资源简介

2025—2026 学年度下期期末
高 二 数 学
全卷共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡
上，并检查条形码粘贴是否正确。
2. 选择题使用 2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔
书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第 玉 卷 （选择题 共 58分）
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合要求）
1援 已知集合 A=｛-1,0,1,2｝，B=｛x丨lnx臆1｝，则 A疑B=（银）
A援｛-1,0,1｝ B援｛0,1,2｝ C援｛1,2｝ D援｛2｝
2援 已知 i 为虚数单位，若 z=（i 1-i），则 z=（银）
A援 1-i B援 i-1 C援 1+i D援 -1-i
3援 蓸1-姨 x 蔀 6 展开式中 x2 项的系数为（银）
A援 12 B援 15 C援 18 D援 20
4援 已知 m，n 是两条不同的直线，琢，茁 是两个不同的平面，若 m彝琢，n彝茁，则“m彝n”是“琢彝茁”的
（银）
A援 充分不必要条件 B援 必要不充分条件
C援 充要条件 D援 既不充分也不必要条件
5援 已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，抛物线上一点 P到焦点 F的距离为 3，则吟FOP（O 为坐标
原点）的面积为（银）
A援 1 B援 姨2 C援 2 D援 4
6援 已知吟ABC中，sin A= 45 ，sin B= 2姨5 5 ，b=姨5 ，则 c=（银）
A援 姨5 B. 姨5 或 姨55 C. 姨55 D. 2姨5
7援 设 R 上的可导函数 f（x）满足 f（'-2x）x 跃0，且 f（x +2）是偶函数 援若 a=f（0.50.5），b =f（log23），
c=（f 3），则 a，b，c 的大小关系为（银）
A援 a跃b跃c B援 a跃c跃b C援 c跃b跃a D援 b跃c跃a
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8援 一位足球爱好者参加点球比赛，记事件 A i=“第 i 次进球”（i =1,2,3，…）援已知 P（A 1）= 12 ，
P（A i+丨1 A）= 2i 3 ，P（A i+1丨A 1i）= 6 ，则 P（A 3）的值为（银）
A援 95 B. 58 C. 152 D. 38
二、多项选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9援 下列说法中正确的是（银）
A. 数据 3，4，5，7，8 的第 80 百分位数是 7.5
B援 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数 r 的绝对值越接近于 0
C援 已知 y 关于 x 的线性回归方程为 夷y=0.7x-0.2，则样本点（3,2）的残差绝对值为 0.1
D援 若一个样本容量为 5 的样本的平均数为 5，方差为 2，现在样本中加入一个新数据 5，
则此时样本容量为 6，其平均数与方差的值均不变
10援 已知数列｛an｝是首项为 1，公差为 2 的等差数列，数列｛bn｝满足 b ann=2 ，下列说法中正确的有
（银）
A援 an=2n-1 B援 数列｛a2n｝是首项为 2，公差为 4 的等差数列
C援 2｛bn｝是公比为 4 的等比数列 D援 bnbn+2k=bn+k 对任意正整数 n，k 均成立
11援 2 2已知 F1，F2 分别是双曲线 C：xa2 - yb2 =1，（a跃0，b跃0）的左、右焦点，A 为其右支上一点（异于右
顶点），吟AF1F2 的内切圆与 x轴相切于点M，则下列说法正确的是（银）
A. 点 M 到 y 轴的距离为 2c
B援 若MF 1+3MF 2= 0 ，则 C 的渐近线方程为 y=依姨3 x
C援 若蚁F1F2A=120毅且 AF2 =2c，则 C 的离心率为 1+姨2 3
D援 若AF 1彝AF 2，则吟AF1F2 的周长为 2c+2姨b2+c2
第 域 卷 （非选择题 共 92分）
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12援 甲、乙等 5 人排成一行照相，其中甲、乙不相邻，则不同的排列方法有 银 种（. 用数字作答）
13. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4，侧棱长为姨6 ，则其外接球的表面积为 银 .
14. 已知关于 x 的不等式 aeax-ln x逸0 恒成立，则实数 a的取值范围为 银 .
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四、解答题（本大题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13 分）2026 年第四届“火战凉山·火洛杯”全网曝光超 4350 万次，话题浏览超 2.5 亿次，是
凉山年度全民热门赛事.某校为激发学生对体育运动的兴趣，举行了一次有关“火洛杯”的
知识竞赛，其中篮球、彝族特色文化、禁毒防艾三类相关知识题量占比分别为 14 、14 、21 ，甲
同学回答篮球、彝族特色文化、禁毒防艾这三类问题中每个题的正确率分别为 12 、43 、54 .
（1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
（2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每一题回答正确得 10 分，回答错误得-5 分.
设该同学回答三题后的总得分为 X 分，求 X 的分布列及数学期望.
16援（15 分）已知数列｛an｝的前 n项和为 Sn，且 Sn=2an-1，等差数列｛bn｝满足 a1+b1=2，a3+b3=9.
（1）求｛an｝和｛bn｝的通项公式；
（2）求数列 嗓 bna 瑟的前 n 项和 Tn援n
17援（15 分）如图，ABCD 为直角梯形，AD=2BC=2CD，AD彝CD，E 为 AD 的中点，现将吟ABE 沿
BE 折起使 A 点至 P点处，得四棱锥 P-BCDE，点 F为 PB 中点援
（1）求证：PD椅平面 CEF；
（2）当二面角 P-CE-D 为直二面角时，求：直线 DP与平面 CEP所成角的正弦值援
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18援 2 2（17 分）已知椭圆 C：x ya2 + b2 =1，（a跃b跃0）的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 是 C 上的点，
且 PF1 + PF2 =4，离心率 e= 姨23 .
（1）求 C 的标准方程；
（2）设 M（0，-2），N（0,2）.
淤若点 P位于第一象限，直线 PM，PN 的斜率分别 k1，k2，求 k1·k2 的取值范围；
于设直线 l：x=my+n 与 C 交于 P，Q 两点，若蚁PMO=蚁QMO（O 为坐标原点）,试判断直线 l
是否过定点，如果是，请求出定点，如果不是，请说明理由援
19援（17 分）已知函数（f x）=xex-2x3，g（x）=x2+姿x，姿沂R.
（1）求曲线 y=（f x）在点（1，（f 1））处的切线方程；
（2）设函数 h（x）=（f x）x +g（x），
淤若函数 h（x）在 R 上不具有单调性，求 姿 的取值范围；
于若函数 h（x）有两个不同的极值点 x1，x2，求证：ln（ex1+ex2）跃2ln2
高二数学 第 4 页（共 4 页）2025—2026 学年度下期期末
高二数学
参考答案及给分标准
一、单项选择题：(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B C B B B D
二、多项选择题：(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.全部选对得 6 分，选对但不
全的得部分分，有错选的得 0 分)
题号 9 10 11
答案 AC ACD BCD
三、填空题：（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
1 1
12. 36 13. 33 π 14. ， （ 或写成a ） e e
四、解答题：（本题共 5 个小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
15.解：(1)设甲同学回答正确为事件 A，……………1 分
P(A) 1 1 1 3 1 4 57 ；………………5 分
4 2 4 4 2 5 80
(2)由分析知，X的可能取值为 15,0,15,30，…………6 分
P(X 1 3 4 1 15) 1 1 1
2 4 5 40
P(X 0) 1 1 1 1 3 1 1 1 4 8 1
2 4 5 2 4 5 2 4 5 40 5
P(X 15) 1 3 1 1 1 4 1 3 4 19
2 4 5 2 4 5 2 4 5 40
P(X 15) 1 3 4 12 3
2 4 5 40 10……………………10 分
可得如下分布列：
X -15 0 15 30
P 1 1 19 3
40 5 40 10
15 1 19 15 30 12 63
数学期望 E(X ) .………………13 分
40 4
16.解：(1)由Sn 2an 1得：Sn 1 2an 1 1，n 2，…………1 分
所以an 2an 1，………………2分
当n 1时，a1 2a1 1，即a1 1，………………3 分
所以 an 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an 2n 1，…………4分
由a1 b1 2，a3 b3 9，得：b1 1，b3 5，…………5 分
所以 bn 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以bn 2n 1；…………7 分
(2)由(1) b 2n 1知 n
a 2n 1
，
n
所以T 1 3 5n 0 1 2
2n 3 2n 1
n 2 2 2 2 2 2n 1
，①…………8 分
1 T 1 3 5n 1 2 3
2n 3 2n 1
n 1 n ，②…………10 分2 2 2 2 2 2
1 1 1
n
由①-②得： Tn 1 2 1 2
1 1 1 n 2 n 1 2n 1 ，2 2 2 2 2 2 ……13 分
T 6 2n 3 1
n 1
因此： n

.
2 …………15 分
17.解：(1)证明：连接BD交CE于点O,连接FO.……2 分
ABCD为直角梯形，AD 2BC 2CD， AD CD， E为 AD的中点，……3分
ABCD为正方形，因此O为EC中点，…………4分
PD∥ FO，…………5分
PD 平面CEF，FO 平面CEF，……6分
故：PD∥平面CEF .…………7分
(2) 连接PO，设AD 2BC 2CD 4,……8分
二面角 P CE D为直二面角，……9 分
ABCD为正方形，所以OD CE，………10 分
OD 平面CEP，………………11分
即 DPO为直线DP与平面CEP所成角，………………12 分
而OD 2，PO 6，PD 2 2，…………13分
sin 1 DPO ，………………14分
2
1
因此：直线DP与平面CEP所成角的正弦值为 .…………15 分
2
18.解：(1)由PF1 PF2 2a 4得：a 2，…………1 分
c 3
由e 得：c 3，…………2 分
a 2
根据：a2 b2 c2得：b2 1，…………3 分
x2
所以C的标准方程为 y2 1.…………4 分
4
P(x x
2
(2) ①设 0 20 , y0 )，x0 0, y0 0,则 y 0 1.…………5 分4
有k y0 21 ,k
y0 2
2 ，x x …………6 分0 0
x20
y 2 y 2 y2k k 0 0 0 4
3
4 1 3即 1 2 2 2 ，
…………7 分
x0 x0 x0 x0 4 x
2
0
1 3
因为0 x20 4，k1 k2 2 为单调递增函数，4 x …………8 分0
故：k1 k2 1.…………9分
②设P(x1, y1)，Q(x2 , y2 )，………………10 分
x my n
联立 x2 得(m2 2 4)y
2 2mny n2 4 0，
y 1 …………11 分 4
2
0, y 2mn n 41 y2 ，y y ，…………12 分m2 4 1 2 m2 4
由 PMO QMO得：kPM kQM 0，………………13 分
即kPM k
y 2 y 2
QM
1 2 0， 2(x1 x2 ) x1y2 x2 y1 0，x ………14 分1 x2
即(2m n)(y1 y2 ) 2my1y2 4n 0 m 2n，…………15 分
所以直线l方程：x my n 2ny n n(2y 1)，…………16 分
当y 1 时，x 0，
2
1
因此直线l：x my n 过定点 0， .………………17 分
2
19.解： (1)由题意知：f '(x) x 1 e x 6x2，则：…………1 分
f (1) e 2，f '(1) 2e 6，…………2 分
曲线 y f (x)在点 1, f (1) 处的切线方程为： y e 2 2e 6 x 1 ，……3 分
即：y 2e 6 x 4；…………4 分
(2)①由题意知：h(x) f (x) g(x) e x x2 x，x R …………5 分
x
h '(x) e x 2x ，………………6 分
由于函数h(x)在R上不具有单调性，所以h '(x) 0或h(x) 0都不恒成立，
若h '(x) e x 2x 0，则 2x e x不恒成立，……………7 分
令 (x) 2x e x，则 '(x) 2 e x ………………8 分
令 '(x) 2 e x 0,则x ln 2，
所以 (x) 2x e x，在( ，ln 2)单调递增，在(ln 2， )单调递减，
所以 (x)max 2ln2 - 2，……………………9 分
因此： 2ln2 - 2；………………10 分
②证明：由①可知当 2ln2 - 2时，函数 ( )有两个不同的极值点 x1，x2，
要证明：ln e x1 e x2 2ln 2，即证明e x1 e x2 4…………11 分
不妨设 x1 x2
x x x
所以 x1，x2是方程 e 2x 0的两个解. 即 e 1 2x1 0，e 2 2x2 0
x x
所以 e 1 e 2 2 x1 x2 ………………12 分
设 = 2 1 > 0，则 2 = 1 + .
t
所以 e x1 t e x 2t 2te1 2t， e x即 1 et 1 2t， e x所以 1 x2
et
，e ，
1 et 1
t
e x 2t e 1 所以 1 e x2
et
，
1 ………………13 分
t et 1
要证明e x1 e x2 4，即证明
et
2，t 0,
1
设m(t) t(et 1) 2(et 1)，则m '(t) et (t 1) 1，………………14 分
m ''(t) tet，由于t 0，因此m ''(t) tet 0恒成立，
则m '(t) et (t 1) 1，在(0, )上单调递增，
则m '(t) m '(0) 0，………………………………15 分
所以m(t)在(0， )上单调递增，
所以m(t) m (0) 0，………………………………16 分
t(et 1) 2(et 1) t(e
t 1)
所以 0，即 x1t 2成立，即e e
x2 4
e 1
故：ln e x1 e x2 2ln 2.……………………17 分

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