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2026年初中数学学业水平考试模拟试卷
选择题：本大题共10小题,每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1．下列是巴黎奥运会四个运动项目的图标，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB于D点，以C为圆心，2.4cm为半径作⊙C，则D点与圆的位置关系是（　　）
A．点D在⊙C上 B．点D在⊙C外 C．点D在⊙C内 D．无法确定
3．下列事件中，为必然事件的是（　　）
A．明年农历“大雪”节气那天下雪
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．旭日东升
D．掷一枚刻有1到6点数的骰子，向上一面的点数是7
4．关于x的一元二次方程kx2+6x+3＝0有两个不相等的实数根，k的取值范围是（　　）
A．k＞3 B．k＜3且k≠0 C．k≥3 D．k≤3且k≠0
5．下列图形中的角是圆周角的是（　　）
A． B． C． D．
6．将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x﹣5）2+4 B．y＝2（x﹣1）2﹣4
C．y＝2（x+1）2 D．y＝2（x﹣1）2+4
7．反比例函数的图象在每一个象限内y随x值的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A． B．k＞1 C． D．k＜1
8．如图，在长为80cm、宽为60cm的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为6300cm2．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为x cm．则可列的一元二次方程是（　　）
A．（80﹣2x）（60﹣2x）＝6300
B．（80+2x）（60+2x）＝6300
C．（80﹣x）（60﹣x）＝6300
D．（80+2）（60+x）＝6300
9．下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．等边对等角
B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C．等腰三角形底边上的高线和中线互相重合
D．两个全等三角形的面积相等
10．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点G和点H分别沿着路线A→B→C和C→D同时运动，点G和点H的运动速度分别为2cm/s、1cm/s，当点G运动到点C时，两点同时停止运动，连接CG，HG，设△CGH的面积为s（cm2），运动时间为t（s），s和t之间的函数关系图象大致为（　　）
A． B． 题10图
C． D．
二．填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.
11．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，2）关于原点对称的点的坐标是 　 　．
12．已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积是 　 　．
13．若m、n是关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0是一元二次方程的两根，则m2﹣n﹣3的值为 　 　．
14．如图，反比例函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，4），S平行四边形＝4，则实数k的值为 　 　．
题10图
15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④；⑤b＞c．其中正确结论有 　 　（填写所有正确结论的序号）．
三．解答题（一）:本大题共3小题,每小题7分,共21分.
16．(1)解一元二次方程：x2﹣8x﹣9＝0．
(2)如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，AB＝AD， EB＝EC，AD、BE交于点F
（1）判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由；
（2）若CD＝2BD，AB＝6，AF的长．
17．为准备参加元旦文娱汇演活动，学校“原木”吉他社团需招收新成员．A、B、C、D四名同学报名参加了应聘活动，其中A、B同学来自八年级，C、D同学来自九年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行面试．
（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到A同学的概率为 　 　；
（2）若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表法求两名同学均来自九年级的概率．
18．请观察下列算式，找出规律并填空
，，，则：
（1）第9个算式是 　 　＝ 　 　；第n个算式为 　 　＝ 　 　；
（2）根据以上规律解答下题：的值．
四．解答题（二）:本大题共3小题,每小题9分,共27分.
19．△ABC中的三个顶点A（1，3）；B（3，1）；C（4，3）．
（1）将△ABC以y轴为对称轴作轴对称图形△A1B1C1，并写出B1的坐标是　 　；
（2）将△A1B1C1以（0，1）为中心逆时针旋转90°，画出△A2B2C2，并写出C2的坐标是　 　；
（3）将△ABC沿着边AC旋转所得旋转体的体积是　 　．
20．某商店销售一种商品，该商品的进价为40元/件，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，部分数据如表：
售价x（元/件） 55 65 80 85
周销售量y（件） 90 70 40 30
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当售价定为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）若要利润不低于1600元，则售价范围应该是多少？
21．综合与实践：
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过去某超市实地考察调研，发现超市购物车的结构蕴含着许多数学知识，并对购物车的支架等进行测量，如图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图．测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行．
请按要求完成下列任务：
(1)判断支架与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，作图提示：过点作交的延长线于，延长交于，请按作图提示添加辅助线，若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到1cm，，）
五．解答题（三）:本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分.
22．如图，在平行四边形ABCD中，过A、C、D三点的圆O交AB于点E，连接DE、CE，∠BCE＝∠CDE．
（1）求证：直线BC为圆O的切线；
（2）猜想AD与CE的数量关系，并说明理由；
（3）若BC＝2，∠BCE＝30°，求阴影部分面积．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），点B（3，0），交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，已知直线BC上方抛物线上有一点P，过点P作PE∥y轴与BC交于点E，过点P作PF∥x轴与y轴交于点F，求PE+PF的最大值和此时点P的坐标．
（3）将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线与y轴交于点C′，点B的对应点为B'，点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点A到y轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点M，使得∠MNB'＝∠C'B'N，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
题23图
2026年初中数学学业水平考试模拟试卷
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列是巴黎奥运会四个运动项目的图标，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB于D点，以C为圆心，2.4cm为半径作⊙C，则D点与圆的位置关系是（　　）
A．点D在⊙C上 B．点D在⊙C外 C．点D在⊙C内 D．无法确定
【答案】A
3．下列事件中，为必然事件的是（　　）
A．明年农历“大雪”节气那天下雪
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．旭日东升
D．掷一枚刻有1到6点数的骰子，向上一面的点数是7
【答案】C
4．关于x的一元二次方程kx2+6x+3＝0有两个不相等的实数根，k的取值范围是（　　）
A．k＞3 B．k＜3且k≠0 C．k≥3 D．k≤3且k≠0
【答案】B
5．下列图形中的角是圆周角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
6．将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x﹣5）2+4 B．y＝2（x﹣1）2﹣4
C．y＝2（x+1）2 D．y＝2（x﹣1）2+4
【答案】D
7．反比例函数的图象在每一个象限内y随x值的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A． B．k＞1 C． D．k＜1
【答案】B
8．如图，在长为80cm、宽为60cm的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为6300cm2．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为x cm．则可列的一元二次方程是（　　）
A．（80﹣2x）（60﹣2x）＝6300
B．（80+2x）（60+2x）＝6300
C．（80﹣x）（60﹣x）＝6300
D．（80+2）（60+x）＝6300
【答案】B
9．下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．等边对等角
B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C．等腰三角形底边上的高线和中线互相重合
D．两个全等三角形的面积相等
【答案】D
10．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点G和点H分别沿着路线A→B→C和C→D同时运动，点G和点H的运动速度分别为2cm/s、1cm/s，当点G运动到点C时，两点同时停止运动，连接CG，HG，设△CGH的面积为s（cm2），运动时间为t（s），s和t之间的函数关系图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
二．填空题（共5小题）
11．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，2）关于原点对称的点的坐标是 　（﹣1，﹣2）　．
【答案】（﹣1，﹣2）．
12．已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积是 　12π　．
【答案】12π．
13．若m、n是关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0是一元二次方程的两根，则m2﹣n﹣3的值为 　0　．
【答案】0．
14．如图，反比例函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，4），S平行四边形＝4，则实数k的值为 　﹣8　．
【答案】﹣8．
15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④；⑤b＞c．其中正确结论有 　①③⑤　（填写所有正确结论的序号）．
【答案】①③⑤．
三．解答题（共9小题）
16．（1）解一元二次方程：x2﹣8x﹣9＝0．
【答案】解：∵x2﹣8x﹣9＝0，
∴（x﹣9）（x+1）＝0，
则x﹣9＝0或x+1＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣1．
（2）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，AB＝AD，EB＝EC，AD、BE交于点F．
（1）判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由；
（2）若CD＝2BD，AB＝6，AF的长．
【答案】解：（1）△FDB∽△ABC，理由如下：
∵EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵AB＝AD，
∴∠ABC＝∠ADB，
∴△FDB∽△ABC；
（2）∵CD＝2BD，CD+BD＝BC，
∴BC＝3BD，
∴＝，
∵△FDB∽△ABC，
∴＝＝，
∴AB＝3FD，
∵AB＝6，
∴FD＝2，
∵AD＝AB＝6，
∴AF＝AD﹣FD＝4．
17．为准备参加元旦文娱汇演活动，学校“原木”吉他社团需招收新成员．A、B、C、D四名同学报名参加了应聘活动，其中A、B同学来自八年级，C、D同学来自九年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行面试．
（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到A同学的概率为 　　；
（2）若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表法求两名同学均来自九年级的概率．
【答案】解：（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到A同学的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
总共有12种可能结果，其中两名均来自九年级的结果有2种，
∴P（两名均来自九年级）＝＝．
18．请观察下列算式，找出规律并填空
，，，则：
（1）第9个算式是 　　＝ 　　；第n个算式为 　　＝ 　　；
（2）根据以上规律解答下题：的值．
【答案】解：（1）由题知，
因为，
，
，
，
…，
所以第n个等式可表示为：（n为正整数）．
当n＝9时，
第9个算式是：．
故答案为：，，，．
（2）由（1）知，
原式＝1
＝1﹣
＝．
19．△ABC中的三个顶点A（1，3）；B（3，1）；C（4，3）．
（1）将△ABC以y轴为对称轴作轴对称图形△A1B1C1，并写出B1的坐标是　（﹣3，1）　；
（2）将△A1B1C1以（0，1）为中心逆时针旋转90°，画出△A2B2C2，并写出C2的坐标是　（﹣2，﹣3）　；
（3）将△ABC沿着边AC旋转所得旋转体的体积是　4π　．
【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形，点B1的坐标为（﹣3，1）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求作的三角形，点C2的坐标为（﹣2，﹣3）；
（3）根据图形，点B到AC的距离为2，AC＝3，
△ABC沿着边AC旋转所得旋转体的体积＝π 22×3＝4π．
故答案为：（1）（﹣3，1）；（2）（﹣2，﹣3）；（3）4π．
20．某商店销售一种商品，该商品的进价为40元/件，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，部分数据如表：
售价x（元/件） 55 65 80 85
周销售量y（件） 90 70 40 30
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当售价定为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）若要利润不低于1600元，则售价范围应该是多少？
【答案】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将（80，40），（55，90）代入得：
，
解得：，
∴y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200；
（2）由题意知：每件的利润为（x﹣40）元，设每周可获得利润为w元，得：
w＝（﹣2x+200）（x﹣40）＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴w存在最大值，
∴当x＝70时，w的最大值为1800，
∴当每件售价为70元时，周销售利润w最大，最大利润为1800元；
（3）由（2）可知w＝﹣2（x﹣70）2+1800，
当x＜70时，w随x增大而增大，当x＞70时，w随x增大而减小，
当w＝1600时，w＝﹣2（x﹣70）2+1800＝1600，
解得：x1＝60，x2＝80，
则要使得利润不低于1600元，售价x范围应该是60≤x≤80．
21．综合与实践：
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过去某超市实地考察调研，发现超市购物车的结构蕴含着许多数学知识，并对购物车的支架等进行测量，如图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图．测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行．
请按要求完成下列任务：
(1)判断支架与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，作图提示：过点作交的延长线于，延长交于，请按作图提示添加辅助线，若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到1cm，，）
1．(1)，理由见解析
(2)购物车把手到的距离为．
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形的特征等；
（1）计算得出，由勾股定理逆定理可判定为直角三角形，即可求解；
（2）过作交的延长线于，延长交于，由直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，由三角形面积得，即可求解．
【答案】（1）解：，理由如下：
，，
，
为直角三角形，
，
；
（2）解：过作交的延长线于，延长交于，
，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
故购物车把手到的距离为．
22．如图，在平行四边形ABCD中，过A、C、D三点的圆O交AB于点E，连接DE、CE，∠BCE＝∠CDE．
（1）求证：直线BC为圆O的切线；
（2）猜想AD与CE的数量关系，并说明理由；
（3）若BC＝2，∠BCE＝30°，求阴影部分面积．
【答案】（1）证明：作直径CH，连接EH．
∵CH是直径，
∴∠CEH＝90°，
∴∠ECH+∠EHC＝90°，
∵∠BCE＝∠EDC，∠EDC＝∠EHC，
∴∠BCE+∠ECH＝90°，
∴∠BCH＝90°，
∴BC⊥CH，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：猜想：AD＝EC．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CD，
∴∠AED＝∠CDE，
∴＝，
∴AD＝EC．
（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝2，AB∥DC，
∴∠AED＝∠CDE，
∴∠BCE＝∠CDE＝∠AED＝30°，
∴∠AOD＝2∠AED＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝OD＝AD＝2，
∴S阴＝S扇形OAD﹣S△AOD
＝﹣×22
＝π﹣．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），点B（3，0），交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，已知直线BC上方抛物线上有一点P，过点P作PE∥y轴与BC交于点E，过点P作PF∥x轴与y轴交于点F，求PE+PF的最大值和此时点P的坐标．
（3）将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线与y轴交于点C′，点B的对应点为B'，点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点A到y轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点M，使得∠MNB'＝∠C'B'N，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【答案】解：（1）∵抛物线过点A（﹣2，0），点B（3，0），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣3），
把点C（0，3）代入可得，﹣6a＝3，
解得：a＝﹣
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x+2）（x﹣3）＝﹣x2+x+3；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x2+x+3），则点E（x，﹣x+3），
则PE＝﹣x2+x+3﹣（x，﹣x+3）＝﹣x2+x，
则PE+PF＝x+﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+≤，
即PE+PF的最大值为：，
此时x＝，则点P（，）；
（3）存在点M，点M的横坐标为xM＝3或xM＝6；理由如下：
∵抛物线y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣）2+，
∴将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣﹣1）2+＝﹣x2+x+2，
令x＝0，则y＝2，令y＝0，则0＝﹣x2+x+2，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴C′（0，2），B′（4，0），
∵点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点A（﹣2，0）到y轴的距离的一半，
∴xN＝OA＝1且0＜xN＜4，
把xN＝1代入＝﹣x2+x+2得：y＝3，
∴N（1，3），
∵B′（4，0），C′（0，2），
由点B′、C′的坐标得，直线B′C′的解析式为y＝﹣x+2，
第一种情况，过点N作NM1∥B′C′，交抛物线于点M1，则∠M1NB′＝∠C′B′N，如图2，
∴设直线M1N的解析式为y＝﹣x+f，把点N（1，3）代入得：﹣+f＝3，
解得：f＝，
∴直线M1N的解析式为：y＝﹣x+，
联立新抛物线与直线M1N为方程组得：﹣x2+x+2＝﹣x+，
解得：x＝1（舍去）或3，
∴M1（3，2）；
第二种情况，作∠B′NM2＝∠C′B′N，交抛物线于点M2，交直线B′C′于点H，如图3，
∴HN＝HB′，
设H（h，﹣h+2），且N（1，3），B′（4，0），
∴HN2＝（h﹣1）2+（﹣h+2﹣3）2，（HB′）2＝（h﹣4）2+（﹣h+2）2，
即（h﹣1）2+（﹣h+2﹣3）2＝（h﹣4）2+（﹣h+2）2，
解得，h＝2，
∴H（2，1），
由点H、N的坐标得，直线NH的解析式为y＝﹣2x+5，
联立抛物线与直线NH为方程组得：﹣2x+5＝﹣x2+x+2，
解得：x＝1（舍去）或6，
∴M2（6，﹣7）；
综上所述，存在点M，使得∠MNB′＝∠C′B′N，点M的坐标为（3，2）或（6，﹣7）．
题8图
题15图
题16图
题22图

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