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2025-2026学年湖北省武汉市江岸区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣1 B．x＝﹣1 C．x≠0 D．x≠﹣1
2．（3分）当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称图形的为（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
B．x2+2x+1＝（x+1）2
C．x2+2x﹣1＝x（x+2）﹣1
D．x（x﹣1）＝x2﹣x
4．（3分）下列分式中是最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2a3 a2＝a5 B．（a+b）2＝a2+b2
C．a3÷a3＝0 D．（ab2）2＝a2b4
6．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝110°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则x的值为（　　）
A．135 B．140 C．145 D．150
7．（3分）在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°，后续画图的主要过程如图②所示，这种画图方法的依据是（　　）
A．SSS B．AAS C．ASA D．HL
8．（3分）南宁市某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于大学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种x株，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）若，则A的值是（　　）
A．0 B．﹣1 C． D．
10．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝2BC，点P为边CD上的一个动点，线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AP'，连接PP'，BP'，当线段BP'的长度最小时，∠PP'B的度数为（　　）
A．45° B．60° C．75° D．90°
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点A（2，3）关于x轴的对称点的坐标是 　 　 ．
12．（3分）小数0.000065用科学记数法表示为　 　 ．
13．（3分）计算20×2﹣2＝　 　 ．
14．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠AOB的度数是　 　 °．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝4，E为BC的中点，点P为线段AC上一动点．则EP+BP的最小值为　 　 ．
16．（3分）如图，已知△ABC为等边三角形，D是AB延长线上一点，M为边BC上一点，连接CD，作CN⊥DM交DM的延长线于点N，连接AN并延长交BC于点K，若，CM＝16，则CK＝　 　 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）计算：2a（a2+1）﹣2a5÷a2．
18．（8分）因式分解：x3﹣xy2．
19．（8分）如图，AC、BD交于点O，连接AB、BC、CD、AD，AB∥CD．若　 　 ，则AB＝CD．从①OA＝OC，②∠BAD＝∠BCD，③AD＝BC．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由．
20．（8分）先化简，再求值：，其中a＝1．
21．（8分）如图是由小正方形组成的4×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（本题共2问，每问不超过5条线）．
（1）在图1中，画△ABC的高AD和中线BE；
（2）在图2中，在线段AC上画一点M，使得∠CBM＝45°，再在线段BC上找一点N，使得MN∥AB．
22．（10分）随着新能源汽车的日益增多，某公司计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足使用新能源汽车员工的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表．
单枪充电桩 双枪充电桩
单价：x元/个 单价：1.5x元/个
花费：40000元 花费：30000元
（1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多5个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价各多少元？
（2）在（1）的条件下，根据员工需求，公司决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，如果此次加购公司预备支出不超过50000元，求公司最少需要购买单枪新能源充电桩的数量；
（3）为提高使用效率，公司需要全部购买双枪充电桩，现有甲、乙、丙三个厂家，2025年这三家双枪充电桩销售价格相同，2026年以来，为抢占市场，他们均对双枪充电桩进行两次降价销售，具体活动如下：
甲：第一次降价p%，第二次降价q%；
乙：第一次降价q%，第二次降价p%；
丙：连续两次降价均为．
其中p、q是不相等的正数．现公司选择到哪个厂家购买双枪充电桩更划算？请说明理由．
23．（10分）在△ABC中，∠ABC＝45°，将线段AC绕点A逆时针旋转α，得到线段AD．
（1）如图1，∠ACB＞90°，当α＝135°时，过点D作DE∥BC交BA的延长线于点E，请直接写出线段AE与BC的数量关系　 　 ；
（2）连接BD，M为线段BD上一点．
①如图2，∠ACB＞90°，当α＝180°﹣2∠CAB，∠MAB＝45°时，求的值；
②如图3，∠ACB＜45°，当α＝90°，∠MAB＝135°，AM＝1，△ABM的面积等于时，求BC的长．
24．（12分）已知A为x轴负半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，B为y轴正半轴上一点．
（1）如图1，连接AB、BC，若∠ABO＝30°，AE平分∠BAC交y轴于点D，交BC于点E，已知点B的坐标为（0，3），请直接写出点D的坐标（　 　 ，　 　 ）；
（2）如图2，M为第一象限内一点，BM＝BA且∠ABM＝60°，连接MC并延长交y轴于点N，试探究线段CN、BN和MN之间的数量关系并证明；
（3）如图3，若∠ABO＝60°，A的坐标为（a，0），在直线AB上取两点D、E，使得DA＝AB＝BE，连接CB、CE、CD，以CD为底边在CD的下方构造等腰△CDF，且∠DCF＝30°，连接EF交x轴于点K，已知EF＝m（m＞0），求K点坐标（用含a、m的式子表示）．
2025-2026学年湖北省武汉市江岸区八年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B C D C D D D C
11.（2，﹣3） 12.6.5×10﹣5 13. 14.25 15.6 16.
选择题、填空题解法提示
9．解：原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）﹣1
＝（1）（1）（1）（1）（1）…（1）﹣1
＝（1）（1）（1）（1）…（1）﹣1
＝（1）（1）（1）…（1）﹣1
…
＝11
，
故选：D．
10．解：如图，线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AP′，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到AE，连接P′E，设P′E交AB于点G，
∴AD＝AE，AP＝AP′，∠DAE＝60°＝∠PAP′，
∴△PAP′是等边三角形，
∴∠DAE﹣∠PAE＝∠PAP′﹣∠PAE，∠AP′P＝60°，
∴∠DAP＝∠EAP′，
在△DAP和△EAP′中，
，
∴△DAP≌△EAP′（SAS），
∴∠D＝∠E，
在矩形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，
∴∠EAG＝∠DAG﹣∠DAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BGP′＝∠EGA＝90°﹣∠EAG＝90°﹣30°＝60°，
∴点P′在直线EP′上运动，
∴当BP′⊥EP′时，BP′有最小值，
∴∠BP′G＝90°，
∴∠GBP′＝90°﹣∠BGP′＝30°，
设EG＝x，GP′＝y，
∴EP′＝EG+GP′＝x+y，
∴AG＝2EG＝2x，BG＝2GP′＝2y，
∴AB＝AG+BG＝2x+2y＝2（x+y）＝2EP′，
∵AB＝2BC＝2AD＝2AE，
∴AE＝EP′，
∴△EAP′是等腰直角三角形，
∴∠EP′A＝45°
∴∠PP′B＝∠AP′E+∠EP′B﹣∠AP′P＝45°+90°﹣60°＝75°．
故选：C．
15．解：如图，
作点B关于AC的对称点B′，连接B′E交AC于点P，由对称性质可知PB＝PB′，
∴EP+BP的最小值即为B′E的值，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝4，
∴AC＝2AB＝8，
∴BC4，
∵E为BC的中点，
∴BE＝2，
∵S△ABC，
∴BD2，
∴BD＝BE，BB′＝4BC，
在△BCD和△BB′E中，
，
∴△BCD≌△BB′E（SAS），
∴B′E＝CD，
∵CD6，
∴B′E＝CD＝6，
∴EP+BP的最小值为6．
故答案为：6．
16．解：取CD中点E，连接BE、NE，
∵∠CDM＝30°，∠DNC＝90°，
∴NE＝NCCD，∠NCE＝60°．
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AC＝BC．
∴∠ACB＝∠NCE．
∴∠ACB﹣∠NCK＝∠NCE﹣∠NCK．
∴∠ACN＝∠BCE．
又∵AC＝BC，NC＝EC，
∴△ACN≌△BCE（SAS）．
∴∠ANC＝∠BEC．
∴∠CNK＝∠DEB．
又∵∠BDE＝∠ABC﹣∠BCE＝60°﹣∠BCE，
∠KCN＝∠ACB﹣∠ACN＝60°﹣∠ACN，
∴∠BDE＝∠KCN．
又∵DE＝CN，∠DEB＝∠CNK，
∴△DEB≌△CNK（ASA）．
∴DB＝CK．
设DB＝CK＝x，
∴MK＝CM﹣CK＝16﹣x．
∵BDMK，
∴x（16﹣x）．
∴x．
∴CK．
故答案为：．
解答题参考答案
17．解：2a（a2+1）﹣2a5÷a2
＝2a3+2a﹣2a3
＝2a．
18．解：x3﹣xy2
＝x（x2﹣y2）
＝x（x+y）（x﹣y）．
19．解：选择条件①或②都能得出结论AB＝CD，选择条件③不能得出结论AB＝CD，
故答案为：①（答案不唯一，选择②亦可）．
当选择条件①OA＝OC时，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠OBA＝∠ODC，∠OAB＝∠OCD，
在△OAB和△OCD中，
，
∴△OAB≌△OCD（AAS），
∴AB＝CD；
当选择条件②∠BAD＝∠BCD时，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠DBA＝∠BDC，
在△DBA和△BDC中，
，∴△DBA≌△BDC（AAS），
∴AB＝CD．
20．解：原式

；
当a＝1时，
原式1.5．
21．解：（1）如图1，AD，BE即为所求．
（2）如图2，取格点P，使CP⊥BC且CP＝BC，连接BP交AC于点M，
则点M即为所求．
分别取格点F，G，H，K，使FG∥AC，HK∥BP，取FG与HK的交点Q，连接MQ并延长，交BC于点N，
则点N即为所求．
22．解：（1）根据题意可得，5，
∴x＝4000，
经检验，x＝4000是原方程的解，且符合题意，
1.5x＝1.5×4000＝6000（元/个），
答：单枪新能源充电桩的价格为4000元/个，双枪新能源充电桩的价格为6000元/个；
（2）单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，
则现在单枪新能源充电桩的单价为4000×（1+10%）＝4400（元/个），
双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，
则现在双枪新能源充电桩的单价为6000×（1﹣10%）＝5400（元/个），
设再次购进单枪新能源充电桩a个，
总花费为[4400a+5400（10﹣a）]元，
∴4400a+5400（10﹣a）≤50000，
∴a≥4，
∴a的最小值为4，
答：公司最少需要购买单枪新能源充电桩4个；
（3）设双枪充电桩的原价为a元（a＞0），令m＝p%，n＝q%，其中m＞0，n＞0，且m≠n，
∴甲厂家最终售价：a（1﹣p%） （1﹣q%）＝a（1﹣m）（1﹣n），乙厂家最终售价：a（1﹣q%）（1﹣p% ）＝a（1﹣n）（1﹣m），
∴甲、乙两家厂家的最终售价完全相等．
又∵丙厂家最终售价：a，
∴丙厂家与甲厂家的售价差值：，
∵a＞0，m≠n，
∴，即丙厂家售价＞甲、乙厂家售价．
综上，选择甲厂家或乙厂家购买双枪充电桩更划算，两家性价比一致．
23．解：（1）如图，在AB上取点K，使得CK＝CB，
则∠CKB＝∠B＝45°，
∴∠AKC＝135°，
∵DE∥BC，
∴∠DEA＝180°﹣∠B＝135°，
由题意可得∠CAD＝135°，AD＝AC，
∵∠DAB＝∠CAD+∠BAC＝∠DEA+∠ADE，且∠DEA＝∠CAD＝135°，
∴∠BAC＝∠ADE，
在△ADE和△CAK中，
∴△ADE≌△CAK（AAS），
∴AE＝CK＝CB，
故答案为：AE＝CB；
（2）①如图，延长BA，作射线AG，
∵α＝180°﹣2∠CAB，
∴2∠CAB+α＝180°，
∵∠CAB+∠DAG+α＝180°，
∴∠CAB＝∠DAG，
∵∠MAB＝45°，
∴∠MAG＝∠DAG+∠DAM＝135°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠CAB+∠ACB＝135°，
∵∠CAB＝∠DAG，
∴∠DAM＝∠ACB，
如图，延长AM到点K，使BC＝AK，
在△KAB和△CBA中，
，
∴△KAB≌△CBA（SAS），
∴BK＝CA＝AD，∠AKB＝∠ACB＝∠DAM，
在△BMK和△DMA中，
，
∴△BMK≌△DMA（AAS），
∴AM＝MKAK，
∴；
②如图，分别过C、D作AM的垂线段，垂足分别为K、H，
∵∠MAB＝135°，
∴∠BAH＝45°，
∵∠ABC＝45°，∠AHC＝90°，
∴B、H、C三点共线，且AH＝BH，
∴S△ABMAM BHBH，
∴BH＝3＝AH，
∴MH＝AM+AH＝4，
则∠K＝∠CAD＝∠H＝90°，
∴∠DAK＝∠ACH＝90°﹣∠CAH，
∵DA＝AC，
∴△AKD≌△CHA（AAS），
∴DK＝AH＝BH＝3，AK＝CH，
∵∠K＝∠BHM＝90°，∠DMK＝∠BMH，
∴△DMK≌△BMH（AAS），
∴KM＝MH＝4，
∴AK＝AM+MK＝5，
∴CH＝AK＝5，
∴BC＝BH+CH＝8．
24．解：（1）∵点B的坐标为（0，3），
∴OB＝3，
∵∠ABO＝30°，∠AOB＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∵AE平分∠BAC交y轴于点D，
∴∠BAD∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠ABO，
∴BD＝AD，
在Rt△ADO中，∵∠DAO＝30°，
∴AD＝2OD，
∴BD＝2OD，
∴2OD+OD＝3，
∴OD＝1，
∴D（0，1），
故答案为：0，1；
（2）结论：CN+MN＝BN，理由如下：
如图，作点N关于x轴的对称点H，连接BC，AN，AH，
∵BM＝BA且∠ABM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠BAM＝60°，BA＝MA，
∵点C与点A关于y轴对称，B为y轴正半轴上一点，
∴BA＝BC，∠ABO＝∠CBO，
∴BM＝BC，
设∠ABO＝∠CBO＝α，则∠CBM＝60°﹣2α，
∴∠BCM＝∠BMC（180°﹣∠CBM）＝60°+α，
∴∠BCN＝180°﹣∠BCM＝120°﹣α，
∵∠BCO＝90°﹣α，
∴∠NCO＝∠BCN﹣∠BCO＝（120°﹣α）﹣（90°﹣α）＝30°，
∴∠CNO＝90°﹣30°＝60°，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴∠ANO＝∠CNO＝60°，AN＝CN，
∵点N与点H关于x轴对称，
∴∠AHO＝∠ANO＝60°，
∴△AHN是等边三角形，
∴∠HAN＝60°，AH＝AN＝HN＝CN，
∴∠BAH＝60°﹣∠HAN＝∠MAN
∴△BAH≌△MAN（SAS），
∴BH＝MN，
∵HN+BH＝BN，
∴CN+MN＝BN；
（3）如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接FG，
∵∠ABO＝60°，A的坐标为（a，0），
∴OA＝﹣a，∠BAO＝30°，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴OC＝OA，CB＝AB，∠CBO＝∠ABO＝60°，∠BCO＝∠BAO＝30°，C（﹣a，0），
∴∠CBE＝180°﹣∠ABO﹣∠CBO＝60°，
∵AB＝BE，
∴CB＝BE，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BEC＝∠BCE＝60°，CE＝CB，
∵DG＝AD＝AB，
∴CE＝DG，
∵等腰△CDF中，∠DCF＝30°，FC＝FD，
∴∠FDC＝∠DCF＝30°，
∴∠CFD＝120°，
在四边形CEDF中，∠CFD+∠ECF+∠CED+∠EDF＝360°，
∴∠EDF+∠ECF＝360°﹣∠CFD﹣∠CED＝360°﹣120°﹣60°＝180°，
∵∠EDF+∠FDG＝180°，
∴∠ECF＝∠FDG，
在△CEF和△DGF中，
，
∴△CEF≌△DGF（SAS），
∴FE＝FG，∠EFC＝∠GFD，
∴∠EFG＝∠GFD+∠DFE＝∠EFC+∠DFE＝∠CFD＝120°，
∴∠FEG＝∠G＝30°，
∴∠BAO＝∠FEG，
∴EK＝AK，
∵∠CEK＝∠CEB﹣∠FEG＝30°，∠ACE＝∠BCO+∠BCE＝30°+60°＝90°，
∴EK＝2CK，
∴AK＝2CK，
设K（x，0），
则CK＝﹣a﹣x，AK＝x﹣a，
∵AK＝2CK，
∴x﹣a＝2（﹣a﹣x），
∴xa，
∴K（a，0）．
.

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