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第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据空间向量的线性运算法则，可得：
．
故选：D
2．已知，，，若三点共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】由题意得，，
因为三点共线，所以，
即，
解得，，，所以．
故选：B
3．在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
因为平面，是棱上任意一点，
所以在平面上的投影向量为.
故选：A.
4．如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
则
，
所以，故.
故选：D.
5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，，
设直线与直线的夹角为，则，
所以直线与直线夹角的正弦值.
故选：C
6．已知空间中，点，则平面的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，，得.
故选：B.
7．如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设正方体的棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，所以，令，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：.
8．已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法不正确的是（ ）
A．平面与平面夹角的正弦值为
B．若点满足，则的最小值为
C．在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积最大值为
D．点在平面内，且，则点轨迹的长度为
【答案】A
【解析】如图，对于A，∵正四棱锥的棱长为2，
∴正四棱锥的高为，
设点P为AB中点，根据正四棱锥的性质，得，，
则平面与平面的夹角为，则，故A错误；
对于B，∵，，
根据空间向量基本定理可得点P在平面MAD上，
∴当平面时，最小，此时根据等体积法可求出，
即可求得，
即的最小值为，故B正确；
对于C，设正方体的棱长为，则正方体的体积为，
正方体可以在正四棱锥内部任意转动，
所以正方体对角线的长度不超过该正四棱锥内切球的直径，
设内切球的半径为r，正四棱锥的体积为，
根据另一个体积公式，可得，
∴正方体对角线，，
∴正方体表面积，故C正确；
对于D，如图，以A为原点，，所在直线为，轴，
过点A向上作垂线为轴建立空间直角坐标系，则，，
设，∵，∴，即，
化简整理可得，
∴点的轨迹是在平面ABCD内以为圆心，半径为的圆在四边形ABCD内的部分（圆弧）如图，
由于，
则点Q的轨迹长度为，故D正确.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】因为，故A正确；
因为，故B错误；
因为，故C正确；
因为，故D错误.
故选：AC
10．若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合；
对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合；
对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确.
对于D项，设不能作为空间的一个基底，
则存在实数，使得，
由于是空间的一组基底，则满足，
故不存在使得，
故能作为空间的一个基底，D正确，
故选： CD
11．如图，在直四棱柱中，，，，M为与的交点.若为线段上一动点，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．的取值范围为
D．以为球心，以为半径的球与四边形的交线长为
【答案】ABD
【解析】对于A，在直四棱柱中，，，，所以，
又平面，平面，，
则，故A正确；
对于B，连接交于，连接，
分别为的中点，，且，
则四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
所以直线上的点到平面的距离相等，
即点到平面的距离为定值，
，的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C，连接，
根据题意平面，平面，则，
，，，
，，
所以点到的距离即，
，即，
由对称性知，
∴，
，故最大值应大于，故C错误；
对于D，设中点为，连接，
根据题意易得平面，即点到平面的距离为，
则球与四边形的交线以为圆心，半径的圆弧，
与分别交于点，
又，所以，同理，
故交线的圆心角为，半径为2，则长为，故D正确；
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则 等于
【答案】
【解析】，
，
所以.
故答案为：.
13．已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 .
【答案】
【解析】
.
故答案为：.
14．已知棱长为1的正方体，若点在正方体内部且满足，则点到的距离为 ．
【答案】
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，
则．
在上的投影向量的长度为，
点到的距离为
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面.
【解析】因为在上，且，
所以.
同理.
所以
，
又与不共线，则共面，
又平面，得平面.
16．（15分）在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．求证：.
【解析】如图，
由可得，
由于，故，
又，故，
可得：
故，故，
结合底面为矩形，故，
故两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.
，
，，
由，
又，
两式联立解得：，
所以
则，
故，
因此平面，
故平面， 平面，
故
17．（15分）如图，四棱锥中，，，平面⊥平面.
(1)若，证明：；
(2)若，，求长度的取值范围.
【解析】（1）设平面平面，
平面平面，平面，
又平面，平面平面，，
，，
又平面平面，平面平面平面，
平面.
又平面，
即.
（2）在中由余弦定理可得，则有,
即.
又
以点为原点，以，平面的垂线所在直线分别为轴，建立如图坐标系，则，
设，则,
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则.
同理可求平面的一个法向量为，
由于平面平面，则，故则.
又，，
，解得或.
若，则;
若，则.
综上所述，长度的取值范围.
18．（17分）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：取中点记为，连接EF，CF，
则，且；
，且；
所以平行且等于CD，
所以四边形为平行四边形，所以.
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）记中点为，连接，，
则四边形为正方形，
且根据勾股定理得，
所以，
则，所以.
又因为，，平面，所以平面.
因为平面，所以.
又因为，
所以，且，平面，
所以平面.
（3）由（2）知，平面，且.
以为坐标原点，以，BA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
设，，则，
则，，，
设平面与平面的法向量分别为和
则
令，得.
令，得.
设平面与平面的夹角为，，
则，解得.
因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为.
19．（17分）如图，在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，连接，，，将沿着折线翻折，使点到达点位置，连接，形成三棱锥.
(1)若，分别为边，上的中点，，求此时三棱锥外接球的表面积；
(2)若，是的中点.
（ⅰ）求的大小；
（ⅱ）若正方形边长为，当取最小值，取最大值时，求此时直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）由题意得，又，，平面，，
所以平面，则此时三棱锥如图所示，
由题意得，，，，都是直角三角形，所以，
将三棱锥补全为长方体，此时三棱锥的外接球球心为长方体对角线的中点，
即，
所以三棱锥外接球的表面积为.
（2）（ⅰ）设，，则，，
因为，所以，
在直角三角形中，得，整理得，，
因为，，
所以，
因为，所以，故.
（ⅱ）由（ⅰ）知，设，则，
所以，，
所以
，
因为，所以，
当时，有最大值，最大值为1，此时有最小值，
所以当取最小值时，，且，
由，得，，
所以，，.
如图1，取中点，连接，，则，，故，，，四点共线，
当取最大值时，即平面平面，由翻折关系知，
故直线，，两两垂直，且，，
如图2，以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
设直线与平面所成的角为，则.
∴直线与平面所成角的正弦值为.
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第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，，若三点共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
3．在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知空间中，点，则平面的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法不正确的是（ ）
A．平面与平面夹角的正弦值为
B．若点满足，则的最小值为
C．在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积最大值为
D．点在平面内，且，则点轨迹的长度为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在直四棱柱中，，，，M为与的交点.若为线段上一动点，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．的取值范围为
D．以为球心，以为半径的球与四边形的交线长为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则 等于
13．已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 .
14．已知棱长为1的正方体，若点在正方体内部且满足，则点到的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面.
16．（15分）在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．求证：.
17．（15分）如图，四棱锥中，，，平面⊥平面.
(1)若，证明：；
(2)若，，求长度的取值范围.
18．（17分）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
19．（17分）如图，在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，连接，，，将沿着折线翻折，使点到达点位置，连接，形成三棱锥.
(1)若，分别为边，上的中点，，求此时三棱锥外接球的表面积；
(2)若，是的中点.
（ⅰ）求的大小；
（ⅱ）若正方形边长为，当取最小值，取最大值时，求此时直线与平面所成角的正弦值.
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