中常常需要强调的东西形成文字，便于学生反复阅读，从而加深印象．它也将许多散见于各种资料中和师生面授相传中的好方法汇集在其中．
六、本书归纳的方法、结论、解题规律确实很多，除少部分常用结论和方法要铭记于心之外，大部分只要通过反复体会和运用就能掌握，无需死记呆背．为了帮助同学们掌握方法和记忆重要结论，或直观理解一些结论，作者编配了一些顺口溜，绘制了一些对应的图象．
七、本书全面配合高考数学考点的复习安排，因此在一轮复习时若能及时同步消化吸收，必将奠定夺取高分的坚固基石；本书也是二三轮复习，乃至考前必读材料；高中数学有十多本教材，考前不可能再一一翻阅，正是由于本书全面配合高考数学考点的复习安排，因此考前对于自己感觉薄弱的地方，及时查阅强化不无裨益便捷．
八、同时本书又适于高一、高二学生作为工具书使用，同步积累知识和方法，为高考打下坚实的基础．
九、本书配备了一些题组训练，它们主要来自于近几年高三学生在平时的练习或考试中容易出错、或不会解答的题，但并非怪题、难题，它们甚至可以说是具有代表性的经典题、综合题，如果我们能在平时一一攻克，必将使我们的数学思维能力得到极大的锻炼和提高，解题能力产生质的飞跃；或期望读者通过对解题过程的理解，（客观题有关键性提示和答案，解答题则有详尽的解答过程），进一步掌握解题方法和思路，能够举一反三，避免在考试中失误．正所谓，它山之石，可以攻玉．
态度决定人生的高度！
记性、悟性、自觉性决定了你学习上的收获！
高分数、好成绩是靠自己悟出来的！正所谓：师傅领进门，修行在个人！
专题A 常用的数学思想和方法
一．数学思想：1．数形结合的思想；2．分类与整合的思想；3．函数与方程的思想；4．转化与化归的思想；
5．特殊与一般的思想；6．有限与无限的思想；7．或然与必然的思想；8．正难则反的思想．
二．数学基本方法：配方法、换元法、反证法、割补法、待定系数法；分析法、比较法、综合法、归纳法、观察法、定义法、等积法、向量法、解析法、构造法、类比法、放缩法、导数法、参数法、消元法、不等式法、判别式法、数形结合法、分类讨论法、数学归纳法、分离参数法、整体代换、正难则反、设而不求、设而求之．
【解题时：方法多，思路广，运算准，化简快．】
三．数学逻辑方法：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等．【也称数学思维方法．】
四．选择题的方法：四个选项有极大的参考价值！千万不要小题大做！
①求解对照法(直接法)；②逆推代入法(淘汰法)；③数形结合法(不要得意忘形)；④特值检验法(定值问题)；
⑤特征分析法(针对选项)；⑥合理存在性法(针对选项)；⑦逻辑分析法(充要条件)；⑧近似估算法(可能性)．
五．填空题的方法：①直接法；②特例法(定值问题)；③数形结合法；④等价转化法．
六．熟练掌握数学语言的三种形式：自然语言、符号语言、图形语言的相互转化．
七．计算与化简：这是一个值得十分注意的问题！平时的训练中，要多思考如何快速准确的计算和熟练的化简！
八．学会自学！课堂上不可能把所有的题型都讲到！所以要多看例题，多思考！看之前一定要想自己会怎么做！
怎么看：一看解题思路【看完后要归纳步骤、总结方法】，二看规范表达【尽量学会使用数学语言、符号】．
学会总结归类：①从数学思想上归类；②从知识应用上归类；③从解题方法上归类；④从题型类型上归类．
【特别提醒】
1．一道题有没有简便解法，关键就在于你能不能发现其中的一些条件的特殊性，并能加以灵活运用！（灵机一动）
【转化、联想、换元等，另外，解题时有时对一些细节的处理也很关键，会起到峰回路转、柳暗花明的作用．】
2．解函数、解析几何、立体几何的客观题，应特别注意数形结合思想的运用！但在解答题中，不能纯粹只凭借图象来解答问题；图象只起到帮助找到解题思路的作用【图象尽量画准，甚至在有时给出图象时也需要自己重新准确画一遍】；解题过程还是要进行严谨的理论推导【用数学语言表达】，不能纯粹以图象代替推理、证明．
3．转化数量关系时，若是写不等式，则要注意是否可以取“”．特别是求取值范围时，端点一定要准确处理．
4．平常做解答题应该做完整：解题过程的表达是否流畅、简洁．否则到考试时，还需为如何组织语言表达去思考而耽误时间．这是平时训练值得注意的【条理分明、言简意赅、字迹工整】！表达也是思维的一部分！
5．在解答题中，某些局部问题解答过程的书写的详略，取决于整个解题书写过程的长短：长则略写，可用易证、易知等字眼；短则详写．如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简单的证明．
6．在设置有几问的解答题中，后面问题的解决有时候依赖于如何灵活运用前面已解决的问题的结论．
有些解答题某一问貌似与前面无关，实则暗【明】示你必须把它与前面联系起来，才能解决问题．
7．平常要多积累解题经验和解题技巧．熟记一些数学规律和数学小结论对解题也是很有帮助的．
8．数学总分上不上得去，很大程度上取决于选择题、填空题得分高不高．而选择题、填空题更注重对基础知识，基本数学思想、方法和技能的全面考察．因此，要熟练掌握解选择题、填空题的特有方法：在解选择题或填空题时，优秀的解题方法更显得重要．建议每天做一份选择、填空题，花大力气提高解选择、填空题的准确率和速度．【注意：选择题的四个选项中有且只有一个是正确的，是一个需要特别重视的已知条件．】
9．可以在专门的笔记本上，收集作业、考试中的错题，学习中遇到的经典题，便于日后考前复习巩固．
不怕难题不得分，就怕每题扣点分！
不怕难题不得分，就怕每题扣点分！
⒑ 作业本上的错题、试卷上的错题一定要及时更正！做错了不可怕，可怕的是做错了不去纠正！
专题B 常用化简技巧与常用公式
(
说明：
分子常数化
手段，对于我们了解分式函数单调性，图象，求数列最大项、最小项，整数解问题等都有极大的帮助。
)1．繁分式化简分式：． (同乘)
2．分式中的负指数幂化成正指数幂：． (同乘)
3．齐次式变形：；；． (同除)
4．除法分配律（分数裂项）：①；②． (分式变形时常用)
5．分子常数化：①； ②； ③；
④（或用换元法令分母为后，达到分子常数化要求）．
6．分母有理化：①； ②；
分子有理化：①； ②；
7．配方：①； ②；
③； ④；
⑤．
8．因式分解、乘法公式：
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥；
⑦； ⑧．
9．设的两根为，令，
①求根公式：()．另有．
②根与系数的关系（韦达定理）：【注意：解此类方程组时可构造方程再解】
③因式分解：． 【十字交叉法分解因式要熟练！】
⒑ ①三角形中的三边、边角不等关系，外角定理，，□面积．
②边形内角和：；边形外角和：．
③角平线定理：在中，的平分线交边于，则．
④重心性质：设的三条中线相交于点，则．
⑤若关于成反比，则；若关于成正比，则．【其中为待定系数】
⑥若关于成正比，且关于成反比，则．
⒒ 你会解这两个方程吗？①；②.
⒓ ①；对于．
③；．
⒔ 准确作图，对解题是有很大帮助的．因此作图工具要备好：圆规、三角板、量角器、铅笔．
我的成功归功于精细的思考，只有不断地思考，才能到达发现的彼岸。——牛顿
专题C 数学解题经验谈
1．善于学习的人，就要会归纳总结．
2．函数、方程、不等式的整理要规范．化简、变形应有目的，要避免盲目性、随意性：
分式是否要通分，整式是否要（展开）去括号，多项式是否要提公因式，怎样移项，…
3．既要学会分类讨论，也要学会避免讨论．
4．题中的条件都化简、转化了吗？问题（还）能转化吗？
有些问题的后续思路往往在边计算边化简中发现的，因此计算、化简的准确性非常重要！
5．解题的最高境界就是揣摩出命题者的意图，从而巧妙解题．（智取远胜硬拼！）
6．换元法使复杂问题简单化；待定系数法用于非设不可的题型，即不设就不易表达数量关系而无法求解．
7．含参数问题中，给出某个结果(值域、最值等)，往往需要主动再求出这个结果，利用它们要吻合，解决问题．
8．数学不是靠老师教会的，而是在老师的引导下，靠自己的主动思维活动去获取的；学习数学必须要有自己的体会，自己悟透了才可以学好．平时要养成对重点题目以及考试中的错题一定要算出答案的习惯，哪怕问了或者看了解答或老师作了讲评，也应该自己再动手完整演算、书写一遍，即做到“考后满分”．
9．准确计算，并注意计算结果的合理性，如椭圆、双曲线、抛物线方程中的值通常为一些正整数，点的坐标已确定的平面的法向量的坐标值比较简单等，如数值反常，则要考虑是否计算粗心出错．高考题一般不会人为加大计算量，高考要求控制计算量、加大思维量．
⒑ 流畅、简洁地表达解题过程，也是数学思维的一部分；要做到：会解题，会表达．
要掌握一些常规解答题的解答步骤和规范、简洁的答题模式，养成良好书写习惯．
⒒ 错题本上的习题你都会做了吗？经典题的解题思路你都掌握了吗？
⒓ 向老师请教时，你的准备工作做好了没有？该画的图象画了没有？可以化简或转化的，你化简或转化没有？
解题若无思路，则更应做好上述工作！因为往往在此过程中，解题思路自然就清晰起来了．
⒔ 要重视基础题的训练，不要一味的去攻克难题，基础不落实，往往会事倍功半．
⒕ 平时计算不要依赖计算器，因为高考毕竟不允许使用计算器，而且平时养成心算或笔算，也能训练解题速度．
⒖ 为便于自学，购买教辅资料时，尽量选每一题解答都非常详尽的那一种（但不要边做练习边看答案！）
⒗ 建议高一时，买一本高三一轮复习资料(每一题都有详尽解答的)作同步学习资料用，一是了解基础的重要性，二是了解知识的综合性，三是不知不觉就完成了高三一轮复习，这对我们真正进入高三复习有极大的帮助．
(
数学解题如何表达
——平时作业要求
1．字迹工整，页面整洁；作图或列表，用尺规、铅笔； 【美观】
2．每写一（小）题，空一行；作业本可对折，左右各做一题； 【大气】
3．解题正式书写时，应先写上“解：”或“证明：”；错题及时更正，要抄题重做； 【规范】
虽然有时题目没有明确要求画图，但需要借助图象解题，则也应画出图形来．
4．解答题的过程要简洁，即把体现解题思路性的东西写上，代数化简的过程则不必太详尽． 【灵活】
只有平时作业养成良好的书写习惯，考试才不会出问题，有时会因卷面漂亮多得分，小小失误不扣分！
)
学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。——苏步青
专题1 集合(B1)
1．元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合．
集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性． 【思考】？
2．元素与集合的关系：，；
3．常用数集符号：正整数集，自然数集，整数集，有理数集，实数集，无理数集，复数集，
偶数集，奇数集．【有理数：，，】
4．集合的三种常用表示方法：列举法、描述法（形式可具有多样性）、图示法（一种解题工具或方法）．
5．集合与集合的（包含）关系：，． 【显然，；另规定：．】
概念：①子集（若，都有）； ②集合相等（若，且）；
③真子集（若，但，且，则．）
6．若集合中有个元素，则集合的所有子集个数为． （∵或．）
所有非空子集的个数是，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是． 【．】
7．①；
②；
(
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
)③． 【显然与成对出现】
8．摩根定理：①； ②．
【右图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分你能用集合符号表示吗？】
9．①． ②． 【①②要重点理解掌握！】
③． ④． ⑤．
⒑ 含参数的集合满足或等情形时，在求解的时候要注意是否需要分与两种情形讨论．
若含参数的集合是一个方程或不等式的解集，也可以从通过讨论系数的符号来解方程或不等式的角度考察．
补充1
1．求集合（有限集）中的参数的值要注意检验：①是否违反集合中元素的互异性，②是否与已知条件矛盾．
2．求集合交、并、补或求满足或等情形时参数取值范围的方法：
①观察法（有限集）， ②数形结合法【无限集，利用韦恩（Venn）图，或数轴，或坐标平面】．
3．注意区分集合中元素的含义：【数集一般都要进一步化简！】
①数集：方程的解集； 或不等式的解集；
函数的定义域； 函数的值域；
，：满足（曲线）方程的或的取值集合．
②点集：曲线【或满足二元方程解（实数对）的集合】；
区域； 区域；
，令，则．
4．给出含参数不等式的解集，则解集中的端点值是不等式所对应整式方程的根（或者说是对应因式的零根）．
5．你会用补集思想解决问题吗？补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题．
6．①； ②．
集合不论空不空,总有子集在其中!
补充2
1．若，，()，
则满足的集合有个；满足的集合有个．
2．满足的集合有对．【每个元素放置的位置都是三选一，如图．】
3．在集合的所有子集中：
①集合中的每个元素出现次（譬如这个元素,注意集合有个子集）．
②含个元素的子集有个，在这个子集中，集合中的每个元素出现次（譬如这个元素）．
(
参见专题：成立与恒成立．
)4．从集合观点理解方程或不等式恒成立、有解、无解问题的解决之道：
对于集合，集合，其中，代表不等式或方程，则
①对恒成立！【大范围对小范围恒成立；有时需利用转化一下．】
②对恒成立且对恒成立！
③在有解（或在有解）；在无解（或在无解）．
④若，都有． 【若，但，且，则．】
(
合二为一的几种类型
1．
的两根.
2．①
的两根；②
有两个(不等)实根
.
3．
.
4．①
奇函数：
； ②偶函数：
.
5．①
； ②
．
6．
若
则
.
)
(
解答题中必要的常用的文字表达
1．
解，令，则，而，又，且，即，当，若，记，故，设，取，或，及，再，由.
2．
证明，解得，由于，于是，因此，从而，因为，所以，同理，此时，又即，假设，欲证，只需证，结合.
3．
由已知，据题设，依题意，化简得，等价于，整理得，不妨设，解之得，要满足，事实上，注意到，由条件，一般地.
4．
由…可知，综上可知，综上所述，由此可得，两式相减(加、乘、除)得，问题等价为，由…定理得，一方面，另一方面.
5．
以
为原点，…所在直线分别为
轴、
轴、
轴，建立如图所示的空间直角坐标系
.
【坐标系应符合右手直角坐标系，即
轴要按逆时针螺旋式上升标记！且
轴(竖轴)箭头一般是向上的！】
6．
由…猜想…，下面（用数学归纳法、或综合法等方法）证明.
)
1．解方程组时消元的方法：①代入消元；②加减消元；③乘除消元．
2．求值时，很多时候要进行检验，以防止产生增根，此外还要考虑是否漏根；
求取值范围时，一般来说，只要限制条件考虑周全，则不需检验．（端点要特别注意是否包含）
练习 集合
A组
1．集合中的的取值范围是______．
2．若集合，且，求实数的值并写出相应的集合．
3．①用列举法表示集合，则____________．
②由的所有值组成的集合用列举法表示为__________．
4．设集合中的元素为实数，且满足条件：若，则，其中．
①若，用列举法写出集合； ②若，用列举法写出集合；
③集合能否为单元素集？若能，求之；若不能，请说明理由．
5．用适当的数学符号（）填空：
①____， ②____， ③___，
④___， ⑤___， ⑥____．
6．已知集合满足，写出所有满足条件的集合．
7．设集合，，且，求实数的值．
8．若集合，，若，求实数的值．
9．已知集合，求的值．
⒑ 若非空集合，，则使成立的实数的取值范围是____．
⒒ 已知集合，那么正确的是
A． B． C． D．
B组
1．已知集合，，则___________．
2．已知集合，，则_____________，___________．
3．已知，，则____________．
4．已知集合，，
（1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围．
5．已知全集，集合，．求，，，．
6．已知全集，集合，，求，，()()．
7．设集合，，
（1）如果，求实数的取值范围；（2）如果，求实数的取值范围．
8．设全集，若，，()，则集合__________．
9．已知，，若，求实数的取值范围．
⒑ 已知集合，，，若，
，求实数的值．
⒒ 设集合，，若，，
则____，______．
答案
A组
1．；【解析】．
2．解：∵，∴，
∴，
由于时，，不合集合要求，
所以，；
当时，；当时，．
3．①；【提示】注意同时满足：，且，则．
②，【提示】对的符号分四类：三正、两正一负、一正两负、三负讨论.
4．①解：∵， ②解：∵，
∴，即， ∴，
∴，即， ∴，即，
∴，即， ∴，即，
故. 故.
③解：若集合为单元素集，则，即，
由于，则方程无解，
则，因此集合不能为单元素集.
5．①.
6．解：，
.
7．解：∵，∴（1），或（2），
解（1）得，，或；解（2）得，；
由于，所以，.
8．解：由已知可得，
当时，，满足，
当时，，要满足，则或，所以，
故.
9．解：∵，∴是的重根，
∴，解之得.
⒑ . 解析：利用数轴，写出不等式组（由三个不等式组成），解之.
⒒ B； 解析：，，，只需考察每个分子所对应的数.
B组
1．．主要考察解方程组之后，如何正确表示答案。
2．，.利用数轴。 3．．
4．（1）解：由，得，
当时，，得；
当时，，解得；
综上可得，.
（2）解：由（1）可得.
5．解：，，
，．
6．解：，，
()(．
7．解：（1）由已知可得，又由，得，
∴，或，或，或.
当时，，解得，
当，或时，，解得，此时，
当时，，解得，
综上，或.
（2）由，得，即；又中最多只有两个元素，所以，
从而由（1）易得，.
8．．解析：画出韦恩图！
9．解：当时，无解，
∴，∴，
当时，∵，且观察到，
∴两实根均为负根，
∴，∴，
综上，.
⒑ 解：由已知可得，，
∵，， ∴，
∴，即，
∴，所以，此时，
故.
⒒ ，．解析：利用数轴，直接确定集合中的不等式的两个端点．
专题2 函数及其定义域(B1)
研究函数必须树立定义域优先考虑的原则！(很重要，但又很容易忽视)
1．函数的定义：
设是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作．
①函数的图象与动直线至多只有一个公共点！这是判断一个图象是不是函数图象的方法．
②点在函数的图象上．
③函数表示法——解析法、列表法、图象法．
④两个函数为同一函数的充要条件是定义域与对应关系相同【即在定义域相同的条件下解析式可化为相同】．
⑤设函数的定义域为集合，若在集合上有意义，则．
⑥区间表示法：设，则，，，…．
2．映射的定义：
设是两个非空的集合，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素和它对应，那么就称为从集合到集合的一个映射．
(
(个)．
)【函数与映射都是：一对一，或多对一．】
3．若中含有个元素，中含有个元素，从到能建立多少个映射？
4．给出函数的解析式，求函数的定义域所遵循的原则是：
(
1．定义域必须用集合或区间的形式表示！
2．集合
的含义：即函数
的定义域．
3．
要养成这样一个习惯：
一研究函数问题，就指出该函数的定义域！
)①中要求；
②中要求；
③中要求；
④（），；
⑤（），；
⑥；
⑦通过加、减、乘、除四则运算及有限次复合构造出新函数，则新函数的定义域是每个函数定义域的交集．
⑧应用问题的定义域，除了要考虑解析式本身的定义域，还要考虑使应用问题有意义．
⑨求定义域时最好不要对解析式先变形，否则容易出错．
5．不给出的解析式，函数，三者之间定义域的关系：【定义域都是指的取值范围．】
①已知的定义域是，求的定义域：解不等式，其解集就是的定义域．
②已知的定义域是，求的定义域：利用求的值域，该值域就是的定义域．
③已知的定义域是，求的定义域：
利用先求出的值域，然后解不等式，此不等式的解集就是的定义域．
【总之，求抽象函数的定义域，关键是抓住被同一个作用的对象取值范围相同．】
6．① ②（数轴上两点间的距离）；
③， ④．
学好数学的秘诀是：解题，解题，再解题。
补充
(
它们的单调性、奇偶性与系数的关系要把握住！
)熟练掌握下列函数性质：定义域，值域(最值)，图象，单调性，奇偶性．
(
的几何意义是斜率；
的代数意义是当自变量
取值增加1个单位时函数值的增量．
)1．一次函数：，
⑴定义域为，值域为．
⑵图象：直线，射线，线段的图象皆由两点确定．
⑶单调性：时，为上的增函数；时，为上的减函数；
⑷奇偶性：时为奇函数；时为偶函数．
⑸的值域为．
⑹设，则：
(
③
) (
②
) (
①
)①若在恒成立，则
②若在恒成立，则
③若在上有零点（即在上有解），则；
(
还可参阅专题：二次方程根的分布.
)2．二次函数：，
⑴定义域为；当时，值域为；当时，值域为．
⑵图象：利用与轴两交点、对称轴、顶点作图．【三点一线，两交点，对称轴】
【值域、最值、单调性问题用好对称轴，解集问题用好零点！】
⑶单调性：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
⑷奇偶性：时为偶函数．（时为奇函数）
⑸的值域， 【不能简单类比而得出错误的结论．】
当时，值域为；当时，值域为或（二者必居其一）．
⑹设，则:
①若在上恒成立，则或
②若在上恒成立，则或
③若在上有零点，则或
(
的几何意义是：当
时，过双曲线上一点
向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积；显然
时，是该矩形面积的相反数．
)3．反比例函数：，
⑴定义域是，值域是．
⑵图象：时一、三象限的双曲线；时二、四象限的双曲线．
⑶单调性：当时，在上为减函数；
当时，在上为增函数．
⑷奇偶性：一定是奇函数．
日日行，不怕千万里；常常做，不怕千万事。
⑸，其图象可由变换得到；其值域为．
练习 解不等式
写出下列不等式的解集：
1．（1）； （2）；
（3）； （4）；
2．（1）； （2）；
（3）； （4）；
3．（1）； （2）；
（3）； （4）．
4．（1）； （2）；
（3）； （4）．
练习 函数定义域
1．用区间表示下列集合：
（1）； （2）；
（3）， （4）．
2．求下列函数的定义域：
（1）， （2），
（3）， （4）．
3．（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围．
（2）设集合，，则__________．
（3）已知函数（，且为常数）在区间上有意义，求实数的取值范围．
4．（1）若的定义域为，求的定义域．
（2）若的定义域为，求的定义域．
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
5．已知对任意，都有，求的解析式．
6．将函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则此时该图象对应的函数解析式为____．
答案： 解不等式
1．（1）； （2）； （3）； （4）；
2．（1）； （2）； （3）； （4）；
3．（1）；（2）； （3）；（4）．
4．（1）；（2）； （3）； （4）．
函数定义域
1．（1）； （2）； （3）， （4）．
2．（1）解：由，得，且，
所以函数的定义域为，且.
（2）解：由，得，且，
所以函数的定义域为，且.
（3）解：由，得，
所以函数的定义域为.
（4）解：由，得，且，
所以函数的定义域为，且.
3．（1）解：∵的定义域为，
∴恒成立，
∴，或，（结合抛物线的图象思考！）
∴，或，
所以的取值范围为.
（2）．解析：，. 【前者是函数的定义域，后者是函数的值域】
（3）解：函数（，且为常数）的定义域为，
依题意，，则，所以，
故实数的取值范围为．
4．（1）解：由，得，所以的定义域为．
（2）解：∵，∴，所以的定义域为．
（3）解：由，得，得，所以函数的定义域为．
5．解：令，则；令，则；故.
6．．
专题3 函数解析式的求法(B1)
【函数变量是个筐，代数式都可以装（变量替换）．例：对于，．】
1．函数解析式的求法：【函数与方程的思想；恒等式的变量替换，如：．】
（1）代入法【直接法，适用于①由求复合函数，②由、、、等求；
注意：由分段函数求复合函数时，首先需要根据中对的分段，替换为对的分段．】
（2）凑配法【整体替换法，适用于、、等类型．】
（3）换元法【如．换元法与凑配法可以交替使用，如等类型．】
（4）待定系数法【告知函数类型，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；然后，①利用条件得恒等式，由对应项的系数相等完成；②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可．】
（5）解方程组法【给出的方程同时含：
①与，或与； 【前者，后者】
②一奇一偶函数与； 【】
③与，或与； 【前者，后者】
方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组！】
（6）图象变换法【根据变换过程写解析式，或根据对称关系、相关关系等用代入法求曲线（或轨迹）方程．】
（7）赋值法【给出可以求出解析式的恒等式时使用．】
2．二次函数的解析式的三种形式：
①一般式：； 对称轴是； 顶点．
②顶点式：； 对称轴是； 顶点．
③两根式：； 对称轴是； 顶点．
【提醒1】用待定系数法求二次函数的解析式按照③、②、①的顺序考虑去设解析式较好．
【提醒2】：一般式与两根式的相互转化使用，常有利于解决问题．
【已知一个零根时，另一零根可由韦达定理求出．】
【提醒3】与二次函数有关的问题【值域，最值，单调性等】，要学会直接运用对称轴和图象解决！
3．应用题中求函数解析式：
关键是寻找等量关系，即同一个量用不同方式表达，由此就得到方程（或等式），从而就可得到函数解析式．
注意：①没有给出字母变量的，一定要先设出来．
②要根据实际意义，准确求出函数定义域．
③不能用一个式子表示的，则需要用分段函数表示．（几何背景的应用题常需要用分段函数表示！）
(
基数免税
3%
10%
20%
3500元
1500元
3000元
4500元
26000元
25%
20000元
25000元
30%
35%
45%
)4．缴纳个人所得税也可以画线段示意图分段处理（分段纳税）．(还可建立分段函数模型)
常见函数的平方表示：
，，，，．
天行健，君子以自强不息。
补充
1．设均为定义域相同的两段式的分段函数，
①若分段标准一致，则，，等函数仍为两段式的分段函数．
②若分段标准不一致，则，，等函数均为三段式的分段函数．
2．给出分段函数如何解不等式（或方程）：．
方法一：就与的大小关系分四种情形，将两边代出后求解；
方法二：令，解出的值，得到（能分段代出两边的）标准后，分段求解．
3．若，且，则必含有因式；
必要时可以用竖式除法或待定系数法将因式分解；
若为的极值点，则必为方程的重根．
4．在确定的情况下，抛物线的形状（即开口大小）也就随之确定！
5．三次函数的解析式：【其图象的各种情形你知道吗？】
①若已知的三个根为，则可设．
②若已知的两个根为，则可设．
③若已知的一个根为，则可设．
6．三次函数有极值的充要条件是：有两个不等实根．
【由的图象可知．】
(
无参函数先定性，定性之后再前行！
定性：是指先确定函数定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，图象等性质
；
然后再结合性质去解题
.
)
(
函数符号的使用：
，
，但对于后者习惯用
．
在使用函数符号时，“
”，根据需要可改用“
”．【
即
，
即
，因为
．
】
如：判断函数单调性和奇偶性及周期性等，就应该使用函数符号
．
)
不等式的解集
设，，则
1．； 小于取中间
2．． 大于取两边
【“小鱼吃中间，大鱼吃两边”，即“小于取中间，大于取两边”；数轴穿根法：奇穿偶切．】
3．； 小于取中间
4．． 大于取两边
5．； 小于取中间
6．；大于取两边
练习 求函数解析式
1．（1）已知函数
①______； ②若，求的值； ③解不等式．
（2）设，则_______．
（3）已知函数满足，且，则______．
2．（1）已知，，求，，，，．
（2）已知，求的解析式．
（3）已知，求的解析式．
3．（1）已知，求的解析式．
（2）已知，求的解析式．
（3）已知，求的解析式．
4．（1）已知函数满足，求．
（2）已知函数满足，求．
（3）已知为偶函数，为奇函数，且，求的解析式．
5．①已知函数是一次函数，且满足，求的解析式．
②已知函数是一次函数，且为增函数，又满足，求的解析式．
③已知是二次函数，且满足，，求的解析式；
④已知，为一次函数，且为增函数，又，求．
⑤已知二次函数图象的对称轴为，且在轴上截得的线段长为，又，求的解析式．
6．已知点在函数的图象上，则点中，在函数的图象上的点的个数为_____.
7．已知，求与的表达式．
8．设，若，，且，则_____．
9．已知定义在上的单调函数，对任意，都有，求的解析式．
10．如图，某人晚上在路灯下散步。已知该人的身高为(m)，灯柱的高(m)，若该人在点朝着影子的方向以(m/s)匀速行走，他影子的顶端在地面上移动的速度为(m/s)，求的表达式。
答案
1．（1）①；
②解：∵，∴，或，或，
∴，或.
③解：∵，∴，或，或，
∴，或，或，
∴，
所以不等式的解集为.
（2）.
（3）．解析：.
2．（1）解：，，，
，
，
．
（2）解：．【】
（3）解：．【】
3．（1）解：令，则，∴，故．
（2）解：令，则，∴，故.
另解：由已知得，，故．
（3）解：令，则，，
∴，故.
另解：由已知得，，
故．
4．（1）解：∵，①， （2）解：∵，①
∴，②， ∴，②
由①②得，． ①②得，．
（3）解：∵，①，
∴，
由于为偶函数，为奇函数，
∴，②，
由①②可得，．
5．①解：设，因为，
所以，即，
所以，解之得，故．
②解：设，因为，
∴，即，
∴，又，
∴，，故．
③解：设，因为，所以，
又因为，所以，
即，所以，∴，
故.
④解：设，因为，且，
所以，即，
即，解得，，故．
⑤解：因为二次函数图象的对称轴为，且在轴上截得的线段长为，
所以的两个零点为，
所以可设，又，
∴，，故．
6．1.【提示：点.】
7．；
．
8．5【根据迭代和恒等，可求出.】
9．；【依题意（常数），且，
所以，即（观察所得）．】；
10．解：设该人由到经过的时间为，则由可得，即.
学而不思则罔，思而不学则殆。
专题4 值域，最值(B1)
1．观察法：主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值．
2．配方法（对称轴法）：对于型如的形式的二次函数，利用配方法或直接利用对称轴完成．可以结合图象完成求值域或最值．【配方其实也是为了找出对称轴！】
3．换元法：代数换元法，三角换元法．运用换元法解题时要注意确定新元的取值范围和整体置换的策略．
使用换元法时，一般来说，需求两次值域，一次在换元时求新元的取值范围，一次在换元后求新函数值域．
①，令．（注意：该函数有时可直接快速判定单调性！）
②，令，则； ③，令，则；
④，令，则； ⑤，令，则；
⑥令，则； ⑦令，则．
⑧，令（或令）．
⑨时，令； ⑩令，则．
4．图象法（数形结合法）： (直观实用！)■
①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成．
②求或的值域，可先分别作出其中所含函数：的图象，再利用它们的交点分段确定的图象，从而确定值域或最值．
③根据函数表达式的几何意义【分式斜率？平方和（的算术根）距离？等】，作出图象，求出值域或最值．
5．单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值． (优先考虑！)■
6．有界性法：含的函数，若可用表示它们，则常利用其有界性来求值域或最值．
7．基本（均值）不等式法：利用或(一正二定三相等)等公式来求值域或最值，一定要看等号能否成立，否则用数形结合法、单调性法完成，如． 【还要注意柯西不等式的应用．】
8．判别式法：用于．（，分子、分母无公因式，且无人为限制．）
先化成，再运用求值域（但要注意讨论二次项系数为的情况）．
附：若含参数的函数的值域为，求所含参数的值．
方法①：利用判别式法；方法②：利用恒成立且等号也可成立．
9．导数法：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值． (万能方法！)■
⒑ 分类讨论法：对于含参数的函数求值域或最值，最常用的方法是数形结合、分类讨论．通常先作出函数的一般图象（形状），再由函数图象左右移动悟出讨论标准！二次函数的最值问题
（对称轴含参数问题、区间含参数问题）是最典型的．注意是否需要讨论开口方向，
①对称轴与的三种位置关系；
②对称轴与的两种位置关系；
同理：对于函数的最值问题（对称轴含参数问题），可参照上述思路解决．
(
1．值域必须是用集合或区间的形式表示！
2．集合
的含义：即函数
的值域．
)
学而时习之，不亦说乎！
补充
1．求函数值域问题，从方程角度讲，就是关于的方程在定义域内有解，从而求参数的取值范围问题！
求函数值域问题，从图象角度讲，就是函数图象上每一点的纵坐标组成的集合！
2．求函数值域与求最值方法是相同（通）的，既可求出值域而确定最值，也可求出最值而确定值域．
3．可学会使用的符号：①，；
②，．
【含参数时可根据的符号分类确定。】
4．下面几种分式函数求值域要熟练：
①（令倒数换元法）， ②(令)，
③或(令)． 【若把分式看作斜率，则可用数形结合法．】
先化简(换元、化繁分式、分子常数化)，再用均值不等式或单调性法或导数法．（注意双勾函数的性质的运用．）
5．求最值的方法：
①导数法；②时单调性法；③向量法、柯西不等式、三角换元法；④时，平方法．
6．求高次分式函数的最值，也可考虑先分子降次、分子常数化．
7．若，则在集合中无解！ 例：，求的取值范围．
8．：变分段函数、数形结合求值域． 例：恒成立，求的取值范围．
9．已知，其中常数，求的最大值．【先作图，再由图悟出讨论标准！】
⒑ 已知含参数的二次函数的最值为，求参数的值．
思路：可以令分别等于，解出参数的值，然后进行检验．
【答案：7．；8．；9．当时，；当时，．】
(
1
.数形结合的思想
数学思想
4
.分类与整合的思想
2
.函数与方程的思想
3
.转化与化归的思想
7
.或然与必然的思想
5
.特殊与一般的思想
6
.有限与无限的思想
数学方法
反证法
解析法
割补法
导数法
归纳法
配方法
换元法
分析法
比较法
综合法
分子常数化
分离常数法
数学归纳法
待定系数法
数学语言
普通语言
符号语言
图形语言
)
练习 函数值域
1．求下列函数的值域：
（1）； （2），；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
2．求下列函数的最值：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
（7）
3．（1）求函数在上的最小值．
（2）求函数在上的最大值．
4．（1）已知的值域为，求函数的值域．
（2）求函数的值域．
5．已知函数的最小值为，则的取值范围是________．
答案：
函数值域
1．（1）；直接法 （2）；数形结合法 （3）；分子常数化
（4）；直接法
（5）解：(换元法)令，则，且，
则，
当时，，故函数值域为.
（6）；单调性法 （7）；直接法 （8）；直接法
2．（1）；单调性法 （2）；数形结合法 （3）；单调性法
（4）；单调性法 （5）；不等式法 （6）；分段处理
（7）；单调性法
3．略；提示：分类讨论法.
4．（1）．换元法.（2）．换元法.
5．．数形结合法.
不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。
专题5 函数图象及其变换(B1)
1．轴对称(自对称)：，.可参考专题“曲线的对称性”中的轴对称．
①图象关于直线对称；
②图象关于直线对称．
恒等式特征：函数值相等，左右两边的的系数相反，可联想偶函数．
2．中心对称(自对称)：，.可参考专题“曲线的对称性”中的中心对称．
①函数图象关于点成中心对称；
②函数图象关于点成中心对称；
③函数图象关于点成中心对称．
恒等式特征：函数值的和为常数，所含的两个系数相反，可联想奇函数．
3．两个函数图象间的变换及函数关系：【会根据变换写解析式】
平移变换：①； ②；
翻折变换：③； ④(偶函数)；
伸缩变换：⑤； ⑥．
4．(对称变换)两个函数图象间的对称性及函数关系：【会根据对称性写解析式】
①关于直线(即轴)对称； ④关于直线对称；
②关于直线(即轴)对称； ⑤关于直线对称．
③关于原点对称； ⑥关于点对称；
5．熟记一些基本函数图象，便于以此为基础进行图形变换，作出相关的函数图象，从而进一步解决有关问题．
①（偶函数）； ②(偶函数)； ③(偶函数)； ④(奇函数)．
6．含绝对值符号的函数的图象，如果不能由图形变换得到，则采用零根分段去绝对值法变分段函数作图！
7．①若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；
②若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象．
8．求与已知曲线相关联的曲线方程问题，实质上是利用代入法转化为求点的轨迹问题；
9．证明一个函数图像的自身对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（或对称轴）的对称点仍在图像上．
①证明关于点成中心对称的一种简便方法：先证明是奇函数，即关于原点对称，再利用平移变换就可说明关于点成中心对称．
②证明关于直线成轴对称的一种简便方法：先证明是偶函数，即关于轴对称，再利用平移变换就可说明关于直线成轴对称．
⒑ 证明图像与的对称性，需证两方面：
①证明上任意点关于对称中心（或对称轴）的对称点仍在上；
②证明上任意点关于对称中心（或对称轴）的对称点仍在上．（表述上用“同理可证”即可．）
数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合千般好，隔裂分家万事休。——华罗庚
数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合千般好，隔裂分家万事休．——华罗庚
快速作出常用函数的图象（利用好函数性质，并抓住关键点、关键线．）
【会读图】读出定义域，值域，最值，极值，零点，解集，单调性，奇偶性（对称性），周期性，有界性，渐近线．
【会作图】熟练掌握一些基本函数图象．作图时，抓住关键点（端点、最值点、极值点、零点、与轴的交点、对称中心等），关键线（对称轴、渐近线），利用好函数性质（奇偶性、单调性、周期性等）．
1．反比例型函数：的图像是双曲线，其对称中心为点，
其图象可由变换得到．【可根据对称中心，先画出两条渐近线，再根据的符号画出双曲线！】
事实上，；该函数定义域为，值域为．
2．(俗称双勾函数)，见上第四图；【更一般形式的双勾函数：】
可根据奇偶性和基本不等式，（），或导数法确定极值点．
(
⑴
) (
⑴
)【注意区别于的图象，见上第三图．】
3．⑴的图象：顶点坐标为，
当时，正∨字形；当时，倒∨(即∧)字形；
⑵①；②；
(
……
)⑶的图象．用零根分段去绝对值法变分段函数，显然每段均为一次函数或常数．因此，图象特征为：由两条射线和一条或几条线段组成，线段都在中间且依次相连，两条射线在两端，线段的各个端点横坐标就是各绝对值的零点．画图时可以先在轴上标出，再确定线段的各个端点，两端射线的起伏可以通过取点而确定．
(
①
) (
②
) (
②
)
4．如何作出或的图象？（）
在同一坐标系中先分别作出函数图象，再利用它们的交点分段确定的图象．
5．某些函数的图象可以通过对解析式变形，变形为曲线方程来判断．
如：，其图象为半圆．
6．研究函数综合问题：如果能确定函数单调性，奇偶性，周期性，渐近线，再结合零点，极值、最值、端点值，那么画出的函数图象是比较准确的了，这样就更便于我们寻找解题思路，从而解决问题．切记，切记！
7．的图象：若，使得，则为图象的渐近线．
你能作出，等函数的图象吗？
8．含有的含参函数变分段函数后，最易忽略图象在处是否连续(当定义域包含时).
事实上，对所有分段函数在分段点处是否连续都要注意(当然首先要注意定义域是否包含)！
练习 函数图象
1．作出下列函数的图象，并指出单调区间及单调性：【单调区间不能用“”连结，只能用逗号隔开！】
（1）； （2），；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）．
2．已知是上的偶函数，且满足，又在上是减函数，试确定在，
及上的单调性。
3．求函数的单调区间．并求函数在上的最大值和最小值．
4．将函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数_____________的图象．
5．已知函数，若，则___________．
6．作出下列函数图象：
⑴， ⑵， ⑶， ⑷，
⑸， ⑹， ⑺， ⑻，
⑼， ⑽， ⑾， ⑿，
⒀， ⒁， ⒂， ⒃．
答案：
1．图象略；提示：（1）其图为散点，无单调性；（3）该函数为偶函数；（5）利用的图象进行平移变换；
（6）先对解析式分子常数化； （7）折线图，先确定点(1，2)和(3，2)； （8）双勾函数；
2．略．提示：作出函数的图象！注意函数的图象既关于轴对称，又关于直线对称!
3．略．提示：函数是偶函数，其图象关于轴对称；因此先作出时，的图象．
4．．
5．0．提示：，则．
6．图象略；提示：
⑴变分段函数； ⑵变分段函数； ⑶利用点快速作图； ⑷分子常数化；
⑸图象变换或变分段函数； ⑹图象变换或变分段函数； ⑺ ⑻双勾函数；
⑼~⑿图象变换 ⒀变分段函数 ⒁变分段函数
⒂导数法确定单调性(是极值点，观察所得) ⒃五点作图法
由形到数易，由数到形难；难点一突破，思路如涌泉．
专题6 单调性(B1)
1．定义：对于定义域内某个区间上的任意两个自变量．
①当时，都有，则称在区间上是增函数；
②当时，都有，则称在区间上是减函数．
【说明】单调函数的图象不一定是连续的曲线，如：某些分段函数可以在定义域上为单调函数．
2．写出函数的单调区间时，正确的表示方法是：（在单调性相同的）多个单调区间之间用逗号隔开的方式来书写．
绝对不能出现并集符号“”．确定函数的单调性必须指明单调区间（可充分利用图象）．
3．用单调性定义证题的步骤：①取值，②作差变形（变形务必彻底，最后形式一般为各个因式之积商），③定号．
⑴，⑵，⑶，⑷．
【另外】当时可通过：①取值，②作商变形，③定号，来证明单调性．
4．设，且，【必要时要规定，以便于等价转化】，那么
(
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
)①在是增函数恒成立（等号不能漏掉！）
(
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
)②在是减函数恒成立（等号不能漏掉！）
5．函数的单调性判定方法有：
①定义法【用于具体函数，或满足一个恒等式的抽象函数，或由一个函数的单调性推出另一个函数的单调性】
②推理法【判断具有奇偶性的函数在对称区间上的单调性．常要用到单调性定义和不等式性质．】
③快速判断法【结构要整理好：分式型函数采取分子常数化，或化繁分式，或分子、分母有理化等手段整理．】
④图象法【直观实用！】 ⑤复合函数法【同增异减！或大同小异！】 ⑥导数法【制胜法宝！】
6．快速判定函数单调性：设具有单调性（常数），则
①，与有相同的单调性；【但要注意为偶数时）的单调区间的变化．】
②，与有相反的单调性；【但要注意（当存在使得时）的单调区间的变化．】
③若都是区间上的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数．
④设都是区间上的函数值恒正的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数．
7．函数单调性性质的应用：
①若为增函数，则； ②若为减函数，则．
常结合奇偶性解抽象函数不等式，化得具体的不等式（组），具体应用时还应要求在定义域内！
【转化时，先要转化（写）完整，然后再解不等式组；又如求函数定义域的题，也应如此！】
8．讨论二次函数的单调性（或值域），总是与对称轴有不解之缘，要时刻考虑对称轴的位置．
9．①奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；②偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．
⒑ 练就火眼金睛：给出函数解析式，我们有时需要直接“看出”函数的定义域、单调性、奇偶性，因为它们对于解决函数问题起着非常重要的作用．
锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。
补充
(
增
增
减
减
增
减
增
减
增
减
减
增
)1．由得到，则就称为的复合函数．
2．复合函数的单调性（如右表）：“同增异减”．
（还可用单调性定义研究的单调性．）
（还可用导数法直接研究的单调性！）
2.1当外层函数的单调性单一时，应重点研究内层函数的单调性，最后针对内层函数的单调区间复合．【设的定义域为区间，值域为区间，若在区间上为减函数，在区间上为减函数，则在区间为增函数．可以用单调性定义证明这个结论！其它三种情形同理．】
2.2当外层函数的单调性多样时，应先研究外层函数的单调性，然后由的每一个单调范围解出对应的的范围并确定在此范围下的单调性，最后复合．如：．
【非三角函数还可以考虑用导数法！】
2.3能根据，这三个函数中任意两个函数的单调性，确定第三个函数的单调性．
(
在2.4与2.5中，
对于
，
都应该在
条件下研究．
)2.4“同增异减”：①对于，令，则； ②对于，令，则，
这样就变成复合函数来研究单调性问题．
2.5“大同小异”：对于，或，
①大同：当时，的增减性与的增减性相同，
②小异：当时，的增减性与的增减性相异．
3．或或或等恒成立，求参数取值范围．其中或或或或或等简单而又容易确定单调性的函数．
【方法】关键在于：不妨令．然后再通过（单调性）去绝对值、去分母，移项等手段，将题设中的不等式转化为：，或等类似的形式，从而确定：为单调递增函数！或为单调递减函数！然后用导数法、分离参数法等方法彻底完成．如：
①在是增函数在恒成立．
②在是减函数在恒成立．
③． 【要熟练掌握它们的转化过程！等号都不能漏掉！】
函数问题主要表现为以下方面
⑴求定义域，⑵求解析式，⑶求值、值域或最值，⑷作图或利用图象（含变换）、给图选式、给式选图，⑸确定单调性，⑹判断奇偶性，⑺比较大小，⑻解方程，⑼解不等式，⑽分段函数、复合函数、抽象函数问题，⑾求定点、定值，⑿含参数分类讨论问题，⒀恒成立、有解、无解求参数取值范围问题，⒁零点问题，⒂函数的应用，⒃函数综合题．
练习 函数单调性
1．若函数在为减函数，则的取值范围是________；
2．若函数的单调递增区间为，则的值为________；
3．若函数在上为增函数，则的取值范围是________；
4．若函数在上为增函数，则的取值范围是________；
5．已知函数在上具有单调性，求实数的取值范围．
6．证明：在区间上单调递增．
7．若函数在上为增函数，则实数的取值范围是_____．
8．（1）若的定义域与值域均为，则______．
（2）设，函数，已知当时，的值域为，求的值。
9．已知函数，
（1）若，则实数的取值范围是_________．
（2）若，则实数的取值范围是_________．
⒑ 已知，对任意，都有成立，则实数的取值范围为____．
⒒ 函数的递增区间为____________________；递减区间为___________________．
⒓ 已知是奇函数，且．若，则________．
⒔ 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）证明：在上是增函数；
（3）解不等式：．
⒕ ⑴函数的值域为_______；
⑵函数的最小值为_______；
⑶函数的值域为__________；
答案： 函数单调性
1．. 提示：； 2．. 提示：；
3．. 提示：； 4．．提示：；
5．. 提示：； 6．略.
7．．提示：．
8．（1）提示：∵，∴值域，则在上递增，∴．
（2）解：∵，
∴，又，∴，∴在上为减函数，
∴，∴为，即，又即的两根，
而，
∴，或，又，
所以.
9．（1）；（2）.
提示：先要考察出是上的增函数（利用图象），奇函数（利用图象或定义）！
⒑ . 提示：∵是上的增函数，∴.
⒒ ；. 提示：去绝对值符号，分段考察.
⒓ . 提示：∵为奇函数，
∴，即，
∴，
∴.
⒔ 解：（1）∵是定义在上的奇函数，∴，∴，
又，所以，得，故.
（2）设，
则
,
∵，
∴，即，
所以在定义上为增函数。
（3）∵是定义在上的奇函数，且为增函数，
∴.
读书百遍，其义自见。
14.提示：利用单调性。
专题7 奇偶性、对称性(B1)
1．奇偶性定义：先注意定义域是否关于原点对称，再比较与的关系．
【奇函数、偶函数定义域一定关于原点对称．】
⑴为偶函数的图象关于轴对称 【】；
⑵为奇函数的图象关于原点对称 【】．
(
常用于对数型函数的奇偶性的判断或证明．
)【注意】①奇函数的定义域若包括，则有．
②为偶函数，常用于解（抽象函数型）不等式或方程．
③判断函数奇偶性有时还需先在定义域内对函数解析式化简或作适当变形．
④分段函数可以分步判断，或整体代入后判断，（也可以考虑合二为一后判断．）
⑤若没有奇偶性，则可通过取反例证明，如：．
(
这两条一定要掌握！
)2．①偶函数利用，，
求具有奇偶性的分段函数在对称区间上的解析式．
②偶函数利用，，结合单调性解与抽象函数有关的不等式或方程．
或对偶函数型不等式，结合函数图象，得出的大小关系．（数轴上的几何意义）
3．含参数的函数具有奇偶性，一般要先利用奇偶性求出参数！
①用定义，或去转化求解（利用恒成立或比较系数完成）；
②对定义，或中的取具体值而得方程（组），然后解方程（组）．
说明：方法②用于解答题中，则需将所求得的值代入函数，验证函数确实为奇函数或偶函数．
4．两段式的分段函数若具有奇偶性，则其构造模式为（注意：必要时可合二为一！）：
奇函数：【】； ．
偶函数： 【】． ．
【两段式的分段函数，只有当上下两段只有“”的符号差异时，则才可能具有奇偶性！】
5．①为奇函数的图象关于点成中心对称；
②为偶函数．
可借助令后根据奇偶性转化或根据图象变换，来理解这两个结论！
【①的证明：∵是奇函数，∴，即，
又即，∴的图象关于点成中心对称．
②的证明：∵是偶函数，∴，即，
又即，∴的图象关于．】
6．复合函数的奇偶性可用定义去研究．
7．参见专题“抽象函数及定点问题”．
【设为奇函数，，则，命题人喜欢用这一类特点出题．】
8．设的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数．
黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。
对称性
1．轴对称（自对称）：将关于轴对称的偶函数图象向左或向右平移个单位后，其图象关于直线对称．
①图象关于直线对称；
②图象关于直线对称．
恒等式特征：函数值相等，左右两边的的系数相反，可联想偶函数．
2．中心对称（自对称）：将关于原点对称的奇函数图象向左或向右平移个单位后，其图象关于点对称．
①函数图象关于点成中心对称；
②函数图象关于点成中心对称；
③函数图象关于点成中心对称．
恒等式特征：函数值的和为常数，所含的两个系数相反，可联想奇函数．
3．若图象关于直线或点对称，且有个零点，则．
若的图象都关于直线对称，且它们有个交点，则交点的横坐标之和为．
若的图象都关于点对称，且它们有个交点，则交点的横坐标之和为，纵坐标之和为．
【上面这些结论的推导，都需要运用中点坐标公式．】
4．可以利用与，探索的对称轴或对称中心．
性质：若函数是偶函数，则是奇函数；若函数是奇函数，则是偶函数．
5．奇函数、偶函数定义域关于原点对称．一般地，函数关于点成中心对称或关于直线成轴对称，则定义域关于直线对称或点对称．
数学思想方法
1．函数与方程的思想：
（1）函数思想：用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题．
（函数的单调性、奇偶性、零点等能否确定 ）
（2）方程思想：转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如含参数的方程的讨论、曲线与方程的相互转化．
2．数形结合的思想：是一种非常实用的思想方法．
（求单调区间、值域、解集、零点、判断奇偶性等都可充分利用图象．）
（1）由形到数易，由数到形难；难点一突破，思路如涌泉．
（2）数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合千般好，隔裂分家万事休．
3．分类讨论的思想（分类与整合的思想）：整合（即总结）时需要注意下列情形
（1）对参数分情况，解关于的不等式：最后结果不能并，只能对参数分情况，将的解集对应列出；
（2）对变量分情况，解关于的不等式：最后结果必须并，如解与分段函数有关的不等式．
（3）关于的不等式恒成立，求参数的取值范围：
若需对分情况，才能对应求出参数的取值范围，则最后结果要取交集．
4．化归与转化的思想：几乎无处不在．复杂问题简单化，较难问题容易化，陌生问题熟悉化．
思路未定，化简先行；已知推导，未知转化；前后联系，问题突破．
业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。
练习 函数奇偶性
1．判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）．
2．（1）已知定义在上的函数，满足，且，判断的奇偶性．
（2）已知，在上具有奇偶性，试讨论，，的奇偶性．
3．①已知函数是定义在上的奇函数，当时，．求出函数的解析式并画出其图象．
②已知函数是定义在上的偶函数，当时，．求出函数的解析式并画出其图象．
4．（1）若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得成立的的取值范围是______________．
（2）若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，若，则，的大小为_____．
（3）已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则( )
A． B． C． D．
（4）定义在上的奇函数在上是减函数，且函数的图象过点，则不等式
的解集为_______．
5．①已知函数在是增函数，若，求实数的取值范围．
②已知奇函数在上单调递减，且，求实数的取值范围．
③定义在的偶函数满足：当时，为增函数．若，求实数的取值范围．
6．已知偶函数在为增函数，若对都成立，求实数的取值范围．
函数奇偶性
1．（1）奇函数； （2）偶函数； （2）非奇非偶函数； （4）非奇非偶函数；
（5）解：∵，∴是偶函数；
（6）解：∵，∴是奇函数；
（7）解：的定义域为，且，
∵，∴是奇函数；
（8）解：的定义域为，且，
∵，∴是偶函数；
2．（1）解：∵，∴是奇函数．
（2）略. 提示：令，，，再分类讨论．
3．①解：∵是定义在上的奇函数，且当时，，
∴时，，
故．图象略.
②解：∵是定义在上的偶函数，且当时，，
∴时，，故．图象略.
4．（1）．提示：作出函数的图象. （2）．提示：，．
（3）D．提示：函数的图象关于直线对称． （4）．提示：作出函数的图象.
5．①解：∵函数在是增函数，
∴.
所以实数的取值范围为．
②解：∵奇函数在上单调递减，
∴.
.
故实数的取值范围为．
③解：∵定义在的偶函数满足：当时，为增函数．
∴.
故实数的取值范围为．
6．．
专题8 周期性(B4)
1．若函数对定义域内的任意满足：，则为函数的周期．【最小正周期】
掌握：利用求函数值和某个指定区间上的函数解析式，或用于数形结合．
2．如果函数的周期为，则函数的周期为．
若为周期函数，则复合函数也是周期函数，如，，等．
3．给出周期为的函数在一个周期（）上的解析式，求的解析式：
当，即时，
4．你能熟练地推出下列函数的周期吗？【变量替换，等量代换！】还要注意这些式子本身的应用．
①，则的周期； ②，则的周期；
，则的周期； ，则的周期；
，则的周期；(为常数) ，则的周期；
③若关于点对称，则是周期函数，且；
④若图象有两条对称轴，则是周期函数，且；
⑤若关于点对称，且关于对称，则是周期函数，且；
【若一个函数具有“⑴对称性Ⅰ：中心对称或轴对称；⑵对称性Ⅱ：中心对称或轴对称；⑶周期性”中的任意两个条件，则第三个也必然成立．即在⑴⑵⑶中可以“知二求一”．在客观题中对于③④⑤要学会运用图象迅速观察出周期．】
⑥，则的周期；【先推出，则．】
，则的周期；【先推出，则．】
⑦，则的周期；【先推出，则．】
⑧，则的周期；【先推出，则．】
⑨，则的周期；【先推出．】
⑩有时可由两个函数型不等式联立推出周期．如：由，得．
【∵，∴，从而．】
说明：⑴以上各条可以作为抽象函数的关系式，进行变换训练！
⑵以上关系式，若是分段函数中的一段，则要注意该关系式及推出的关系式的适用范围！
5．当，时，若，则由①⑩可推出数列的周期．
6．函数的图象如何作？先作出时，的图象，再取上的图象，将它向右每次平移个单位，即得到，，，…，各个区间上的图象．
7．给出含参数且周期为的分段函数在一个周期（）上的解析式，求参数的值．
注意的运用，这是容易忽视的一个细节．
补充
(
注意每个“周期”上
的图象特点．
)1．①若为非零常数)，则称为“周期性”阶梯函数．
迭代：．
②若为非零常数)，则称为“周期性”倍增函数．
迭代：．
③若为非零常数)，则称为“周期性”倍增阶梯函数．
迭代：．
2．若，则称为“移动分段放大（或伸缩）”函数．
①利用或可求函数值或分段求解析式；
②利用或可分段画出下列区间上的图象：
…，
【相邻区间上的图象，本质上是伸缩变换：因此每个区间上的曲线类型不变！】
3．显然，周期函数的自变量至少可以取到，中的一个．
4．只含一个变量的恒等式的含义——周期性与对称性的识别：
的对称性：，等式两边的的系数互为相反数，联想奇偶性定义：；
的对称性：，等式两边的的系数互为相反数，联想奇偶性定义：；
的周期性：，等式两边的的系数相同，联想周期性定义：；
的周期性：，等式两边的的系数相同，联想周期性定义：．
(
下面这些“点”其实都是实数！
)
①区间端点：区间中的； ②区间中点：区间的中点；
③最值点：使得取得最值时的； ④零点：函数等于0的解；
⑤极值点：使得取得极值时的； ⑥驻点：一阶导数等于0的解；【临界点、稳定点】
⑦在点处的导数、切线． ⑧拐点：二阶导数等于0的解；它的两侧凹凸性相反（如图）．
相约在高校， 备考必用之！
练习 周期性
1．已知函数是定义在上周期为2的偶函数，当时，，若在内，
有4个零点，则实数的取值范围是_______．
2．定义在上的函数满足
则______，_______．
3．若函数满足：①对任意，恒成立；②当时，．
则（1）______；
（2）满足方程的解的最小值为_______．
4．设，若有且只有三个解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知以为周期的函数其中．若方程恰有5个不同实数解，则实数的取值范围为________．
6．已知函数是以2为周期的偶函数，且时，，则的值为_______．
7．已知函数是定义在上的奇函数，且，又在是增函数，则下列结论：
①若且，则；
②若且，则；
③若方程在内有四个不同的解，则或．
其中正确的命题的序号为______．
8．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，
则（1）________；（2）__________.
9．设是定义在上周期为2的函数，且，又，则______．
⒑ 设是定义在上的偶函数，对，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是_____．
⒒ 已知是定义在上的函数，，对，都有，，
若，则_________.
⒓ 设是定义在上的奇函数，对，都有，且当时，，
⑴证明：函数为周期函数；并证明函数的图象关于直线对称；
⑵当时，求的解析式；
⑶求使成立的所有.
⑷当，时，求的解析式。
【答案】
1．；
【在内，有4个零点有四个根有四个根与的图象有四个交点，再数形结合！】；
2．，0【∵，
则，则，
所以，．】；
3．（1）19，（2）46
【法一：利用图象分别求出解析式，而完成（1）、（2）；法二：的反复利用，
（1）；
（2）作出图象，可知，．】；
4．D【数形结合法．】；
5．；【作出图象，由两次判别式法得解！】；
6．；【．】；
7．①②③；【，的图象关于直线对称；作出函数图象，
对于：①注意；②注意；③观察直线（分）与的交点．】；
8．2.5;.【由可得，所以，
.】
9．.【由，，可得.】
⒑．【数形结合】
⒒10【由已知可得，，则进一步推得，从而易得.】
⒓解：⑴由，得.
所以是周期函数，且4是它的一个周期。
由于为奇函数，则，
所以，即函数的图象关于直线对称；
⑵当时，，由于为奇函数，
所以，
由此可见，；
当时，，由于，
所以，故。
⑶当时，满足解为，由于为周期函数，且周期为4，
故。
⑷当，时，.
专题9 指数与指数函数(B1)
1．若，则叫做的次方根．（）
（1）当为奇数时，；
（2）当为偶数时，；
2．根式的性质：①， ② （）
3．正数的正分数与负分数指数幂的意义：
①； ②．
4．正数的指数幂的运算性质：（，）
①， ②， ③；
④， ⑤， ⑥．
【说明】（1）当时，这些运算性质不一定适用．
（2）化简技巧：①；
②若，则．
（3）因式分解：①，
②．
（4）根据正数的指数幂的运算性质，上升到抽象函数：，等．
5．指数函数的图象和性质：见右图
【通过图象掌握性质：定义域，值域，定点，单调性．】
6．与指数函数有关的奇函数、偶函数，及其单调性：
奇函数：①，
【单调性：变形为可快速判断单调性】
②（同乘）；
【单调性：变形为可快速判断单调性】
偶函数：③，【还要掌握③的图象！】
④．
7．比较大小的方法：①利用单调性；②利用中间量0，1或构造的中间量（如指数幂等）．
8．注意，，，，，这些代数式之间的联系：平方法、换元法．
9．求值问题：对于含多个式子的求值，有些单个求出，有些组合算出，有些正负抵消，有些约分约掉．
练习 指数函数
1．①计算：．
②若，，其中，且，则_______．
③________．
④已知，求，，，，的值．
2．①若的定义域为，求的定义域．
②若的定义域为，求的定义域．
3．求下列函数的值域：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
4．①作出函数的图象，并指出其单调性．
②求函数的单调区间并指出单调性．
5．已知函数是上的奇函数，
（1）求的值；
（2）求的单调区间，并指出其单调性．
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
6．用表示三数中的较小者．设，求的最大值．
7．①若方程有两个不等实根，求实数的取值范围．
②若方程有正数解，求实数的取值范围．
③已知函数，且，求实数的取值范围．
8．已知函数．
（1）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（2）证明：．
9．已知，请你从定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性角度研究该函数性质。
答案： 指数函数
1．①．
②．提示：． ③129.
④解：∵，∴，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∴，
∴.
2．①解：∵，∴，∴的定义域为．
②解：∵，∴，∴的定义域为．
3．（1）；换元法 （2）；换元法 （3）；换元法 （4）；换元法
4．①解：图象略；函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
②解：函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
5．解：（1）∵是上的奇函数，∴，即，解之得.
（2）由（1）得，∴是上的减函数．
（3）∵是上的减函数，且为奇函数，
∴
.
.
故实数的取值范围为．
6．6. 提示：作出的图象，可知最高点为．
7．①.提示：分，与两种情形，作出与的图象．
②解：有正数解有正数解，
而时，，其中，
∴的值域为，从而实数的取值范围为．
③解：∵，∴是偶函数，
又时，为增函数，
∴，
故实数的取值范围为．
8．解：（1）函数的定义域为，且，
∵，∴为偶函数；
（2）证明：当时，，则；
当时，，由于是偶函数，所以；故.
天下事有难易乎？为之，则难者亦易矣；不为，则易者亦难矣。
专题10 对数与对数函数(B1)
1．如果，那么数叫做以为底的对数，记作．
2．． 【，，其中】
①； ②； ③； ④．
3．对数的运算性质()：
（1）；
（2）； 【】
（3）． 【．】
【注意】①，正确的是：．
②对常用对数式的化简，要充分利用．
③根据对数的运算性质，上升到抽象函数：
，，，．
4．换底公式：；(其中，)
推论：①； ②； ③．
5．对数函数的图象和性质：见右图．
【通过图象掌握性质：定义域，值域，定点，单调性】
6．与对数函数有关的奇函数、偶函数，及其单调性：
奇函数：①（分子有理化），
【单调性：先判断时的单调性，而后由奇函数性质得知上的单调性】
②（利用或利用展开）；
【单调性：变形为或利用展开可判断单调性】
偶函数：③，【还要掌握③的图象！注意区别于的图象】
④．
7．①互为反函数；
②互为反函数的两个函数的图象关于直线对称，反之亦然．
③点与关于直线对称．
8．设函数，记．
①若的定义域为，即恒成立，则或
②若的值域为，即取遍一切正实数，则或
(
等式的代数变形
1.
； 2.
；
3.
； 4.
；
5.
或
或
；
)
宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。
专题11 幂函数的图像与性质(B1)
1．定义：函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数．重点掌握：时图象与性质．
(
②
①
③
)2．图象与性质：右边①②③三个图像都只画出第一象限内的部分，
二三象限内的图像可根据定义域，奇偶性确定！
当时，在是增函数；
当时，在是减函数．
3．幂函数，（，且互质）可分别化为：，，再研究函数性质．
补充
1．函数，的单调性确定：（求它们的值域一般使用换元法！）
方法①：运用复合函数“同增异减”或“大同小异”法则判断．（方法①比方法②简单！）
方法②：用单调性定义判断，用比商法（化简后主要判断指数与0的大小），
用比差法（化简后主要判断真数与1的大小）．
2．设，是的根，是的根，求的值．
方法：在同一坐标平面中作出的图象，显然的图象关于直线对称，且函数的图象关于直线对称，则和的交点也关于直线对称；由解得交点坐标，则由对称性易知，所以．
3．设是（关于的）方程的两根， 【此时对不能用韦达定理】
则是关于的方程的两根． 【此时对才可用韦达定理】
①通过换元法理解上述结论：令，则方程的两根为，．
②在具体问题中，常为，或，或，或，或等．
4．由，，的图象掌握多项式函数的图象特征，并能求出相关不等式的解集．【数轴穿根法】
5．函数的迭代：，，其函数零点个数问题与递推数列关系密切．
①若的解为，则即的解由确定；
②若的解为，则即的解由确定．
有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。
其实就是相当于利用换元法解方程！
练习 对数函数
1．⑴已知，，其中，且，则的值为_____．
⑵若，则_____；
⑶____；
⑷已知，则的值为_________．
⑸设函数则________．
⑹____；
⑺________；
⑻___．
⑼________．
⑽_____．
⑾按从小到大排序为___________．
2．求下列函数的定义域：
（1）； （2）； （3）
3．作出下列函数的图象，并指出其单调性．
（1）， （2）， （3），
（4）， （5）， （6）．
4．①已知，若，则的大小关系为_________．
②已知，若当时，，证明：．
③已知，若时，，证明：．
5．①确定函数的单调性．
②已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
③已知函数在是减函数，求实数的取值范围．
④求函数的值域．
⑤求函数的值域．
6．证明函数是上的奇函数．
7．设函数，
（1）判断的奇偶性； （2）确定的单调性．
8．已知定义在上的函数满足（，且）．
（1）求的解析式； （2）判断的奇偶性；
（3）确定的单调性； （4）解不等式．
9．已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则不等式的解集为__________．
⒑ 已知是上的减函数，则实数的取值范围是_________．
⒒ ①若函数的定义域为，求实数的取值范围；
②若函数的值域为，求实数的取值范围．
③已知函数的定义域为，求实数的取值范围．
④已知函数的值域为，求实数的取值范围．
⒓ 已知函数的反函数的图象经过点，则______．
幂函数
1．将下列各数从小到大排列起来：
（1），，，，； （2），，，，，，．
2．求下列幂函数的定义域、并判断奇偶性及单调性：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
3. 已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是______．
答案： 对数函数
1．⑴；提示：，，则．
⑵；
⑶20；提示：.
⑷.【，舍】
⑸.【．】
⑹； ⑺1； ⑻1；
⑼；
⑽；
⑾．
2．（1）； （2）； （3）
3．略.【利用图象变换或变分段函数作图.】
4．①．
②证明：因为当时，，【结合的图象!】
所以，，
所以.
．
故.
③证明：不妨令，由于在上单调递减，在上单调递增，
则由可知，再由可得，
所以，从而易得.
5．①解：的定义域为，令，则，
由于是上的减函数，
而在上单调递增，在单调递减，
∴函数在上单调递减，在单调递增．
②解：令，则依题意知在上是减函数，且，
∴，∴，∴，
故实数的取值范围为．
③解：令，由于，则在上是减函数，
∴是增函数，且时，，
∴，∴，∴，
故实数的取值范围为．
④解：由于，所以的值域为．
⑤解：
，其中．
∴函数值域为.
6．证明：∵，
∴函数是上的奇函数．
另证：∵，即，
∴函数是上的奇函数．
7．证明：（1）的定义域为，
∵，
∴是奇函数；
（2）由于．
∴在定义域上为减函数.
8．（1）解：令，则， （2）∵，
∴， ∴为奇函数；
所以；
（3）解：，
当时，，是上的增函数；
当时，，是上的增函数
综上，是上的增函数.
（4）由（2）（3）易得
，
.
9．. 提示：利用数形结合得到，或，【】.
⒑ . 提示：.
⒒ ①解：依题意恒成立，所以，解得.
②解：依题意能取遍一切正数，所以，
解得，或.
③解：依题意恒成立，
所以，或，解得，或.
④解：依题意能取遍一切正数，
所以，或，解得.
⒓ 8. 提示：，则．
幂函数
1．（1）∵，，∴，
（2）.
2．（1），定义域为，偶函数，在上单调递减，在上单调递增；
（2），定义域为，奇函数，在上单调递增；
（3），定义域为，非奇非偶函数，在上单调递增；
（4），定义域为，偶函数，
在上单调递增，在上单调递减.
3. .
专题12 抽象函数及定点问题(B1)
1．解客观题中的抽象函数问题，一般先把抽象函数的性质反映到图象上去，再利用图象去解题．
有些具体函数问题的处理也类似抽象函数的处理方法（主要利用奇偶性、单调性、零点等性质）．
2．①给出和求，常先研究，此时能推出一个恒等式，利用它能快速求出．
【若为定值，则函数就具有中心对称的特点，显然是由某个奇函数常数而得到的．】
②给出和求，常先研究，此时能推出一个恒等式，利用它能快速求出．
③求一系列函数值的和，若每对函数值中的自变量之和为同一常数，则要考虑是否为定值．
【若是定值，则该函数就还具有中心对称的特点．项数若为不确定的时，求和则用倒序相加法较为简单．】
④求一系列函数值的和，若每对函数值中的自变量之积为同一常数，则要考虑是否为定值．
⑤求的最大值与最小值的和的值，或告知的最大（小）值，求的最小（大）值，应注意
是否为中心对称函数：若，则函数图象关于点成中心对称，
则． 【说明：对于①③⑤可结合函数图象，掌握中点坐标公式．】
3．求含参数的函数(或曲线方程)图象经过的定点，关键是找到(或)的值使得(或)的值为常数，即得定点．
①若过点，则过点； 【因为由已知可得．】
②若过点，则过点； 【利用图象平移或．】
③若，其中为参数，则过的定点为； 【利用．】
④若，其中，且，则过的定点； 【利用．】
⑤若，其中，且，则过的定点为． 【利用．】
4．给出抽象函数的运算性质，常从奇偶性（赋值法）、单调性（定义法）、求函数值（赋值法）、或数值转化成函数值等方面入手研究．【常用变换：，；具体函数模型．】
①，，一次函数模型，如．
②，， 指数函数模型，如．
③，， 对数函数模型，如，．
④，， 幂函数模型，如，．
⑤，， 正切函数模型，如．
⑥， 函数模型，如．
5．熟悉符号的含义：不超过的最大整数；如需讨论化简，分情形进行．
若令，则，故称为取整函数．
6．带绝对值符号的函数、方程、不等式问题，在没有更好方法的情况下，不妨考虑分段去绝对值符号，分段研究．
7．复合函数问题的研究：①换元法；②求出的表达式再求解．
8．涉及运动（应用）型函数图象的判断或某些函数图象的作图，一是会作定性分析，二是会作定量分析．
9．；
．
练习 定点和定值问题、抽象函数问题
1．（1）已知，且，则_____．
（2）已知，且，则_____．
（3）已知，若，则_____．
（4）已知，则_____．
（5）已知，求证：．
（6）已知，则①_____．
②____．
（7）若函数在区间上的最大值为2050，则其最小值为______．
2．①已知函数的图象经过点，则函数的图象必经过点________；
②已知函数的图象经过点，则函数的图象必经过点_______；
③函数（为参数）的图象必经过定点________；
④函数（，且）的图象必经过定点________；
⑤函数（，且）的图象必经过定点________；
⑥函数（，且）的图象必经过定点________．
3．已知定义在上的函数，且恒成立，又时，，
（1）求的值，并证明； （2）证明：是上的增函数；
（3）若，求不等式的解集．
4．定义在上的单调函数满足，且对任意都有．
（1）求证：为奇函数；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
5．已知函数对任意有，又当时，，
（1）求证：函数是上的增函数； （2）若，求不等式的解集．
（3）若，求不等式的解集．
6．已知函数满足：①定义在上；②对于任意，有；③当时，
．
（1）判断函数的奇偶性和单调性； （2）若，试解方程；
7．定义在上的函数满足：①对任意实数，；②．
（1）求证：对任意正数都成立；
（2）证明：在上单调递增；
（3）若，求的取值范围．
8．已知函数，集合，，
（1）求证：； （2）当时，用列举法表示集合．
9．已知在上是增函数，且恒成立．则
（1）______； （2）若的解集为，则_____．
Learn and live.活着，为了学习。
答案
1．（1）∵，且，∴

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