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北京市海淀区2025-2026学年高二下学期期末考试
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1. 已知是等差数列，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数，则（ ）
A. B. C. 0 D.
3. 从中任取两个不同的数，组成有序数对．在平面直角坐标系中，以为坐标的点位于第一象限的个数为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是等比数列，其前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是（ ）
A. 在区间上单调递增
B. 在处取得极大值
C. 有3个极值点
D.
6. 目前某城市无人机配送已实现常态化运营．随机抽取2000份无人机配送的订单，其中药品订单有500份，在这批药品订单中有150份是在10分钟内送达的应急订单．用频率估计概率．在一份订单是药品订单的条件下，它是在10分钟内送达的应急订单的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数存在单调递减区间，则其导函数可能为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数恰有一个极值点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9. 设是各项均不为0的无穷等差数列，公差为．记，则“”是“有最小值”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 已知函数，．下列结论中正确的是（ ）
A. ，使得对任意实数x，恒成立
B. ，使得方程恰有3个不同的实数根
C. ，函数存在最小值
D. ，函数在上单调递减
二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分．
11. 在的展开式中，的系数是________．（用数字作答）
12. 某学校科技活动室有2台跑步机器人，2台扫地机器人．工作人员随机选取2台机器人做功能测试，设所选取的2台机器人中扫地机器人的台数为，则随机变量的数学期望的值为________．
13. 已知无穷等比数列的前项和为，且是递减数列，是递增数列．写出满足条件的一个数列的通项公式________．
14. 已知函数．当时，的单调递增区间为________；若至少有2个零点，则的取值范围是________．
15. 已知数列的前项和为，且，，，给出下列四个结论：
①当时，为递减数列；
②存在实数m，不是等比数列；
③当时，；
④当时，，，当时，都有．
其中正确结论的序号是________．
三、解答题：共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最值．
17. 某学校组织生物小组开展航天育种实践活动，选取辣椒、番茄、大豆三类作物作为研究对象，为此购买了一批种子．生物小组为了研究这批种子的发芽情况，从每类作物的种子中各选取100粒太空种子和100粒普通种子进行对比试验，统计结果如下：
发芽的太空种子数 发芽的普通种子数
辣椒 90 83
番茄 88 82
大豆 91 85
假设每粒种子是否发芽相互独立，用频率估计概率．
（1）估计这批太空辣椒种子发芽的概率；
（2）某同学从这批太空辣椒种子中，再随机选取3粒种子进行发芽实验，记发芽的种子数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）某同学设计了每类作物种子的混合方案如下：
方案①：将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1∶2的比例混合；
方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1∶3的比例混合；
方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2∶3的比例混合．
上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是_________．（直接写出序号）
18. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求实数的最小值；
（3）求证：对任意的，都有．
19. 已知无穷数列，满足：对任意整数，或，称为的伴随数列．
（1）若，为的伴随数列，写出的所有可能值；
（2）若，各项均为非负实数，且为的伴随数列，求的最小值；
（3）若为的伴随数列，且为的伴随数列，，，．任意给定正整数，对所有满足题意的数列，，集合中元素个数的最大值记为．求的通项公式．北京市海淀区2025-2026学年高二下学期期末考试
数学参考答案
1. C【解析】设等差数列的公差为，
由，得，
因为，所以，解得，
所以．
2. A【解析】由，则，
所以.
3. C【解析】平面直角坐标系中，第一象限内的点满足横坐标且纵坐标，
给出的数中，大于的数为，共个，要求选取两个不同的数组成有序数对，
选横坐标：从个正数中任选1个，共种选法
选纵坐标：由于为不同的数，故从剩余个正数中任选个，共种选法，
根据分步乘法计数原理，符合条件的点的总个数为．
4. C【解析】根据等比数列的通项公式，
已知，，
则，，
等比数列前项和公式为，
则，
又，，
则.
5. D【解析】，，在区间上单调递减，选项A错误；
时，，当时，，当时，，
所以不是极值点，选项B错误；
的3个零点，，，
当时，，当时，，不是极值点，
当时，，当时，，是极小值点，
当时，，当时，，是极大值点，
有个极值点，选项C错误；
，，在区间上单调递增，，选项D正确.
6. D【解析】由题意得，在一份订单是药品订单的条件下，它是在10分钟内送达的应急订单的概率是.
7. C【解析】对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，
所以函数在定义域内单调递增，故A错误；
对于选项B：因为，所以函数在定义域内单调递增，故B错误；
对于选项C：因为，所以函数存在单调递减区间，故C正确；
对于选项D：因为的定义域为，
当时，则，可得，即；
当时，则，可得，即；
综上所述：，所以函数在定义域内单调递增，故D错误.
8. B【解析】当时，，所以在上单调递增，无极值点，
当时，，当时，，在上单调递减，
又在上单调递增，且函数图象为一条连续曲线，
所以是函数唯一的极值点；
当时，令，则（舍去），
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且函数图象为一条连续曲线，
所以函数有两个极值点，分别为和，不符合题意，
综上，的取值范围为.
9. B【解析】充分性判断：取，，所有项都不为0，符合题意，此时，
当为奇数且不断增大时，会无限减小，没有下界，因此没有最小值，
即“”不是“有最小值”的充分条件；
必要性判断：假设，无穷等差数列单调递减，必然存在正整数，当时，所有，
且随增大趋向正无穷。 此时对于大于的奇数，为负数，且随增大无限增大，
即会无限减小趋向负无穷，没有最小值， 因此若有最小值，必然，
即“”是“有最小值”的必要条件；
综上，""是"有最小值"的必要不充分条件.
10. B【解析】对A，因为，所以A错；
对B，显然有一个解是，
时，设，则，
设 ，则，由得，
时，，递增，时，，递减，
所以，
当时，，当时，，
当时，，所以存在两个零点，设为，
则当或时，，递减，当时，，递增，
又当时，，当时，，所以可能有三个零点，
例如当时，，即方程恰有3个不同的实数根，其中，B正确；
对C，设，
则，
令得，解得或，
若，则当或时，，递减，时，，递增，
所以在时取得极小值，在时取得极大值，
又时，的衰减速度远快于二次函数增长速度，极限为0，，
时，，，当时，，
所以不是最小值，即无最小值；C错.
对D，若，则，则在和上单调递减，在上单调递增，
所以在上不是单调递减，D错.
11. 15【解析】在的展开式中，含的项为，其系数为15.
12. 【解析】随机变量的可能取值为，
，、
，
，
.
13. （答案不唯一）【解析】设等比数列的公比为，：
因是递增数列，故对任意，有，
即数列的所有项均为正数，因此，.
又是递减数列，故，因此.
如，
验证递减：，满足条件；
验证递增：前项和，，满足条件.
14. 【解析】当时，，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以的单调递增区间为；
当时，，满足至少有2个零点；
当时，令，
设，则，
所以在处的切线斜率为1，
所以当时，与只有一个交点，如图所示，
所以当时，与至少有两个交点，如图所示，
所以．
15. ②④【解析】已知时，，且，，
所以，整理得，即，
即是等比数列，公比为，
结合 ，得 ，
进一步得时 .
① 当时，，，数列是 正负交替，
，不是递减数列，①错误；
② 当时，，，数列为 ，不是等比数列，②正确；
③ 当时，，，
因为,，所以，所以，③错误；
④ 当时，，时 ，当时，，
因此对任意大的，总能找到足够大的，使得时，④正确.
16. （1）函数的定义域为，
求导得： .
令，即，解得或.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
因此的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增.
当时，在处取得极小值，即最小值，为.
又， ，
所以在上的最小值为，最大值为.
17. （1）这批太空辣椒种子发芽的概率为；
（2）的所有可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
；
（3）对于方案①，由题可知太空辣椒种子发芽的概率为，普通辣椒种子发芽的概率为，
将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1∶2的比例混合后发芽的概率为，
同理对于方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1∶3的比例混合后发芽的概率为
；
方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2∶3的比例混合后发芽的概率为，
故上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是①③
18. （1），
因为，所以曲线在处的切线方程为；
（2），即在上恒成立，
则在上恒成立，
则在上恒成立，
令，则，
令，
若，则在上恒成立，不符合题意；
若，则的对称轴为，
若，则，则，
则在上单调递增，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，
若，即，则在上存在一个零点，
则当时，，在上单调递增，
则，不符合题意；
若，即，则，在上恒成立，
则在上单调递减，则，符合题意，
综上，实数的最小值为；
（3）因为，
则当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
则，
又，且时，故，
欲证对任意的，都有，
只需证对任意的，都有，
只需证对任意的，都有，
令，，则，
则在上单调递减，则，命题得证.
19. （1）由已知，所以或；
（2）因为为的伴随数列，
所以对任意整数，或，注意到是非负实数，
，所以.
从而，
取，则，此时为的伴随数列，且
，因此的最小值为35.
（3）对任何整数，
可知与的奇偶性相同，与的奇偶性相同，
又因为，即与的奇偶性相同，
因此与的奇偶性相同.
由题意，和的各项的奇偶性由决定，如下表:
1 2 3 4 5 6 7 8 …
奇 偶 偶 偶 奇 偶 奇 偶
奇 奇 奇 偶 偶 奇 奇 奇
根据上表可知，当且仅当时，奇偶性相同.
对任意正整数，设，
当，且时，与奇偶性相同，所以.
又因为，
所以，
因此集合的元素个数小于等于.
另一方面，构造数列和如下：
，
.
满足为的伴随数列，且为的伴随数列，
且对于任意的自然数，都有，
因为，
所以，
因此集合的元素个数等于.
综上，，这里满足.

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