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2025—2026 学年度下期期末
高 一 数 学
全卷共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡
上，并检查条形码粘贴是否正确。
2. 选择题使用 2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔
书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第 玉 卷 （选择题 共 58分）
一、单项选择题（共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1. 甲学校有 2000 名学生，乙学校有 2500 名学生，丙学校有 3000 名学生，为统计三校学生某
方面的情况，采用分层随机抽样法抽取一个容量为 75 的样本，应在甲，乙，丙三校分别抽取
学生（银）
A援 20 人，25 人，30 人 B援 30 人，25 人，20 人
C援 25 人，30 人，20 人 D援 20 人，30 人，25 人
2. 已知 i 为虚数单位，且复数 z 满足（1+i）z=2，则 z 的虚部为（银）
A援 1 B援 i C援 -1 D援 -i
3. 某简谐运动的函数解析式为 y=sin 蓸仔t-仔5 蔀，则这个简谐运动的频率和相位分别为（银）
A援 12 ，仔t-仔5 B援 2，仔t-仔5 C援 12 ，-仔5 D援 2，-仔5
4. 如图，一条河两岸平行，河的宽度 d=300m，一艘船从河岸边的 A 地才出发，向河对岸航行.
已知船的速度 v1 的大小为 v1 =250m/min，水流速度 v2 的大小为 v2 =200m/min，那么当航程
最短时，这艘船航行驶完全程需要的时间 t=（银）
A. 1.2min
B援 2min
C援 3min
D援 4min
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5援 已知复数 2+i 是关于 x 的方程 x2+px+q=0（p，q沂R）的一个根，则 p+q=（银）
A援 -2 B援 -1 C援 0 D援 1
6. 已知 a，b 为单位向量，向量 a在向量 b 方向上的投影向量为- 12 b ，则 a -b =（银）
A援 姨22 B援 姨2 C援 姨23 D援 姨3
7援 若函数（f x）=cos 蓸棕x+仔4 （蔀 棕跃0）在区间[仔4 ，仔2 ]上单调递增，则 棕 的取值范围为（银）
A援 [ 94 ,3] B援 [2，72 ] C援 [3，72 ] D援 [ 32 ，52 ]
8援 在正三棱柱 ABC-A 1B1C1 中，AB=AA 1=2, P是平面 ABC 上一动点，点 Q 是直线 B1C1 上一动点，
则 A 1P+PQ 的最小值为（银）
A援 3姨2 B援 姨19 C援 2姨5 D援 2姨6
二、多项选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求.全部选对得 6分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分）
9. 下列关于平面向量的说法错误的是（银）
A援 若 a·b =0，则 a = 0 或 b = 0 B援 若 a与 b 反向，则 a·b =- a · b
C援 若 a椅 b ，b 椅 c ，则 a椅 c D援 若存在实数 姿，使得 a =姿 b ，则 a椅 b
10. 已知 m，n 是两条不同的直线，琢，茁 是两个不同的平面，则（银）
A援 若 m椅琢，琢椅茁，则 m椅茁 B援 若 m彝琢，琢椅茁，n 茁，则 m彝n
C援 若 m椅n，m彝琢，n 茁，则 琢彝茁 D援 若 m 琢，n 茁，琢彝茁，m彝n，则 m彝茁
11. 已知一组数据 a1，a2，a3，a4，a5 的平均数为 1，方差为 1，则该组数据的（银）
A援 中位数可能为 1 B援 众数可能为 1
C援 极差可能为 1 D援 第 60 百分位数可能为 2
第Ⅱ卷 （非选择题 共 92分）
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12. 将一个长、宽、高分别是 9cm，8cm，6cm 的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的
最大零件的体积为 cm3.
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13. 已知 A,B,C 为单位圆上三点，蚁ACB=仔6 ，点 C 关于点 A 的对称点为 M，点 M 关于点 B 的
对称点为 D，则 CD = .
14. 若 tan 茁=3tan 琢，sin 茁 cos 琢= 34 ，则 co（s 2琢+2茁）=_________ .
四、解答题（本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13 分）已知向量 a =（1,2），b =（2,3），c =（-1,2）.
（1）若（k a - c）彝（ a + b），求实数 k 的值；
（2）已知OA = a，OB = b ，OC =姿 c ，若 A,B,C 三点共线，求实数姿 的值援
16.（15 分，本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分）
在空间四边形 ABCD 中，H，G 分别是 AD，CD 的中点，E，F 分别边 AB，BC 上的点，且
AE = CFAB CB =姿（姿跃0）.
（1）如图 1，若 姿= 21 ，求证：四边形 EFGH 是平行四边形；
（2）如图 2，若 姿= 41 ，求证：直线 EH，BD，FG 相交于同一点援
17.（15 分）已知吟ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a，b，c，（c-b）（sinC+sinB）=a（sinA-sinB）援
（1）求角 C；
（2）若吟ABC 的面积为 姨23 ，c=姨3 ，求吟ABC 的周长援
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18援（17 分）为了解某城市居民的月平均用电量情况，随机抽查了该城市 100 户居民的月平均用
电量（单位：度），得到频率分布直方图（如图所示）.数据的分组依次为[160,180）、[180,200）、
[200,220）、[220,240）、[240,260）、[260,280）、[280,300].
（1）求频率分布直方图中 x 的值；
（2）求该城市所有居民月平均用电量的众数和平均数的估计值（同一组数据用该区间的中点
值作代表）；
（3）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，
将月平均用电量从低到高分为一、二、三档，使 75豫的居民缴费在第一档，20豫的居民
缴费在第二档，其余 5豫的居民缴费在第三档，请确定第二档的月平均用电量范围
（精确到 1）.
19.（17 分，本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分）
如图，在三棱柱 ABC-A 1B1C1 中，吟ABC 与吟AA 1C 均为等腰直角三角形，且蚁ABC=蚁AA 1C
=仔2 ，AC=2援
（1）证明：AC彝A 1B；
（2）记二面角 A 1-AC-B 的大小为 琢援
（玉）若 琢=仔2 ，求直线 A 1A 和 B1C1 所成角的大小；
（域）若二面角 B-A 1A-C 的大小为 茁，琢-茁=仔2 ，求 cos 琢援
高一数学 第 4 页（共 4 页）2025—2026学年度下期期末
高一数学参考答案及评分标准
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1~4．ACAB 5~8．DDCB
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分.
9．AC 10．BC 11．AB
三、填空题：本答题共3小题，每小题5分，共15分.
12．【答案】 13．【答案】2 14．【答案】
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
【解】（1）， ..................................................（2分）
由已知，
得， ..................................................（4分）
解得； ..................................................（6分）
（2）,， ......................................（8分）
若三点共线，则，
则， ..........................................（12分）
解得． .....................................（13分）
16.（15分）（本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分）
（1）证明：如图1所示，连接，
空间四边形ABCD中，
当时，
即E、F分别是AB、BC的中点 ...............................................（2分）
又H、G分别是AD、CD的中点，
所以且，且， .................................................（4分）
所以且．
即四边形是平行四边形． ......................................（7分）
（2）如图2所示，连接，,
空间四边形ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，
则 且．
...............................................（8分）
又，则且． .................................................（11分）
即且， ..........................................（12分）
则EH与FG交于一点，记为P，
∵平面ABD，P在平面ABD内，
同理P在平面BCD内，且平面平面，
∴点P在直线BD上，
∴直线EH，BD，FG相交于一点． ...............................................（15分）
17．（15分）
【解】（1）因，
由正弦定理，得，
即． ..................................................（3分）
所以，又，
所以. ..................................................（6分）
（2）由（1）知．
所以， ..................................................（8分）
又，
所以， ..................................................（10分）
所以，即．
所以的周长为 ． ..................................................（15分）
18．（17分）
【解】（1）因为，
所以； ..................................................（3分）
（2）由频率分布直方图可知，月平均用电量众数的估计值为度， ..........................（5分）
记、、...、的频率分别为，
则，，，，，，，
于是平均数的估计值为
，
................................................（9分）
即该城市所有居民月平均用电量的众数为230度，平均数的估计值为225.6度；
................................................（10分）
（3）因为，， ................................................（11分）
因此，分位数位于内.由
， ..................................................（14分）
可估计样本数据的分位数约为247， ..................................................（15分）
又，
因此，可估计样本数据的分位数约为280， ..................................................（16分）
即第二档的月平均用电量数据范围为. （区间端点开闭不严格要求）
..................................................（17分）
19．（17分）（本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分）
（1）证明：设的中点为，连接，如图所示， .......................................（1分）
因与均为等腰直角三角形，，
所以,,,
且 平面,平面, ....................（4分）
故平面，且平面，即 ；
.......................................（5分）
解：因为故,,
且 由（1）小题可知，
（Ⅰ）因,
则为直线和所成的角或补角， ..................................................（6分）
当时，,
因, ,
则 ，所以， ..............................（8分）
中，由余弦定理得，
又，所以，则，
即直线和所成的角为； ..............................（10分）
（Ⅱ）如图，在平面上，过点作于，连接,
因，所以， .................................................（11分）
在菱形中，，，
所以，
因为,
所以， ..................................................（13分）
在菱形中，同理可得， ............................................（14分）
又，则中，由余弦定理得，
， ..................................................（15分）
即，又，
即，
即或（舍去），
所以 . ..................................................（17分）

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