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2026年北京市大兴区中考数学二模试卷
一、选择题（共16分，每题2分）．
1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A．长方体 B．圆柱 C．三棱柱 D．圆锥
2．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
4．一个不透明的袋子中仅有5个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球为蓝球的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　）
A． B．1 C． D．4
6．1970年4月24日，中国第一颗人造卫星“东方红一号”成功发射．自2016年起，将每年4月24日设立为“中国航天日”．我国首个目标飞行器天宫一号向地球发射无线电信号，信号单向传输到地面测控站所用时间约为，传播速度为，则天宫一号与地面测控站的距离约为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在△中，，，分别以，为圆心，长为半径作弧，两弧交于，，直线与交于点，连接，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点，点是函数图象上的动点，不重合），点是的中点，点是的中点，作垂直轴于点，交图象于点，作垂直轴于点，交图象于点．给出下面四个结论：
①△与△的面积一定相等；
②连接，，则△的面积是△面积的2倍；
③连接，，，，则△与△的面积一定相等；
④连接，，则，不一定平行．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
二、填空题（共16分，每题2分）
9．分解因式：　 　．
10．若代数式有意义，则实数的取值范围是　　 ．
11．方程的解为　　 ．
12．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为　　 ，　　 ．
13．在“课间一刻钟”活动中，甲、乙、丙三名同学相约到篮球场进行定点投篮练习，共设置5轮投篮，每轮每人投篮5次，投中次数统计整理如下：
甲：2，2，4，5，5；
乙：2，3，4，4，5；
丙：3，3，4，4，4．
根据方差越小，数据的波动越小，发挥越稳定这一统计意义，据此推断，　　 同学发挥更稳定．
14．如图，四边形内接于，是的直径，点是下方上一点．若，则的大小为　　 ．
15．如图，在矩形中，点为中点，连接，点为的延长线上一点，连接交于．若，△的面积为1，则四边形的面积为 　　 ．
16．某兴趣小组有3件打印模型需要制作，每个模型都要按四道工序的顺序完成．现安排甲、乙、丙3名同学来做，甲只负责、工序，乙只负责工序，丙只负责工序．同一模型同一时间只能进行一道工序，完成一道工序后才能开始下一道工序．一个人只有完成一个模型的一道工序后，才能进行下一个模型的工序．各工序耗时（单位：分钟）如表：
模型 时间 工序 模型1 模型2 模型3
3 6 4
5 3 4
4 7 5
2 9 3
（1）只完成模型1和模型3的制作，最少需要　　 分钟；
（2）要完成这3件模型的制作，最少需要　　 分钟．
三、解答题（共68分，第17-19题每小题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在△中，，为中点，过点作于点，连接，并延长到点，使，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
21．在平面直角坐标系中，函数的图象过点和．
（1）求和的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且大于1，直接写出的取值范围．
22．如图1，筒车是明代科学家宋应星所著《天工开物》中记载的经典水利灌溉工具，它利用流水冲击圆形转轮带动筒车转动，通过遍布圆周的竹筒舀水至顶部，并倾倒在水槽中，实现将低处河水提升至高处水槽中，再引流至农田，达到自流灌溉的目的，是我国古代劳动人民智慧的结晶．
如图2，已知某筒车的转轮圆心为，吃水深度（转轮最低点到水位线的距离）与转轮半径的比为，转轮圆心到水槽底部的距离为0.9米，提水高度（水槽底部到水位线的竖直高度）是吃水深度的3.5倍．求这个筒车的转轮半径．
23．五一假期，某景区为调查游客通行效率，某高峰时段工作人员在景区南、北两个检票口各随机抽取20名游客，记录他们从入园开始排队到通过检票口进入景区的等候时间（单位：分钟）．将数据整理，描述和分析，给出下面信息：
．将南、北两个检票口各20名游客等候时间分别分成四组：
，，，．
．南检票口20名游客等候时间数据：
5 6 9 11 14 19 21 23 26 30 30 30 32 35 37 39 42 46 50 53
．北检票口20名游客等候时间在组内的数据：
31 32 32 33 35 36 39 42
．北检票口20名游客等候时间扇形统计图如图：
．南、北检票口20名游客等候时间平均数、众数、中位数如表：
项目 南检票口 北检票口
平均数 27.9 27.9
众数 32
中位数 30
（1）写出图表中，，的值：　　 ，　　 ，　　 ；
（2）已知当天该高峰时段从南检票口进入景区的游客约为6000人，从北检票口进入景区的游客约为8000人，估计从两个检票口进入景区的等候时间超过30分钟的游客有　　 人．
24．如图，在△中，，点是中点，以为圆心，的长为半径作交延长线于点，交于点，交于点，过点作的切线交延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接并延长交于点，若，，求的半径．
25．为营造家庭亲子阅读氛围，、两个家庭分别制定了每周七天循环阅读计划，并以10天为一个结算单元设立积分奖励，每读一页书，奖励0.2积分，积分达到一定数值可以兑换相应礼品．每周七天可用星期表示，其中，2，3，4，5，6，7，至6依次表示星期一至星期六，表示星期日．
家庭制定的每周循环阅读计划：星期读书的页数记为，从星期当天开始连续阅读10天后的总积分记为，可以认为，分别是的函数，部分数据如下：
星期 1 2 3 4 5 6 7
12 14 16 18 20 22 24
34.8 36 37.2 36.8 35.2
家庭制定的每周循环阅读计划：星期读书的页数记为，从星期当天开始连续阅读10天后的总积分记为，可以认为，分别是的函数，部分数据如下：
星期 1 2 3 4 5 6 7
20 18 13 22 15 23
通过分析数据，在平面直角坐标系中，分别描出部分数对，所对应的点．
（1）家庭从星期一当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为　　 ；
（2）在给出的坐标系中，描出表示的点；
（3）按照家庭的积分兑换办法，兑换一本新书需要37积分．若连续阅读10天后的总积分满足这次兑换要求，且要尽早完成兑换，则应从星期　　 当天开始阅读；
（4）家庭从星期　　 当天开始阅读，连续阅读10天后所能获得的积分最大；
（5）若随的增大而增大，则整数　　 ．
26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
（1）求的值，并用含的式子表示．
（2）直线与抛物线交于点和点，不重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
①用含的式子表示点的横坐标；
②已知，，点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小，求的取值范围．
27．在△中，，，点是的中点，点为下方一点，满足，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点恰好落在上．连接，延长交于点．
（1）连接，求证：；
（2）用等式表示，，之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，对于不重合的点和点以及正实数有如下定义：过点的任意一条直线上都存在点，，，互不重合），满足，称点是点的“区域点”，线段的长度的最小值叫做点关于点的“区域距离”．
（1）若点坐标为，在，，这三个点中　　 是点的“区域点”，此时这个点关于点的“区域距离”是　　 ；
（2）若点是直线上一动点，记点的横坐标为，则使得坐标原点是点的“区域点”的的取值范围是　　 ，点关于点的“区域距离”的最大值是　　 ；
（3）若点，是半径为的上的两动点，且，，，若对于线段上的任意一点，都存在，，使得既是的“区域点”也是的“区域点”，直接写出的取值范围是　　 ．
参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A．长方体 B．圆柱 C．三棱柱 D．圆锥
解：根据圆柱的特征：主视图、俯视图都是长方形，左视图是圆形，
这个几何体是圆柱．
故选：．
2．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：由所给数轴可知，
，
所以，，，，
显然只有选项符合题意．
故选：．
3．若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
解：这个正多边形的边数为，
故选：．
4．一个不透明的袋子中仅有5个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球为蓝球的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：由题意可得：所有可能出现的结果总数为，摸出蓝球的可能结果数为2，
从袋子中随机摸出一个球，摸出的球为蓝球的概率为．
故选：．
5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　）
A． B．1 C． D．4
解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
即，
解得：，
故选：．
6．1970年4月24日，中国第一颗人造卫星“东方红一号”成功发射．自2016年起，将每年4月24日设立为“中国航天日”．我国首个目标飞行器天宫一号向地球发射无线电信号，信号单向传输到地面测控站所用时间约为，传播速度为，则天宫一号与地面测控站的距离约为（　　）
A． B． C． D．
解：天宫一号与地面测控站的距离约为：．
故选：．
7．如图，在△中，，，分别以，为圆心，长为半径作弧，两弧交于，，直线与交于点，连接，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
解：如图，
，，
，
由作图可知，垂直平分，
，
，
，
故选：．
8．如图，在平面直角坐标系中，点，点是函数图象上的动点，不重合），点是的中点，点是的中点，作垂直轴于点，交图象于点，作垂直轴于点，交图象于点．给出下面四个结论：
①△与△的面积一定相等；
②连接，，则△的面积是△面积的2倍；
③连接，，，，则△与△的面积一定相等；
④连接，，则，不一定平行．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
解：过点作，过点作，如图，
设点坐标为，，点坐标为，，
点是的中点，点是的中点，
点坐标为，，点坐标为，，点坐标为，点坐标为，
点，点是函数图象上的点，
，，
根据图象可知：，，
，
故①正确，符合题意；
，
，
，
，
故②不正确，不符合题意；
，
，
，
，
，
故③正确，符合题意；
设所在直线的函数表达式为，将，，，代入，
得：，
解得：，
设所在直线的函数表达式为，
将点坐标为，点坐标为，代入，
得：，
解得：，
若，则，
即：，
整理得：，
，
，，
等式恒成立，即，
故④不正确，不符合题意；
故选：．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．分解因式：　　．
解：，
，
．
10．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
解：有分式有意义的条件可得，若代数式有意义，则，
即，
故答案为：．
11．方程的解为 ．
解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
12．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为 ，　　 ．
解：当，时，，而，
说明命题“若，则”是假命题，
故答案为：；（答案不唯一）．
13．在“课间一刻钟”活动中，甲、乙、丙三名同学相约到篮球场进行定点投篮练习，共设置5轮投篮，每轮每人投篮5次，投中次数统计整理如下：
甲：2，2，4，5，5；
乙：2，3，4，4，5；
丙：3，3，4，4，4．
根据方差越小，数据的波动越小，发挥越稳定这一统计意义，据此推断，　丙　 同学发挥更稳定．
解：由题意可知，三名同学的平均数相同，但丙的波动最小，即丙的方差最小，所以丙同学发挥更稳定．
故答案为：丙．
14．如图，四边形内接于，是的直径，点是下方上一点．若，则的大小为 ．
解：如图，连接，
四边形内接于，
，
，
，
是的直径，
，
，
由圆周角定理得：，
故答案为：．
15．如图，在矩形中，点为中点，连接，点为的延长线上一点，连接交于．若，△的面积为1，则四边形的面积为 　9　 ．
解：设，则，
点为中点，
，
四边形为矩形，
，
△△，
，
，
，
，
四边形的面积．
故答案为：9．
16．某兴趣小组有3件打印模型需要制作，每个模型都要按四道工序的顺序完成．现安排甲、乙、丙3名同学来做，甲只负责、工序，乙只负责工序，丙只负责工序．同一模型同一时间只能进行一道工序，完成一道工序后才能开始下一道工序．一个人只有完成一个模型的一道工序后，才能进行下一个模型的工序．各工序耗时（单位：分钟）如表：
模型 时间 工序 模型1 模型2 模型3
3 6 4
5 3 4
4 7 5
2 9 3
（1）只完成模型1和模型3的制作，最少需要　19　 分钟；
（2）要完成这3件模型的制作，最少需要　　 分钟．
解：（1）由题意知，
若先制作模型1，后制作模型
甲完成工序时间：，
乙完成工序时间：模型1为，模型3为，
丙完成工序时间：模型1为，模型3为，
甲完成工序时间：模型1为，模型3为，
总耗时20分钟；
若先制作模型3，后制作模型
甲完成工序时间：，
乙完成工序时间：模型3为，模型1为，
丙完成工序时间：模型3为，模型1为，
甲完成工序时间：模型3为模型1为，
总耗时19分钟，
，
最少需要19分钟，
故答案为：19；
（2）要完成3件模型的制作，则有“模型模型模型3”、“模型模型模型、“模型模型模型3”、“模型模型模型1”、“模型模型模型2”“模型模型模型1”共六种顺序制作：
①模型模型模型
甲完成工序时间：，
乙完成工序时间：模型1为，模型2为，模型3为，
丙完成工序时间：模型1为，模型2为．模型3为，
甲完成工序时间：模型1为，模型2为，模型3为，
总耗时31分钟；
②模型模型模型
甲完成工序时间：，
乙完成工序时间：模型1为，模型3为，模型2为，
丙完成工序时间：模型1为，模型3为，模型2为，
甲完成工序时间：模型1为，模型3为，模型2为，
总耗时33分钟；
③模型模型模型
甲完成工序时间：，
乙完成工序时间：模型2为，模型1为，模型3为，
丙完成工序时间：模型2为，模型1为，模型3为，
甲完成工序时间：模型2为，模型1为，模型3为，
总耗时30分钟；
④模型模型模型
甲完成工序时间：，
乙完成工序时间：模型2为，模型3为，模型1为，
丙完成工序时间：模型2为，模型3为，模型1为，
甲完成工序时间：模型2为，模型3为，模型1为，
总耗时30分钟；
⑤模型模型模型
甲完成工序时间：，
乙完成工序时刻：模型3为，模型1为，模型2为，
丙完成工序时间：模型3为，模型1为，模型2为，
甲完成工序时间：模型3为，模型1为，模型2为，
总耗时33分钟；
⑥模型模型模型
甲完成工序时间：，
乙完成工序时间：模型3为，模型2为，模型1为，
丙完成工序时间：模型3为，模型2为，模型1为，
甲完成工序时间：模型3为，模型2为，模型1为，
总耗时31分钟，
综上所述，要完成这3件模型的制作，最少需要30分钟，
故答案为：30．
三、解答题（共68分，第17-19题每小题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：．
解：原式
．
18．解不等式组：．
解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
不等式组的解集为．
19．已知，求代数式的值．
解：，
，
原式
．
20．如图，在△中，，为中点，过点作于点，连接，并延长到点，使，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【解答】（1）证明：为中点，
，
于点，为中点，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：由（1）可知四边形是矩形，
，，
，，
，
，为的中点，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
在△中，，
即，
，
，
，
．
21．在平面直角坐标系中，函数的图象过点和．
（1）求和的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且大于1，直接写出的取值范围．
解：（1）函数的图象过点和，
，
解得，
的值为，的值为；
（2）由（1）知，
把代入得，，解得，
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且大于1，
，
的取值范围是．
22．如图1，筒车是明代科学家宋应星所著《天工开物》中记载的经典水利灌溉工具，它利用流水冲击圆形转轮带动筒车转动，通过遍布圆周的竹筒舀水至顶部，并倾倒在水槽中，实现将低处河水提升至高处水槽中，再引流至农田，达到自流灌溉的目的，是我国古代劳动人民智慧的结晶．
如图2，已知某筒车的转轮圆心为，吃水深度（转轮最低点到水位线的距离）与转轮半径的比为，转轮圆心到水槽底部的距离为0.9米，提水高度（水槽底部到水位线的竖直高度）是吃水深度的3.5倍．求这个筒车的转轮半径．
解：设这个筒车的转轮半径为米．
由题意得，吃水深度米，
提水高度米．
由图可知，米．
，且米，
列方程得：，
，
，
，
，
这个筒车的转轮半径为1.8米．
23．五一假期，某景区为调查游客通行效率，某高峰时段工作人员在景区南、北两个检票口各随机抽取20名游客，记录他们从入园开始排队到通过检票口进入景区的等候时间（单位：分钟）．将数据整理，描述和分析，给出下面信息：
．将南、北两个检票口各20名游客等候时间分别分成四组：
，，，．
．南检票口20名游客等候时间数据：
5 6 9 11 14 19 21 23 26 30 30 30 32 35 37 39 42 46 50 53
．北检票口20名游客等候时间在组内的数据：
31 32 32 33 35 36 39 42
．北检票口20名游客等候时间扇形统计图如图：
．南、北检票口20名游客等候时间平均数、众数、中位数如表：
项目 南检票口 北检票口
平均数 27.9 27.9
众数 32
中位数 30
（1）写出图表中，，的值：　25　 ，　　 ，　　 ；
（2）已知当天该高峰时段从南检票口进入景区的游客约为6000人，从北检票口进入景区的游客约为8000人，估计从两个检票口进入景区的等候时间超过30分钟的游客有　　 人．
解：（1）北检票口组所占的百分比：；
组所占的百分比为；
组所占的百分比：；
组所占的百分比：，
；
南检票口20个数据中，30出现的次数最多，
；
北检票口组人数：（人，组人数：（人；组人数8人；组人数：（人；
将数据从小到大排列后，中位数是第10、11个数据的平均数，
，
第10、11位数在组，
；
故答案为：25，30，31.5；
（2）（人，
估计从两个检票口进入景区的等候时间超过30分钟的游客有6800人，
故答案为：6800．
24．如图，在△中，，点是中点，以为圆心，的长为半径作交延长线于点，交于点，交于点，过点作的切线交延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接并延长交于点，若，，求的半径．
【解答】（1）证明：连结，如图，
，点是中点，
，
为的半径，
为的切线，
为的切线，
；
（2）解：连结交于点，如图，设，则，
，点是中点，
平分，
，
，
，
，
为直径，
，
，
四边形为矩形，
，，
，，
为△的中位线，
，
，
在△中，，
，
，
△△，
，
即，
解得，
，
，，
，
为切线，
，
，
，
△△，
，
即，
整理得，
解得，（舍去），
，
即的半径为5．
25．为营造家庭亲子阅读氛围，、两个家庭分别制定了每周七天循环阅读计划，并以10天为一个结算单元设立积分奖励，每读一页书，奖励0.2积分，积分达到一定数值可以兑换相应礼品．每周七天可用星期表示，其中，2，3，4，5，6，7，至6依次表示星期一至星期六，表示星期日．
家庭制定的每周循环阅读计划：星期读书的页数记为，从星期当天开始连续阅读10天后的总积分记为，可以认为，分别是的函数，部分数据如下：
星期 1 2 3 4 5 6 7
12 14 16 18 20 22 24
34.8 36 37.2 36.8 35.2
家庭制定的每周循环阅读计划：星期读书的页数记为，从星期当天开始连续阅读10天后的总积分记为，可以认为，分别是的函数，部分数据如下：
星期 1 2 3 4 5 6 7
20 18 13 22 15 23
通过分析数据，在平面直角坐标系中，分别描出部分数对，所对应的点．
（1）家庭从星期一当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为　168页　 ；
（2）在给出的坐标系中，描出表示的点；
（3）按照家庭的积分兑换办法，兑换一本新书需要37积分．若连续阅读10天后的总积分满足这次兑换要求，且要尽早完成兑换，则应从星期　　 当天开始阅读；
（4）家庭从星期　　 当天开始阅读，连续阅读10天后所能获得的积分最大；
（5）若随的增大而增大，则整数　　 ．
解：（1），
即家庭从星期一当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为168页，
故答案为：168页；
（2），
；
（3），，，，
连续阅读10天后的总积分满足这次兑换要求，且要尽早完成兑换，则应从星期四当天开始阅读，
故答案为：四；
（4）根据题意，，
，
家庭从星期五当天开始阅读，连续阅读10天后所能获得的积分最大，
故答案为：五；
（5）根据题意，家庭从星期一当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为，
家庭从星期二当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为，
家庭从星期三当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为，
家庭从星期四当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为，
家庭从星期五当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为，
家庭从星期六当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为，
家庭从星期日当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为，
随的增大而增大，
，解得，
为整数，
，
故答案为：19．
26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
（1）求的值，并用含的式子表示．
（2）直线与抛物线交于点和点，不重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
①用含的式子表示点的横坐标；
②已知，，点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小，求的取值范围．
解：（1）将点和点代入二次函数关系式，
有：，，
即：；
（2），，
二次函数为，
①联立：，
解得：，或，
即点的坐标为：，
、不重合，
，即，
则点的横坐标为；
②根据题意可知的长度为：，
当时，即、同在轴的左侧，
，
，，
当时，的最大值为：，
直线与抛物线交于点和点、不重合），点的横坐标为：，
若点在轴的右侧，结合、同在轴的左侧，
如图，
即在范围内，的函数值大于的函数值，
此时的的值将随着的变大逐渐变大，此时与题意不符，
点在轴的左侧，
如图，
当时，的最大值为：，
又点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小，
，
解得：；
当时，即、同在轴的右侧，
，，
，，
当时，的最大值为：，
如图，
要满足：点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小，
，
解得：；
综上：的取值范围或．
27．在△中，，，点是的中点，点为下方一点，满足，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点恰好落在上．连接，延长交于点．
（1）连接，求证：；
（2）用等式表示，，之间的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：如图，连接，
在△中，，点是 的中点，
，
，
，
，
又，，
，
；
（2）解：，证明如下：
如图，延长至点，使得，连接，，，
由旋转的性质得：，，
在△和△中，
，
△△，
，，
由（1）已得：，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
28．在平面直角坐标系中，对于不重合的点和点以及正实数有如下定义：过点的任意一条直线上都存在点，，，互不重合），满足，称点是点的“区域点”，线段的长度的最小值叫做点关于点的“区域距离”．
（1）若点坐标为，在，，这三个点中 是点的“区域点”，此时这个点关于点的“区域距离”是　　 ；
（2）若点是直线上一动点，记点的横坐标为，则使得坐标原点是点的“区域点”的的取值范围是　　 ，点关于点的“区域距离”的最大值是　　 ；
（3）若点，是半径为的上的两动点，且，，，若对于线段上的任意一点，都存在，，使得既是的“区域点”也是的“区域点”，直接写出的取值范围是　　 ．
解：（1）由题意知，点的“区域点”是对过点的任意直线与以为圆心，为半径的都有两个交点，点的“区域距离”是与过点的直径垂直的弦长，
如图，作以点为圆心，半径为2的，
观察图象可知，点在内部，点在外部，点在上，
符合题意的点为，即点是点的“区域点”，
过点作轴，交于点，，连接，
，，
在△中，，
同理可得：，
，即点关于点的“区域距离”是，
故答案为：；
（2）由题意知，点是直线上一动点，且横坐标为，
纵坐标为，
要使得坐标原点是点的“区域点”，
如图，分别作半径为5，且过点的，连接，，
，
，
解得：，，
的取值范围是，
要使点关于点的“区域距离”存在最大值，则点到点的弦心距必为最小，
当时，存在最小值，
如图，作的平行线，连接，，设分别交轴，轴于点，，
，
易得，，
，，
，
，，
，
，
在△中，，
同理可得：，
，
即点关于点的“区域距离”的最大值是，
故答案为：，；
（3）由题意可得，点既在以为圆心，为半径的圆内，又在以为圆心，为半径的圆内，
点是线段上的动点，
线段均在如图所示的阴影部分内，
如图，作半径为的，作直线交于点，，使得，交轴于点，分别以点，为圆心，为半径作，，两圆分别交，，连接，，
，
在△中，，
同理可得：，
，，
，，
，在阴影区域内，且不与边界重合，
，
解得：，
同理，作交于点，，，使得，交轴于点，分别以点，为圆心，为半径作，，两圆分别交，，连接，，
，，
，在阴影区域内，且不与边界重合，
，
解得：，
综上所述，的取值范围是，
故答案为：或．

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