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2026年北京市顺义区中考数学二模试卷
一、选择题（共16分，每题2分）．
1．我国生成式人工智能用户规模快速提升．中国互联网络信息中心发布的第五十七次《中国互联网络发展状况统计报告》显示：截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达6.02亿人．将602000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱
3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，平分，于点，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
5．小强和小明每人要从甲、乙两个社区中随机选择一个社区参加社会实践活动，那么小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，，是上两点，，．若，是正边形的两条邻边，则的值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．如图，在平面直角坐标系中，点，在第一象限，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，函数的图象交于点，交于点，连接，将△沿翻折得到△．给出下面四个结论：
①连接，，则△与△的面积可能相等；
②；
③有且只有一个点，使得点在轴上；
④连接，若点在轴上，则．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若代数式有意义，则实数的取值范围是 　　 ．
10．分解因式：　　．
11．方程的解为　　 ．
12．某学校有甲、乙两支国旗护卫队．两队都是9人，学生的身高（单位：数据如表所示：
甲队学生的身高 179 179 180 180 180 180 180 181 181
乙队学生的身高 178 179 179 180 180 180 180 181 182
如果学生的身高的方差越小，则认为该队学生的身高越整齐．按照这个标准，学生的身高更整齐的是　　 队（填“甲”或“乙” ．
13．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为　　 ，　　 ．
14．如图，是的直径，，，是上的点，，交于点．若，则的大小为　　．
15．如图所示的网格是正方形网格，则　　 （点，，是网格线交点）．
16．两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下：
①两名同学轮流取棋子；
②每次至少取走一颗棋子；
③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定；
④取走最后一颗棋子的同学获胜．
例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子．
（1）如果一共有6颗棋子，两名同学约定每次最多取走3颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走　　 颗棋子；
（2）如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走　　 颗棋子．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在中，，分别是，的中点，于点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
21．用某类充电桩充电时，充电过程分为快速和慢速两个阶段，给型新能源汽车在电量为的情况下充电．技术改进前，充满电需用时80分钟；技术改进后，充满电需用时52分钟，其中快速充电阶段用时减少了，慢速充电阶段用时减少了，求快速充电阶段用时减少了几分钟．
22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围．
23．某学校举办科技比赛，分为理论知识和实操技能两项内容，随机抽取了40名学生，获得了他们两项内容的成绩（百分制），对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．理论知识成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，；
．理论知识成绩在这一组的是：
70 71 73 74 74 75 76 76 77 78 79
．理论知识和实操技能两项内容成绩的平均数、中位数：
平均数 中位数
理论知识 77
实操技能 76 78
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的值为　　 ；
（2）记理论知识成绩超过平均数的人数为，实操技能成绩超过平均数的人数为，则　　 （填“”“ ”或“” ；
（3）在此次测试中，甲、乙、丙、丁四位学生的成绩如下：
甲 乙 丙 丁
理论知识 79 80 76 76
实操技能 80 80 84 83
根据两项内容的成绩计算加权成绩，计算方式如下：加权成绩理论知识成绩实操技能成绩．则这四位学生中加权成绩最高的是　　 （填“甲”“乙”或“丙” ．
24．如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点，过点作的切线，过点作于点，交于点．
（1）求证：；
（2）连接，，交于点．若，，求的半径．
25．某小组研究了用燃气灶烧水的节约燃气策略．每次烧水用同一台燃气灶，同一个壶，并装有相同质量、相同温度的水．将燃气灶点火后，调到最小火力，从最小火力往最大火力调节的过程中，旋钮旋转的角度为（单位：度）．分别记录了取不同值时，壶中的水烧开所用的燃气量（单位：的值，部分数据如下：
10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.71 0.48 0.31 0.20 0.14 0.13 0.15 0.22
已知当燃气灶旋钮旋转角度大于60度时，壶中的水烧开所用的燃气量随旋转角度的增大而增大，并且增大的速度越来越快．
（1）写出表中的值（结果保留小数点后两位）；
（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当燃气灶旋钮旋转角度约为　　 度（结果保留整数）时，壶中的水烧开所用的燃气量最小；
②已知该燃气灶旋钮旋转的角度为90度时，火力最大，壶中的水烧开用时最少．综合考虑壶中的水烧开所用的燃气量和时间，我们认为，壶中的水烧开所用的燃气量比火力最大时所用的燃气量至少低时，对应的旋转角度为理想旋转角度，则的取值范围约是　　 ．
26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
（1）求的值，并用含的式子表示；
（2）已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，求的取值范围．
27．在△中，，，点在射线上，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段（点与点不重合），过点作交直线于点．
（1）如图1，点与点重合，求证：；
（2）如图2，点在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段．
（1）如图，在点中，点　　 是的关联点；
（2）已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是　　 ；
（3）直线分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围．
参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．我国生成式人工智能用户规模快速提升．中国互联网络信息中心发布的第五十七次《中国互联网络发展状况统计报告》显示：截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达6.02亿人．将602000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
解：．
故选：．
2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱
解：根据主视图和左视图都是长方形及由俯视图为圆可知：该几何体是圆柱．
故选：．
3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：由数轴可知，，，
，，
，，，
故只有选项正确，
故选：．
4．如图，平分，于点，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
解：平分，于点，
，
．
，
．
．
故选：．
5．小强和小明每人要从甲、乙两个社区中随机选择一个社区参加社会实践活动，那么小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：小强和小明每人要从甲、乙两个社区中随机选择一个社区参加社会实践活动，列表如下：
小强 小明 甲 乙
甲 甲甲 乙甲
乙 甲乙 乙乙
共有4种等可能的结果，小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的有2种情况，
小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的概率为，
故选：．
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
解：由题意得，△，
整理得，
解得．
故选：．
7．如图，，是上两点，，．若，是正边形的两条邻边，则的值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
解：作出圆心，连接，，
，
，
，
，
，
正边形的一边所对的圆心角为，
．
故选：．
8．如图，在平面直角坐标系中，点，在第一象限，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，函数的图象交于点，交于点，连接，将△沿翻折得到△．给出下面四个结论：
①连接，，则△与△的面积可能相等；
②；
③有且只有一个点，使得点在轴上；
④连接，若点在轴上，则．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
解：由条件可知，
由反比例函数的几何意义可得，，
，
，
若，则，即，
但，
令，得，
则，则，与矛盾，①错误，不符合题意；
由翻折得，，，
，，
，②正确，符合题意；
若点在轴上，设，
，，
，，
解①：展开得，，
消去得，，
乘以得，；
解②：展开得，，
消去得，，
乘以得；
联立，
化简得，
把它看作关于的一元二次方程，，
解得，
，，
，
其中，可以取取值范围内的任意值，即满足条件的点有无数个，而不仅有一个点，③错误，不符合题意；
当点在轴上时，由③得，，
，
，
，
，
，即，
，
，④正确，符合题意；
故选：．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
解：代数式有意义，
实数的取值范围是：．
故答案为：．
10．分解因式：　　．
解：原式
，
故答案为：．
11．方程的解为 ．
解：，
，
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
故答案为：．
12．某学校有甲、乙两支国旗护卫队．两队都是9人，学生的身高（单位：数据如表所示：
甲队学生的身高 179 179 180 180 180 180 180 181 181
乙队学生的身高 178 179 179 180 180 180 180 181 182
如果学生的身高的方差越小，则认为该队学生的身高越整齐．按照这个标准，学生的身高更整齐的是　甲　 队（填“甲”或“乙” ．
解：乙的平均数，，
甲的平均数，
，
，
，
甲队学生身高的方差更小，甲队学生身高更整齐．
故答案为：甲．
13．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为（答案不唯一）　 ，　　 ．
解：当，时，
可得：，满足条件，
，，
，
不满足，
可以说明该命题是假命题．
故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）．
14．如图，是的直径，，，是上的点，，交于点．若，则的大小为　47　 ．
解：是的直径，
，
，
，
，
（圆周角定理），
，
（两直线平行，内错角相等），
故答案为：47．
15．如图所示的网格是正方形网格，则　45　 （点，，是网格线交点）．
解：如图所示，连接，，，
设小网格的边长为1，
，，，
，
，，
，，
，
．
故答案为：45．
16．两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下：
①两名同学轮流取棋子；
②每次至少取走一颗棋子；
③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定；
④取走最后一颗棋子的同学获胜．
例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子．
（1）如果一共有6颗棋子，两名同学约定每次最多取走3颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走　2　 颗棋子；
（2）如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走　　 颗棋子．
解：（1）游戏规则如下：
①两名同学轮流取棋子；
②每次至少取走一颗棋子；
③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定；
④取走最后一颗棋子的同学获胜．
已知总棋子数为6，每次最多取3颗，
由，，余数为2，
先手首次应该取走2颗棋子．
剩余4颗棋子，之后无论对手取颗，先手取颗，一轮共取走4颗，先手可取走最后一颗获胜．
（2）已知总棋子数为28，每次最多取4颗，
由，，余数为3，
因此先手首次应该取走3颗棋子．
剩余25颗棋子，之后无论对手取颗，先手取颗，每轮共取走5颗，经过5轮后，先手可取走最后一颗获胜．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．计算：．
解：
．
18．解不等式组：．
解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
故不等式组的解集为．
19．已知，求代数式的值．
解：根据题意可知，，
原式
．
20．如图，在中，，分别是，的中点，于点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，分别是，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
，，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
．
21．用某类充电桩充电时，充电过程分为快速和慢速两个阶段，给型新能源汽车在电量为的情况下充电．技术改进前，充满电需用时80分钟；技术改进后，充满电需用时52分钟，其中快速充电阶段用时减少了，慢速充电阶段用时减少了，求快速充电阶段用时减少了几分钟．
解：技术改进前，充满电需用时80分钟；技术改进后，充满电需用时52分钟，其中快速充电阶段用时减少了，
设技术改进前快速充电阶段用时为分钟，慢速充电阶段用时为分钟．
根据题意可得，
解得：，
因此快速充电阶段减少的用时为（分钟），
答：快速充电阶段用时减少了16分钟．
22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围．
解：（1）由条件可得：
，
解得：；
（2）由（1）可知，，
，，
根据题意，当时，恒成立，
拆分不等式得，
整理①得：，要求所有都满足该不等式，因此，即，
整理②得：，
综上可得的取值范围是．
23．某学校举办科技比赛，分为理论知识和实操技能两项内容，随机抽取了40名学生，获得了他们两项内容的成绩（百分制），对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．理论知识成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，；
．理论知识成绩在这一组的是：
70 71 73 74 74 75 76 76 77 78 79
．理论知识和实操技能两项内容成绩的平均数、中位数：
平均数 中位数
理论知识 77
实操技能 76 78
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的值为　76　 ；
（2）记理论知识成绩超过平均数的人数为，实操技能成绩超过平均数的人数为，则　　 （填“”“ ”或“” ；
（3）在此次测试中，甲、乙、丙、丁四位学生的成绩如下：
甲 乙 丙 丁
理论知识 79 80 76 76
实操技能 80 80 84 83
根据两项内容的成绩计算加权成绩，计算方式如下：加权成绩理论知识成绩实操技能成绩．则这四位学生中加权成绩最高的是　　 （填“甲”“乙”或“丙” ．
解：（1）由直方图得各组频数：，
，
，
，
，
一共40个数据，中位数为第20、21个数的平均数，
对应数据76、76，
，
故答案为：76；
（2）理论平均分77，超77分：，即，
实操中位数（平均分），
中位数是第20、21位数据，说明大于76分的人数多于20，
即，
；
故答案为：；
（3）加权成绩理论实操，
甲：，
乙：，
丙：，
丁：，
加权最高为丙，
故答案为：丙．
24．如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点，过点作的切线，过点作于点，交于点．
（1）求证：；
（2）连接，，交于点．若，，求的半径．
【解答】（1）证明：点是的中点，
根据垂径定理得：，
是的切线，切点为，
，
，
，
于点，
，
；
（2）解：连接，如图所示：
点，都在上，且，
是的直径，
点在上，
，
，
，
，
△△，
，
设，，
，点是的中点，
是△的中位线，
，
，
，
在△中，，
由勾股定理得：，
在△中，，，
由勾股定理得：，
，
，
的半径为3．
25．某小组研究了用燃气灶烧水的节约燃气策略．每次烧水用同一台燃气灶，同一个壶，并装有相同质量、相同温度的水．将燃气灶点火后，调到最小火力，从最小火力往最大火力调节的过程中，旋钮旋转的角度为（单位：度）．分别记录了取不同值时，壶中的水烧开所用的燃气量（单位：的值，部分数据如下：
10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.71 0.48 0.31 0.20 0.14 0.13 0.15 0.22
已知当燃气灶旋钮旋转角度大于60度时，壶中的水烧开所用的燃气量随旋转角度的增大而增大，并且增大的速度越来越快．
（1）写出表中的值（结果保留小数点后两位）；
（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当燃气灶旋钮旋转角度约为　60　 度（结果保留整数）时，壶中的水烧开所用的燃气量最小；
②已知该燃气灶旋钮旋转的角度为90度时，火力最大，壶中的水烧开用时最少．综合考虑壶中的水烧开所用的燃气量和时间，我们认为，壶中的水烧开所用的燃气量比火力最大时所用的燃气量至少低时，对应的旋转角度为理想旋转角度，则的取值范围约是　　 ．
解：（1）时，随增大而增大，且增大速度越来越快（即相邻的增量逐渐变大），
时，，时，，增量为；
因此的增量大于0.02，得；
的增量大于的增量，得，即，
；
（2）
（3）①观察数据，在时取得最小值0.13，因此约60度均合理）时燃气量最小，
故答案为：60；
②火力最大时，要求燃气量至少低，
即满足，
函数在时，随增大而减小，因此时，，时，；
函数在时，随增大而增大，并且增大的速度越来越快，
因此结合函数图象时，，时；
因此的取值范围约为，
故答案为：．
26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
（1）求的值，并用含的式子表示；
（2）已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，求的取值范围．
解：（1）由题意可得：
，
，
；
（2）已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，
，，
抛物线的解析式为：，
当时，，当时，，
抛物线过点和，
分两种情况讨论：
当时，如图所示：
抛物线与线段恰有一个公共点，
，
解得：，
；
当时，如图所示：
抛物线与线段恰有一个公共点，
，
解得：，
；
综上分析可得：或．
27．在△中，，，点在射线上，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段（点与点不重合），过点作交直线于点．
（1）如图1，点与点重合，求证：；
（2）如图2，点在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：点与点重合，由旋转的性质得，，
，，
，，
，
，
，
，
，
△△，
；
（2）解：，证明：
如图，延长到点，使得，连结，
，即，
垂直平分，
，
，
，
由旋转的性质得，，
，
，
在△与△中，
，
△△，
，，
，
，，
，
，
，
．
28．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段．
（1）如图，在点中，点， 是的关联点；
（2）已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是　　 ；
（3）直线分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围．
解：（1）由关联点的定义可得：若点是的关联点，即上存在点，使得点、能关于的某条弦所在的直线对称，的某条弦所在的直线是对称轴，
我们来寻找关联点的临界位置：如图，点为上的一点，过点作的直径，
临界状态为：当对称轴为过点的的切线时，此时点、关于对称，
，
，
临界位置的点是在以点为圆心，以3为半径的圆上的，
此时对称轴是的切线，不是的弦，
的关联点为以点为圆心，以3为半径的圆内的点，并不包括圆上的点，
若点是的关联点，则，
，，，
，，，
点，为关联点，不是关联点，
故答案为：，；
（2）作与关于弦对称，如图所示：
上的点是的关联点，关联线段为弦，
连接，并延长交于点，，
为最小值，为最大值，
点，，
，
，，
，
故答案为：；
（3）由（1）得：的关联点为以点为圆心，以3为半径的圆内的点，
当线段上存在的关联点时，即要使线段与以点为圆心，以3为半径的圆有两个交点，
当线段与以点为圆心，以3为半径的圆相切时，切点为，连接，如图所示：
，，
直线的解析式为，
令，得；令，得，解得：，
，，
，
，，
，，
，
，
解得：，
在△中，，
，
当时，线段上存在的关联点，
中最长的弦为的直径，的直径为2，
线段上存在的关联点与的关联线段一定小于等于2，
记这些点与的关联线段长的最大值为，
，
，
也一定成立，
综上：即可使线段上存在的关联点，且关联线段长的最大值为满足．

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