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2025-2026学年吉林省四平市铁东区八年级（上）期末数学试卷
一、单项选择题（每小题3分，共18分）
1．（3分）下列各式计算正确的是（　　）
A．a2 a4＝a8 B．2a2+3a2＝5a2
C．a6÷a3＝a2 D．（2xy）3＝6x3y3
2．（3分）若把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则该分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的1.5倍
3．（3分）一个三角形两边长分别为3cm和6cm，则该三角形的第三边可能是（　　）
A．1cm B．3cm C．7cm D．10cm
4．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，AB＝AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
5．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB，AC分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E．作射线AE与边BC交于点D．若∠C＝38°，则∠ADC的度数为（　　）
A．116° B．120° C．128° D．142°
6．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE的大小是（　　）
A．24° B．30° C．32° D．36°
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．（3分）分解因式a2b+a的结果为　 　 ．
8．（3分）人体中成熟的红细胞的平均直径为0.0000077米，用科学记数法表示为 　 　 米．
9．（3分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝37°，则∠2＝　 　 ．
10．（3分）等腰三角形的一个角等于40°，则另外两个角的度数分别是　 　 ．
11．（3分）借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，∠O为∠BDE的三等分角，若∠BDE＝81°，则∠CDE的度数是　 　 ．
三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题6分，18-19每小题6分，20-21每小题6分，22题12分，共87分）
12．（6分）计算：
（1）a a3+（a2）2+（2a）4；
（2）（x+3）2+（x+2）（x﹣2）．
13．（6分）先化简，再求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）2，其中，b＝﹣1．
14．（6分）求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差（2n+1）2﹣（2n﹣1）2是8的倍数．
15．（7分）某服装制造厂要在开学前赶制3000套校服，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的校服比原计划多20%，结果提前4天完成任务，问原计划每天能完成多少套校服？
16．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝75°，∠C＝36°，求∠BDE的度数．
17．（7分）如图（单位：米），和谐广场有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，角上有两块边长为（a﹣b）米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．
（1）用含有a，b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）．
（2）若a＝40，b＝20，求出绿化的总面积．
18．（8分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，连接AE．
（1）填空：图中有一组全等三角形为　 　 ；
（2）证明（1）的结论；
（3）若AD＝2.5，DE＝1.7，求四边形ACBE的面积．
19．（8分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
（2）如果三角形三个顶点都在格点处的三角形被称为“格点三角形”．那么请在图2中作出以AC为边与△ABC全等的格点三角形；
（3）在图3中直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．
20．（10分）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：　 　 ．
（2）若图1中a、b满足a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值；
（3）如图2，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC＝8，两正方形面积和S1+S2＝40，求图中阴影部分面积．
21．（10分）已知在等边△ABC中，D为直线BC上的一动点（点D不与点B，C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．
【发现问题】如图①，当点D在边BC上时：BD和CE之间的数量关系是　 　 ；
【探究问题】如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，写出BC，CE，CD之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】如图③，在△ABC中，AB＝AC且∠BAC＝40°，当点D在CB的延长线上时，作等腰△ADE，AD＝AE，∠DAE＝40°，若BC＝8，CE＝3，则CD＝　 　 ，∠BCE＝　 　 °．
22．（12分）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝27°，点D为BC的中点，连结AD．点P在线段BC上从点B出发向点C运动，当点P不与点B、C重合时，连结AP．设∠BAP＝x°．
（1）∠BAD的度数为 　 　 ．
（2）当△ABP是钝角三角形时，求x的取值范围．
（3）当△ABP是轴对称图形时，求x的值．
（4）如图②，作点B关于直线AP的对称点B′，连结AB′、PB′，当△APB′与△ABC重叠部分为轴对称图形时，直接写出x的值．
2025-2026学年吉林省四平市铁东区八年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C C A A C
7.a（ab+1） 8.7.7×10﹣6 9.53° 10.100°，40°或70°，70° 11.72°
选择题、填空题解法提示
6．解：∵EF是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB，
∵∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB（180°﹣60°﹣24°）＝32°．
故选：C．
11．解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，
∴∠DEC＝2∠O，
∴∠BDE＝∠O+2∠DEC＝3∠O＝81°，
∴∠O＝27°，
∴∠DCE＝∠DEC＝54°，
∴∠CDE＝180°﹣∠DCE﹣∠DEC＝72°，
故答案为：72°．
解答题参考答案
12．解：（1）原式＝a4+a4+16a4
＝18a4；
（2）原式＝x2+6x+9+x2﹣4
＝2x2+6x+5．
13．解：原式＝a2﹣2ab﹣b2﹣（a2+2ab+b2）
＝a2﹣2ab﹣b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝﹣4ab﹣2b2；
当，b＝﹣1 时，
原式＝﹣4（﹣1）﹣2×（﹣1）2
＝2﹣2
＝0．
14．解：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝4n×2
＝8n，
∴当n是整数时，两个连续奇数的平方差（2n+1）2﹣（2n﹣1）2是8的倍数．
15．解：设原计划每天生产x套校服，则实际每天生产（1+20%）x套校服，
由题意得，4，
解得：x＝125，
经检验：x＝125是原分式方程的解，且符合题意．
答：原计划每天生产125套校服．
16．（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE；
（2）解：在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝36°
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣36°＝69°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠CBD＝34.5°．
17．解：（1）绿化的总面积＝（3a+b）（2a+b）﹣2（a﹣b）2
＝6a2+5ab+b2﹣2（a2﹣2ab+b2）
＝6a2+5ab+b2﹣2a2+4ab﹣2b2
＝（4a2+9ab﹣b2）平方米，
答：绿化的总面积为（4a2+9ab﹣b2）平方米；
（2）当a＝40，b＝20时，
原式＝4×402+9×40×20﹣202＝13200，
答：绿化的总面积为13200平方米．
18．（1）解：由题意可得：图中有一组全等三角形为△ACD≌△CBE，
故答案为：△ACD≌△CBE；
（2）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°（垂直的定义），
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等），
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（3）解：∵△ACD≌△CBE，AD＝2.5，
∴CE＝AD＝2.5，BE＝CD（全等三角形对应边相等），
∵DE＝1.7，
∴BE＝CD＝2.5﹣1.7＝0.8，
∴即四边形ACBE的面积为4.125．
19．解：（1）如图，△AB′C′即为所求；
（2）如图所示，可以作3个；
（3）如图，点P即为所求．
20．（1）图1中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为a，b的小正方形的面积之和，即a2+b2，
也可表示为边长是a+b的大正方形的面积减去两个长、宽分别为a，b的小长方形的面积，即（a+b）2﹣2ab．
∴等量关系为a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
（2）∵a+b＝7，ab＝10，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×10＝29．
（3）设AC＝x，BC＝y，
∵AC+BC＝8，S1+S2＝40，
∴，
∴xy（82﹣40）＝12．
∴阴影部分的面积为xy＝6．
21．解：【发现问题】∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
故答案为：BD＝CE；
【探究问题】BC+CD＝CE；理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE＝∠CAD+60°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∵BD＝BC+CD，
∴BC+CD＝CE；
【拓展延伸】∵AB＝AC，AD＝AE，
又∵∠BAC＝∠DAE＝40°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，BD＝CE，
∵BC＝8，CE＝3，
∴BD＝3，
∴CD＝BC+BD＝8+3＝11，
∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ABD＝∠ACE＝180°﹣70°＝110°，
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：11；40．
22．解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝27°，点D为BC的中点，连结AD，
∴∠C＝∠B＝27°，
即∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C＝126°，
∴，
即∠BAD的度数为63°，
故答案为：63°；
（2）当∠APB为钝角，即90°＜∠APB＜180°，
∵180°﹣∠B﹣∠PAB＝∠APB，∠BAP＝x°，
∴90°＜180°﹣27°﹣x°＜180°，
即0＜x＜63，
当∠PAB为钝角，
∵180°＝∠PAB+∠APB+∠B，
∴90°＜x°＜180°﹣27°＝153°，
∵点P在线段BC上从点B出发向点C运动，当点P不与点B、C重合时，
∴当点P与点C重合时，∠PAB＝180°﹣27°﹣27°＝126°，
∴90°＜∠PAB＜126°
即90＜x＜126；
综上：当△ABP是钝角三角形时，x的取值范围为0＜x＜63或90＜x＜126；
（3）当△ABP是轴对称图形时，如图1，
即△ABP是等腰三角形，
当AP＝BP时，∠ABP＝∠BAP＝27°，则x＝27；
当AB＝AP时，∠ABP＝∠APB＝27°，则∠BAP＝180°﹣27°﹣27°＝126°，
此时点P与点C重合，故舍去；
当AB＝BP时，，则x＝76.5；
综上：当△ABP是轴对称图形时，x的值为27或76.5；
（4）作点B关于直线AP的对称点B′，连结AB′、PB′，当△APB′与△ABC重叠部分为轴对称图形时，
点P在BD上时，记AB′与BD的交点为E，如图2，
∵作点B关于直线AP的对称点B′，
∴∠BAP＝∠EAP＝x°，
当AP＝AE时，，
∵∠APE＝∠B+∠BAP＝27°+x°，
则，
解得x＝42；
当AP＝PE时，则，
即x＝51；
点P在CD上时，记PB′与AC的交点为E，如图3，
易知∠BAP＝∠B′AP＝x°，
则∠EAB′＝∠BAB′﹣∠BAC＝2x°﹣126°，
那么∠AEP＝∠B′+∠EAB′＝27°+2x°﹣126°＝2x°﹣99°，
则∠APB′＝∠ABP＝180°﹣27°﹣x°＝153°﹣x°，
∠PAC＝∠PAB′﹣∠EAB′＝x°﹣（2x°﹣126°）＝126°﹣x°，
当AP＝AE时，则∠AEP＝∠APB′，2x°﹣99°＝153°﹣x°，解得x＝84；
当AP＝PE时，则∠PAC＝∠APB′，126°﹣x°＝153°﹣x°，此时x不存在；
当PE＝AE时，则∠PAC＝∠APB′，126°﹣x°＝2x°﹣99°，解得x＝75；
综上：当△APB′与△ABC重叠部分为轴对称图形时，x的值为42或51或84或75．
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