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2025-2026学年山东省德州市德城区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（共10个小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列图案都是由五个大小相同的小正方形组成的，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）“月壤”是月球表面上的一层细腻沙土，平均粒径约为0.000015m，具有极高的科研价值．数据0.000015用科学记数法表示为（　　）
A．1.5×10﹣4 B．0.15×10﹣4 C．1.5×10﹣5 D．0.15×10﹣5
3．（4分）如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AB可能为（　　）
A．50cm B．36cm C．40cm D．25cm
4．（4分）下列式子运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．2a 5a＝10a2
C．a6÷a3＝a2（a≠0） D．（a+b）2＝a2+b2
5．（4分）某校组织了班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，她先设计了一个正方形的班徽图形，修改时将原正方形的一组对边各增加4cm，另一组对边各减少4cm，修改后的图形面积与原来的面积相比（　　）
A．减少了16cm2 B．增加了16cm2 C．增加了8cm2 D．不变
6．（4分）综合实践课上，老师发给每人一张印有Rt△ABC的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与Rt△ABC全等的三角形．嘉淇同学先画出了∠MB′N＝90°后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．HL D．AAS
7．（4分）若k为自然数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　　）
A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被6整除
8．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5．点P，Q分别为AB，AC上的两个动点，则PQ+BQ的最小值是（　　）
A．5 B．4 C．4.8 D．3.6
9．（4分）已知关于x的分式方程1的解为负数，则k的取值范围是（　　）
A．k或k≠1 B．k且k≠1 C．k且k≠1 D．k或k≠1
10．（4分）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝7．动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，若点F在射线BC上，且CF＝AO，则当△AOP与△FCQ全等时，t的值为（　　）
A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分.）
11．（4分）分解因式：a2﹣4b2＝　 　 ．
12．（4分）将两个分别含30°和45°角的直角三角板如图放置，则∠α＝　 　 °．
13．（4分）若分式的值为0，则x＝　 　 ．
14．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CD⊥AC，垂足为C，且CD＝AC，连接BD，若BC＝4，则△BCD的面积为　 　 ．
15．（4分）如果m＝k（k+1），其中m，k都是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如：6＝2×（2+1），6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．若p﹣q＝8，则的值为　 　 ．
三、解答题（共8个小题，共90分.）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：．
17．（10分）先化简，再求值：，其中．
18．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，AD⊥BC，垂足点D．
（1）尺规作图：在线段AD上，求作一个点E，使得AE＝CE；
（2）连接BE，求∠EBD度数．
19．（10分）如图，开心农场的农场主准备用60米长的护栏围成一边靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为（4a+b）米，宽为（a+b）米．
（1）农场主计划在中间阴影部分的正方形地块做一个水池，其余空白部分绿化，若该正方形地块的边长为（a﹣b）米，求空白部分的面积S（用含a、b的代数式表示，并化简）；
（2）当a＝5，b＝2时，求S的值．
20．（12分）两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）找出图2中的全等三角形，并证明（注意：不得含有未标识的字母）；
（2）判断DC与BE的位置关系，并证明；
（3）若CE＝2，BC＝4，求△DCE的面积．
21．（12分）琪琪家到书店的路程是3km，无风时琪琪骑自行车的速度是8km/h．（顺风速度＝无风时骑车速度+风速，逆风速度＝无风时骑车速度﹣风速）
（1）若琪琪逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的倍，求风速；
（2）设风速为akm/h（a＜8），若有风往返一趟（即从家骑行到书店，再从书店原路骑行返回家）的时间为t1h，无风往返一趟的时间为t2h．
①t1＝　 　 ；（用含a的式子表示，不用化简）
②比较t1和t2的大小．
22．（13分）数学课上老师给出这样一道题：若x满足（x﹣3）（x﹣8）＝7，求（x﹣3）2+（x﹣8）2的值．小睿同学经过观察思考，做出如下解法，老师将其解法分享给大家：
解：设x﹣3＝m，x﹣8＝n，则（x﹣3）（x﹣8）＝mn＝7，
m﹣n＝（x﹣3）﹣（x﹣8）＝5，
∴（x﹣3）2+（x﹣8）2＝m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝25+2×7＝39．
请参考上述解法，解决下面的问题：
【初步应用】
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣3）＝﹣8，求（5﹣x）2+（x﹣3）2的值．
【类比探究】
（2）若x满足（x﹣2025）2+（2026﹣x）2＝2027，求（x﹣2025）（2026﹣x）的值．
【拓展提升】
（3）如图，点E，G分别在正方形ABCD的边AD，CD上，AE＝2，CG＝6，长方形EFGD的面积是24，分别以DE，DG为边作正方形MEDQ和正方形NGDH，PH∥QD，可得四边形FNPM为正方形，求正方形FNPM的面积（请写出解题过程）．
23．（13分）某数学小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题做了如下探究：
【问题背景】
（1）如图1，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是中线，则AD的取值范围是　 　 ；
【变式思考】
（2）如图2，△ABC中，AD是中线，分别以AB，AC为腰在外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，连接EF．求证：EF＝2AD；
【探究延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAC+∠BAD＝180°，点F是BC的中点，∠CEF＝∠ADB，当EF＝6时，求BD的长．
2025-2026学年山东省德州市德城区八年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C． D B A C B C B D
11.（a+2b）（a﹣2b） 12.15 13.﹣7 14.4 15.
选择题、填空题解法提示
10．解：①当点F在BC延长线上时，设t秒时，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ，
∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ，
∵OP＝t，CQ＝AC﹣AQ＝7﹣3t，
∴t＝7﹣3t，
解得；
②当点F在BC之间时：设t秒时，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ，
∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ，
∵OP＝t，CQ＝AC﹣AQ＝3t﹣7，
∴t＝3t﹣7，解得，
综上，或，
故选：D．
15．解：因为“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，
所以p＝t（t+1），q＝s（s+1），
因为p﹣q＝8，
所以t（t+1）﹣s（s+1）＝8，
t2+t﹣s2﹣s＝8，
（t2﹣s2）+（t﹣s）＝8，
（t+s）（t﹣s）+（t﹣s）＝8，
（t﹣s）（t+s+1）＝8，
因为t、s都是正整数，所以t﹣s和t+s+1也为正整数，且t+s+1＞t﹣s，
因为8＝1×8＝2×4，
当t﹣s＝1，t+s+1＝8时，可得方程组，
解得：，
当t﹣s＝2，t+s+1＝4时，可得方程组，
解得：（舍去），
将t＝4，s＝3代入，得．
故答案为：．
解答题参考答案
16．解：（1）原式＝1+4﹣9
＝5﹣9
＝﹣4；
（2）原方程整理得：，
去分母得：2x＝3﹣4（x﹣1），
解得：x，
检验：当x时，2（x﹣1）≠0，
故原方程的解为x．
17．解：原式
，
当x时，原式．
18．解：（1）如图：点E即为所求．
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝50°，
∴，，BD＝DC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∵CE＝AE，
∴∠ACE＝∠DAC＝25°，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝40°，
∵BE＝CE，
∴∠EBD＝∠BCE＝40°．
19．解：（1）若该正方形地块的边长为（a﹣b）米，空白部分的面积S为：
S＝（4a+b）（a+b）﹣（a﹣b）2
＝4a2+4ab+ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）
＝（3a2+7ab）（平方米），
答：空白部分的面积为（3a2+7ab）平方米；
（2）当a＝5，b＝2时，
S＝3a2+7ab＝3×52+7×5×2＝145（平方米）．
20．解：（1）△ABE≌△ACD，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAC＝∠DAE+∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
（2）DC⊥BE．如图，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠AEB＝∠ADC．
∵∠ADC+∠AFD＝90°，
∴∠AEB+∠AFD＝90°．
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠AEB+∠CFE＝90°，
∴∠FCE＝90°，
∴DC⊥BE；
（3）∵CE＝2，BC＝4，
∴BE＝6，
∵△ABE≌△ACD，
∴CD＝BE＝6，
∴△DCE的面积CE CD2×6＝6．
21．解：（1）设风速为xkm/h，
根据题意得：，解得：x＝2，
经检验，x＝2是所列方程的解，且符合题意，
答：风速为2km/h；
（2）①由题意可知，，
故答案为：；
②由题意可知，，
，
∵a＜8，∴t1﹣t2＞0，
∴t1＞t2．
22．解：（1）设5﹣x＝m，x﹣3＝n，
则m+n＝（5﹣x）+（x﹣3）＝2，
∵（5﹣x）（x﹣3）＝﹣8，∴mn＝﹣8，
∴（5﹣x）2+（x﹣3）2＝（m+n）2﹣2mn＝22﹣2×（﹣8）＝20；
（2）设x﹣2025＝m，2026﹣x＝n，
则m2+n2＝2027，m+n＝1，
∴2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝﹣2026，
∴mn＝﹣1013，
即（x﹣2025） （2026﹣x）＝﹣1013；
（3）设DE＝m，DG＝n，正方形ABCD的边长为x，
则DE＝x﹣2，DG＝x﹣6，
∴m﹣n＝（x﹣2）﹣（x﹣6）＝4，
由条件可知mn＝24，
∴
＝（m+n）2
＝（m﹣n）2+4mn
＝16+4×24
＝112．
23．（1）解：如图1，延长AD至P，使AD＝DP，连接BP，
∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD，
∵∠ADC＝∠PDB，∴△ADC≌△PDB（SAS），
∴BP＝AC＝6，
∵AB﹣BP＜AP＜AB+BP，AB＝8，AC＝6，
∴8﹣6＜AP＜8+6，
∴2＜AP＜14，
∵DP＝AD，∴AP＝2AD，
∴2＜2AD＜14，解得1＜AD＜7，
即AD的取值范围为1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7；
（2）证明：如图2，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，则AG＝2AD，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD，
∵∠ADC＝∠GDB，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴∠C＝∠GBD，AC＝BG，
∴AC∥BG，
∴∠ABG+∠BAC＝180°，
∵AC＝AF，
∴BG＝AF，
∵∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠ABG＝∠EAF，
在△EAF和△ABG中，
，
∴△EAF≌△ABG（SAS），
∴AG＝EF，
∴EF＝2AD；
（3）解：如图3，延长EF到G，使得EF＝FG，连接CG，延长CA到H，使得AH＝AD，连接BH，
∵F是BC的中点，∴CF＝BF，
∵∠EFB＝∠CFG，
∴△BEF≌△CGF（SAS），
∴BE＝CG，∠G＝∠BEF，
∴CG∥BE，
∴∠BEH＝∠GCE，
∵∠BAC+∠BAH＝180°，∠BAC+∠BAD＝180°，
∴∠BAH＝∠BAD，
在△BAH和△BAD中，
，
∴△BAH≌△BAD（SAS），
∴BH＝BD，∠H＝∠ADB，
∵∠ADB＝∠CEF，
∴∠H＝∠CEF，
∴△HBE≌△EGC（AAS），
∴EG＝BH＝BD＝2EF＝2×6＝12，
即BD＝12．
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