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2025-2026学年河南省安阳市八年级（上）期中数学试卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）用数学的眼光观察下列关于体育的图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）若一个三角形的两边长分别为3cm、5cm，则它的第三边的长可能是（　　）
A．1cm B．2cm C．6cm D．8cm
3．（3分）下列说法错误的是（　　）
A．等腰三角形的中线、高线、角平分线互相重合
B．关于某条直线对称的两个三角形一定全等
C．三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等
D．等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，对称轴是三条中线所在的直线
4．（3分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．∠B＝∠E B．AD＝BD C．AB＝AE D．∠BAD＝∠CAE
5．（3分）如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，若∠BAC＝83°，∠B＝27°，则∠BCD的大小为（　　）
A．130° B．140° C．120° D．110°
6．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为13，AB＝7，则△ABC的周长为（　　）
A．7 B．14 C．17 D．20
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，CD是高，则AD的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（3分）如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为x轴，镜面侧面为y（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是（x﹣2，2），此时对应的虚像S′的坐标是（3，y），则（x+y）2025＝（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
9．（3分）游戏时，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（　　）
A．三边垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点
D．三边上高的交点
10．（3分）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝118°，则∠EMF的度数为（　　）
A．56° B．58° C．60° D．62°
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是 　 　 ．
12．（3分）一个等腰三角形的一内角为40°，则这个等腰三角形的顶角度数为 　 　 ．
13．（3分）如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝ 　 　 °．
14．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝4，则AC长是　 　 ．
15．（3分）如图，点A是x轴上一个定点，点B是y轴正半轴上的一个动点，以线段OB为边在y轴右侧作等边三角形，以线段AB为边在AB上方作等边三角形，连接CD，随点B的移动，下列说法中，正确的有 　 　 ．（填序号）
①△BOA≌△BDC；
②∠ODC＝150°；
③直线CD与x轴所夹的锐角恒为60°；
④随点B的移动，线段CD的值逐渐增大．
三、解答题（共75分）
16．（9分）如图1，D是射线BC上的一动点．
（1）若∠ADC＝100°，∠ABC＝20°，则△ABD是 　 　 三角形．
（2）若△ABD为直角三角形，且∠ABC＝30°，则∠ADC的度数为 　 　 ．
（3）如图2，若E为AB的中点，则命题“当DB＝AD时，DE为线段AB的垂直平分线”是 　 　 ．（填“真命题”或“假命题”）
17．（9分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，AB＝7cm，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
①求证：△ACD≌△AED；
②求EB的长．
18．（9分）如图，在ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：BE＝CE．
19．（9分）如图：
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）写出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'的各顶点坐标；
（3）求△ABC的面积．
20．（9分）顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图，△ABC中，AB＝AC，且∠A＝36°．
（1）用无刻度的直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D．（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，请问△BDC是不是黄金三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．
21．（9分）如图，△ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB＝OC，∠A＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上？并说明理由．
22．（9分）阅读材料：
如图1，课本再现：综合与实践活动一“牧民饮马问题”抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得CA+CB的值最小．
“智慧小组”的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，则AB′与直线l的交点即为点C，且CA+CB的最小值为AB′的长．
如图3，为了证明点C的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，只需在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′．证明AC+BC＜AC′+BC′即可．
（1）请完成图3中的证明；
（2）类比应用：
①如图4，在等边△ABC中，E是AB中点，AD是∠BAC的平分线，P是AD上的动点．若AD＝6，则PE+PB的最小值是　 　 ；
②如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠BAC，点M，N分别为AD，AC上的动点，连接CM，MN．则CM+MN的最小值是　 　 ．
23．（12分）（1）【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，求证：AC＝BC；
（2）【问题探究】
如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，求证：CD＝2BE；
（3）【拓展延伸】
如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，且，BE⊥DE于E，DE交AB于F，请直接写出BE和DF之间的数量关系为 　 　 ．
2025-2026学年河南省安阳市八年级（上）期中数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A D B D B A A A
三个内角相等的三角形是等边三角形 12.40°或100° 13.40 14.6 15.①②③
选择题、填空题解法提示
10．解：∵AD∥BC，
∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，
∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝118°，
由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，
∴∠DEM+∠AFM＝2×118°＝236°，
∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣236°＝124°，
在△EFM中，
∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣124°＝56°，
故选：A．
15．解：∵△OBD和△ABCF都是等边三角形，
∴BO＝BD，BA＝BC，∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝∠CBD＝60°﹣∠ABD，
在△BOA和△BDC中，
，
∴△BOA≌△BDC（SAS），
故①正确；
∵∠ODB＝60°，∠AOB＝∠CDB＝90°，
∴∠ODC＝∠ODB+∠CDB＝150°，
故②正确；
延长CD交x轴于点E，
∵∠EOB＝90°，∠DOB＝60°，
∴∠EOD＝30°，
∵∠EDO＝180°﹣∠ODC＝30°，
∴∠AEC＝∠EOD+∠EDO＝60°，
∴直线CD与x轴的夹角恒为60°，
故③正确；
∵点A是x轴上一个定点，
∴OA的长为定值，
∵△BOA≌△BDC，
∴CD＝OA，
∴CD的长为定值，
∴随点B的移动，线段CD的值不变，
故④错误，
故答案为：①②③．
解答题参考答案
16．解：（1）∵∠ADC＝100°，∠ABC＝20°，
∴∠A＝∠ADC﹣∠ABC＝80°，
∵∠ADB＝180°﹣∠ADC＝80°，
∴∠A＝∠ADB，
∴AB＝DB，
∴△ABD是等腰三角形，
故答案为：等腰．
（2）若∠A＝90°，
∴∠ADC＝∠A+∠ABC＝90°+30°＝120°；
若∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝180′﹣90°＝90°，
∴∠ADC的度数为120°或90°．
故答案为：120°或90°．
（3）命题“当DB＝AD时，DE为线段AB的垂直平分线”是真命题，理由如下：
∵DB＝AD，E为AB的中点，
∴DE⊥AB，
∴DE为线段AB的垂直平分线．
故答案为：真命题．
17．（1）证明：∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，
∴CD＝DE，
∵AD＝AD，
∴△ACD≌△AED（HL）．
（2）解：∵△ACD≌△AED，
∴AC＝AE＝4cm，
∵AB＝7cm，
∴BE＝AB﹣AE＝3cm，
答：BE的长是3cm．
18．证明：∵AB＝AC，D是BC的中点
∴∠BAE＝∠EAC
在△ABE和△ACE中，
，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE＝CE．
19．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由题意得，A'（﹣3，﹣2），B'（﹣4，3），C'（﹣1，1）．
（3）△ABC的面积为．
20．解：（1）如图，射线BD即为所求，
；
（2）△BDC是黄金三角形；
理由如下：
∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB72°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠BCD＝∠BDC＝72°，
∴BD＝BC，
∴△BDC是黄金三角形．
21．解：（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在△BCE和△CBD中，
，
∴△BCE≌△CBD（AAS），
∴∠DBC＝∠ECB，
∴AB＝AC，
又∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）点O在∠BAC的平分线上，理由如下：
连接AO，由（1）可知△BCE≌△CBD，
∴EB＝CD，
∵OB＝OC，
∴OE＝OD，
又∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴点O在∠BAC的平分线上．
22．（1）证明：∵作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，则AB′与直线l的交点即为点C，
∴B′C＝BC，BC′＝B′C′，
∴AC+BC＝AC+B′C＝AB′，AC′+BC′＝AC′+B′C′＞AB′，
∴AC+BC＜AC′+BC′，AC+BC≥AB′，
∴当A、C、B′三点共线时，AC+BC值最小，
∴点C的位置即为所求；
（2）解：①在等边△ABC中，E是AB中点，AD是∠BAC的平分线，
∴AD是等边△ABC的对称轴，
如图4，作E关于AD的对称点E′，连接PE′，BE′，
∴E′为AC的中点，BE′为∠ABC的平分线，
∴BE′＝AD＝6，
由题意知，PE+PB的最小值是BE′，
故答案为：6；
②∵AD平分∠BAC，
∴AD是∠BAC的对称轴，
如图5，作N关于AD的对称点N′，连接MN′，CN′，作CG⊥AB于G，
由题意知，当C、M、N′三点共线时，CM+MN＝CN′，
当N′、G重合时，CM+MN的值最小，为CG，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
23．（1）证明：∵OP平分∠MON，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵AC⊥OP，
∴∠ACO＝∠BCO＝90°，
∵OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC（ASA），
∴AC＝BC；
（2）证明：如图，延长BE交CA延长线于F，
∴CD平分∠ACB，
∴∠FCE＝∠BCE，
在△CEF和△CEB中，
，
∴△CEF≌△CEB（ASA），
∴，
∵∠DAC＝∠CEF＝∠BAF＝90°，
∴∠ACD+∠F＝∠ABF+∠F＝90°，
∴∠ACD＝∠ABF，
在△ACD和△ABF中，
，
∴△ACD≌△ABF（ASA），
∴CD＝BF，
∴CD＝2BE；
（3）解：如图，过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，与AF相交于H，
∵DG∥AC，
∴∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°，
∴，
∴，
∵BE⊥ED，
∴∠BED＝90°，
∴∠BED＝∠BHD，
∵∠EFB＝∠HFD，
∴∠EBF＝∠HDF，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∵DG∥AC，∠GDB＝∠C＝45°，
∴∠GDB＝∠ABC＝45°，
∴BH＝DH，
在△BGH和△DFH中，
，
∴△BGH≌△DFH（ASA），
∴BG＝DF，
在△BDE和△GDE中，
，
∴△BDE≌△GE（ASA），
∴BE＝EG，
∴．
故答案为：．
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