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13.3.1.2 直角三角形的内角四大题型 一例三练（学生版）
（2026年7月）
【题型1 运用直角三角形的性质解题】 2
【题型2 运用直角三角形的判定解题】 3
【题型3 直角三角形与中线及高线的综合运用】 4
【题型4 直角三角形与实际问题相结合】 7
知识点1 直角三角形的性质
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
符号表示：在△ABC 中，∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°．
知识点2 直角三角形的判定
直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
符号表示：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,
∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形
知识点3 直角三角形导角模型
若∠A=∠C=90°
则∠B=∠D
【题型1 运用直角三角形的性质解题】
【例1】在中，平分，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】如图，在中，，点在上，沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图，在中，是斜边上的高，，则为________．
【变式1-3】如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为_________．
【题型2 运用直角三角形的判定解题】
【例2】下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．是边上的高
【变式2-1】如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形．
【变式2-2】如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形．
【变式2-3】如图，在中，D为上一点，，．
(1)判断的形状；
(2)判断是否与垂直．
【题型3 直角三角形与中线及高线的综合运用】
【例3】如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的大小为________．
【变式3-1】如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④.其中正确结论的序号是______.
【变式3-2】如图，在中，，于，平分交于，交于F．
(1)如果，求的度数；
(2)试说明：．
【变式3-3】已知：在中，，平分交于点．

(1)如图①，于点，若，求的度数；
(2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）；
(3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；
(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．
试卷第2页，共3页
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【题型4 直角三角形与实际问题相结合】
【例4】一个小长方体木块静止在斜面上，其受力分析如图，重力的方向与水平地面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若此时光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】如图，有两根竹竿和斜靠在墙上．若测得，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
13.3.1.1 三角形的内角四大题型 一例三练（教师版）
（2026年7月）
【题型1 运用直角三角形的性质解题】 10
【题型2 运用直角三角形的判定解题】 13
【题型3 直角三角形与中线及高线的综合运用】 16
【题型4 直角三角形与实际问题相结合】 21
知识点1 直角三角形的性质
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
符号表示：在△ABC 中，∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°．
知识点2 直角三角形的判定
直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
符号表示：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,
∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形
知识点3 直角三角形导角模型
若∠A=∠C=90°
则∠B=∠D
【题型1 运用直角三角形的性质解题】
【例1】在中，平分，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查直角三角形的性质（两锐角互余）以及角平分线的定义，先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数．
【详解】解：在中，，，
,
平分，
．
故选：B．
【变式1-1】如图，在中，，点在上，沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系．由折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应边相等，对应角相等可知，,,,根据已知条件运用三角形内角和定理求解即可；
【详解】解：由折叠的性质可知,,，
∵，，
，
∴，
由图可知，
即．
故选：C．
【变式1-2】如图，在中，是斜边上的高，，则为________．
【答案】35
【分析】根据直角三角形两锐角互余，结合同角的余角相等可得．
【详解】解：∵在中，是斜边上的高，
∴，
∴，
∴．
【变式1-3】如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为_________．
【答案】
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，根据直角三角形两锐角互余得出，利用角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题型2 运用直角三角形的判定解题】
【例2】下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．是边上的高
【答案】 C
【详解】解：对于选项A：由可得，根据三角形内角和定理可得，则是直角三角形，故A不符合题意；
对于选项B：∵，
又∵，
∴，即，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
对于选项C：∵，
设
∴，
∴、、无法构成三角形，故C符合题意；
对于选项D：∵是边上的高，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故D不符合题意．
【变式2-1】如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形．
【答案】直角
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键．
根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论．
【详解】解：在中，，
，
，
，
，
是直角三角形．
故答案为：直角．
【变式2-2】如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可．
【详解】证明： ，
，
，，
，，
，，
，
是直角三角形．
【变式2-3】如图，在中，D为上一点，，．
(1)判断的形状；
(2)判断是否与垂直．
【答案】(1)是直角三角形
(2)
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴．
【题型3 直角三角形与中线及高线的综合运用】
【例3】如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的大小为________．
【答案】58
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和问题、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由得到，根据角平分线的定义得到，设，表示出和，再利用三角形内角和定理列出方程，解出的值，即可求出的大小．
【详解】解：，
，
，
是的角平分线，
，
设，则，，
，
，
，
解得：，
．
故答案为：58．
【变式3-1】如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④.其中正确结论的序号是______.
【答案】①②③
【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度．
【详解】解： 是的中线
的面积等于的面积
故正确；
，是的高
，
是的角平分线
∴
又
故正确；
故正确；
故错误；
故答案为：①②③．
【变式3-2】如图，在中，，于，平分交于，交于F．
(1)如果，求的度数；
(2)试说明：．
【答案】（1）解：，，
，
平分交于，
，
；
(2)证明：，
，
，
，
，
平分交于，
，
，
，
．
【变式3-3】已知：在中，，平分交于点．

(1)如图①，于点，若，求的度数；
(2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）；
(3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；
(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由试卷第2页，共3页
试卷第19页，共13页
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)的度数不会发生改变，理由见解析
【详解】（1）解：∵在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，
；
（2）由（1）可知，，
∴当时，
∴；
（3）∵，而，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（4）的度数大小不发生改变．理由如下：
∵，，
∴，
∴．
【题型4 直角三角形与实际问题相结合】
【例4】一个小长方体木块静止在斜面上，其受力分析如图，重力的方向与水平地面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】重力与水平地面垂直，得．由，得，由对顶角得．摩擦力与斜面平行，故．支持力与斜面垂直，即与垂直，得．由周角得．
【详解】解：如图，设重力的作用线与斜面交于点，与水平地面交于点．
∵重力的方向与水平地面垂直，
∴．
，
∴．
．
摩擦力的方向与斜面平行，
，
支持力的方向与斜面垂直，
支持力的方向与摩擦力的方向垂直，
，
．
【变式4-1】如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据邻补角互补求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
【变式4-2】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若此时光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得，代入数据计算即可求解．
【详解】解：∵集热板与太阳光线垂直，
∴，
∵，
∴．
【变式4-3】如图，有两根竹竿和斜靠在墙上．若测得，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质和角的和差计算，掌握直角三角形中两锐角互余的性质是解题的关键．
利用直角三角形两锐角互余的性质，分别求出和的度数，再通过角的差计算．
【详解】解：在中：，
根据两锐角互余：
在中：，
根据两锐角互余：
故选：B．

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