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2025-2026学年广东省广州市南沙区部分学校八年级（上）期末数学试卷
一、单选题
1．（3分）下列QQ表情中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）分式有意义，则x的范围是（　　）
A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x≠0且x≠﹣2 D．x≠±2
3．（3分）下列三条线段的长度能组成三角形的是（　　）
A．2，3，5 B．3，5，9 C．4，5，6 D．5，5，11
4．（3分）同学们都知道，蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料．那你知道蜂房蜂巢的厚度吗？事实上，蜂房的蜂巢厚度仅仅约为0.000073m．此数据用科学记数法表示为（　　）
A．7.3×10﹣4m B．7.3×10﹣5m C．7.3×10﹣6m D．73×10﹣5m
5．（3分）在△ABC中，∠B＝43°，∠C＝50°，则∠A的度数为（　　）
A．43° B．50° C．87° D．93°
6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3 a4＝a12 B．（a3）4＝a7
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．a6÷a2＝a3
7．（3分）一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块，小亮现在要带其中的一块去配成与原来一样大小的三角形玻璃，小亮去时应该带（　　）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
8．（3分）若x2+mx+16是一个完全平方式，则m的取值是（　　）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．±4
9．（3分）若分式中a，b都扩大到原来的3倍，则分式的值是（　　）
A．扩大到原来3倍 B．缩小3倍
C．是原来的 D．不变
10．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，则有以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AB＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．（3分）分解因式：m2﹣9＝　 　 ．
12．（3分）如图，∠1＝　 　 °．
13．（3分）若x﹣y＝4，x+y＝7，则x2﹣y2＝　 　 ．
14．（3分）如图，锐角三角形ABC的面积是15，AB＝5，BD平分∠ABC，若M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是　 　 ．
15．（3分）定义新运算：a※b＝2ab﹣b2，则（2m）※（3n）的运算结果为　 　 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，∠B＝∠C，BC＝12厘米，点D为AB的中点．点M在线段BC上以3厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点N在线段AC上由点C向点A运动．当点M运动到点C或点N运动到点A时，另一个点也停止运动．若点N的运动速度为a厘米/秒，则：
（1）运动2秒时，CN＝ 　 　 厘米（用含a的式子表示）；
（2）当△BDM与△CMN全等时，a的值为 　 　 ．
三、解答题
17．（8分）解方程：．
18．（8分）如图，已知AB＝AD，BC＝DC，求证：△ABC≌△ADC．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，且点A、B、C的坐标分别为A（3，4），B（1，2），C（4，1）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1；
（2）在（1）的条件下，分别写出点A1，B1，C1的坐标．
20．（8分）先化简：，再从﹣2＜x≤1的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）用尺规作∠A的平分线，交BC于点P．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若AC＝3，BC＝4，AB＝5，求PC的长．
22．（8分）随着京沈客运专线的开通，沈阳已进入方便快捷的高铁时代．由沈阳到A市乘坐普通列车路程为650千米，而乘坐高铁路程为520千米，且高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的4倍．因此由沈阳到A市乘坐高铁列车所用时间比乘普通列车少用8小时．求高铁列车的平均速度．
23．（8分）已知关于x的方程：2．
（1）当m为何值时，方程无解．
（2）当m为何值时，方程的解为负数．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的动点（点D与点B，C不重合），连接AD，作△ABD关于AD对称的△AED，设∠ADB＝α．
（1）当DE平分∠ADC时，
①求α的值；
②求证：BD＝AD+CD；
（2）若点E与点C不重合，连接CE，当CE＝AD时，求α的值．
25．（8分）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整数值”．
例如，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”k＝1．
（1）已知分式判断A与B是否互为“和整分式”．若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由；
（2）已知分式与D互为“和整分式”，且“和整数值”k＝3．
①求E所代表的代数式；
②若分式D的值为正整数，求正整数x的值．
（3）记（2）中分式D的值为正整数t，已知分式，且P+Q＝t．若关于x的方程无解，直接写出m的值．
2025-2026学年广东省广州市南沙区部分学校八年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B C C D C A B
11.（m+3）（m﹣3） 12.8 13.28 14.6 15.12mn﹣9n2 16.（1）2a；（2）2.5或3
选择题、填空题解法提示
10．解：①∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°，CD＝CE，∠CDE＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠ACB+∠DCE）＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE＝120°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
故结论①正确；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP＝∠CBQ，
在△CAP和△CBQ中，
，
∴△CAP≌△CBQ（ASA），
∴CP＝CQ，
又∵∠BCD＝60°，
∴△CPQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝∠ACB＝60°，
∴PQ∥AE，
故结论②正确；
③∵△CAP≌△CBQ，
∴AP＝BQ，
∵∠APB是△CAP的一个外角，
∴∠APB＞∠ACB，
即∠APB＞60°，
∴∠APB＞∠ABC，
∴AB＞AP，
∴AB＞BQ，
故结论③不正确；
④∵∠CPD＞∠CPQ，∠CPQ＝∠BCD＝60°，
∴∠CPD＞∠BCD，
∴CD＞DP，
又∵DE＝CD，
∴DE＞DP，
故结论④不正确；
⑤∵∠APB是△CAP和△OBP的一个外角，
∴∠APB＝∠ACB+∠CAP＝60°+∠CAP，∠APB＝∠AOB+∠CBQ，
∴∠AOB+∠CBQ＝60°+∠CAP，
∵∠CAP＝∠CBQ，
∴∠AOB＝60°，
故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①②⑤，共3个．
故选：B．
16．解：（1）运动2秒时，CN＝2a厘米；
故答案为：2a；
（2）设运动的时间为t秒，
根据题意得BD＝5厘米，BM＝3t厘米，CN＝ta厘米，则CM＝（12﹣3t）厘米，
∵∠B＝∠C，
∴当BD＝CN，BM＝CM时，△BDM≌△CNM（SAS），
即5＝ta，3t＝12﹣3t，
解得t＝2，a＝2.5；
当BD＝CM，BM＝CN时，△BDM≌△CMN（SAS），
即5＝12﹣3t，3t＝at，
解得t，a＝3，
综上所述，a的值为2.5或3．
故答案为：2.5或3．
解答题参考答案
17．解：原方程两边同乘以2（4+x）得2（3﹣x）＝4+x，
去括号得6﹣2x＝4+x，
移项得﹣2x﹣x＝4﹣6，
合并同类项得﹣3x＝﹣2，
系数化为1得，
经检验，是分式方程的解，
所以方程的解为．
18．证明：∵在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
19．解：（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图即为所求；
（2）由图可知，A1（﹣3，4），B1（﹣1，2），C1（﹣4，1）．
20．解：原式
．
当x＝0时，原分式有意义，则原式．
21．解：（1）如图，AP即为所求．
（2）如图，过点P作PD⊥AB于点D．
∵AP平分∠BAC，∠C＝90°，
∴PC＝PD．
∵S△ABC＝S△ACP+S△ABP，
∴，
解得．
∴若AC＝3，BC＝4，AB＝5，则PC的长为．
22．解：设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁列车的平均速度为4x千米/时，
由题意得，，
解得x＝65，
经检验，x＝65是原方程的解，且符合题意，
∴4x＝4×65＝260，
答：高铁列车的平均速度是260千米/时．
23．解：（1）由原方程，得
2x＝mx﹣2x﹣6，
①整理，得
（4﹣m）x＝﹣6，
当4﹣m＝0即m＝4时，原方程无解；
②当分母x+3＝0即x＝﹣3时，原方程无解，
故2×（﹣3）＝﹣3m﹣2×（﹣3）﹣6，
解得 m＝2，
综上所述，m＝2或4；
（2）由（1）得到 （4﹣m）x＝﹣6，
当m≠4时．x0，
解得m＜4
综上所述，m＜4且m≠2．
24．解：（1）①∵△ADE与△ADB 关于AD对称，
∴∠ADB＝∠ADE＝α，
又∵ED平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC＝α，
∴3α＝180°，
解得α＝60°；
②如图，过点A作 AF∥BC，
则∠DFA＝∠FDC＝60°，
∴∠ACF＝∠AFD＝60°，
∴△ADF 为等边三角形，
∴AD＝DF＝AF，
∴∠AFE＝∠ADC＝120°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵△ADE 与△ADB 关于AD对称，
∴∠E＝∠B，
∴∠E＝∠C，
在△AFE 与△ADC 中，
，
∴△AFE≌△ADC（AAS），
∴EF＝CD，
∴AD+CD＝DF+EF＝DE＝BD，
即BD＝AD+CD；
（2）①当点E在BC上方时，如图所示，设DE与AC交于点G，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠ADB＝α，
∴∠BAD＝180°﹣45°﹣α＝135°﹣α，
∵△ADE 与△ABD 关于AD对称，
∴∠DAE＝∠BAD＝135°﹣a，∠ADE＝∠ADB＝α，
∴∠CAE＝2∠BAD﹣90°＝180°﹣2a，
∠EDC＝180°﹣2∠ADB＝180°﹣2a，
又∵AE＝AB＝AC，
∴，
∴∠ADG＝∠ECG＝α，
在△ADG 与△ECG 中，
，
∴△ADG≌△ECG（AAS），
∴GD＝GC，GA＝GE，
∴∠GDC＝∠GCD，∠GAE＝∠GEA，
∵∠AGE＝∠DGC，
∴∠GDC＝∠GCD＝GAE＝∠GEA，
∴AE∥BC，
∴180°﹣2α＝45°，
∴α＝67.5°；
②当点E在BC下方时，如图所示，设AE与BC交于点H，
同理可得∠DAE＝∠BAD＝135°﹣a，∠ADE＝∠ADB＝α，
∴∠CAE＝90°﹣2∠BAD＝2α﹣180°，
∠EDC＝2∠ADB﹣180°＝2a﹣180°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝180°﹣α＝∠ADC，
∴△ADH≌△CEH（AAS），
∴HD＝HE，HA＝HC，
∴∠HDE＝∠HED＝45°，∠HAC＝∠HCA＝45°，
∴2a﹣180°＝45°，
∴α＝112.5°；
综述所述：当点E在BC上方时α＝67.5°；当点E在BC下方时α＝112.5°．
25．解：（1）
＝2，
∴A与B是互为“和整分式”，“和整数值”k＝2；
（2）①
，
∵C与D互为“和整分式”，且“和整数值”k＝3，
∴3x2+2x﹣8+E＝3（x﹣2）（x+2）＝3x2﹣12，
∴E＝3x2﹣12﹣3x2﹣2x+8＝﹣2x﹣4；
②∵，且分式D的值为正整数t，x为正整数，
∴x﹣2＝﹣1或x﹣2＝﹣2，
∴x＝1（x＝0舍去）；
（3）由题意可得：，
∴，
∴，
∴（3﹣m）x﹣2＝2x﹣6，
整理得：（1﹣m）x＝﹣4，
∵方程无解，
∴1﹣m＝0或方程有增根x＝3，
当1﹣m＝0时，
解得：m＝1，
当1﹣m≠0，方程有增根x＝3，
∴，
解得：，
综上：m的值为：1或．
.

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