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2025-2026学年安徽省芜湖市弋江区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.）
1．（4分）据2026年1月2日芜湖高新区“弋江发布”消息，2025年弋江区在七大重点工作中都取得了成效．在城乡建设这一项中生态环境持续得到改善（PM2.5降至33微克/立方米，水源地水质100%达标）．其中，33微克等于0.000033克，数据0.000033用科学记数法表示为（　　）
A．3.3×10﹣5 B．3.3×10﹣6 C．3.3×10﹣7 D．0.33×10﹣4
2．（4分）下列长度的三条线段首尾顺次相接能构成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，2，6 D．2，3，5
3．（4分）若，则x的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣10 C．4 D．3
4．（4分）运用公式a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2将整式9x2﹣12x+4因式分解，则公式中的a可以是（　　）
A．3x B．9x C．9x2 D．3x2
5．（4分）正方形ABCD边长为a，点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，如图，则图中阴影部分的面积之和等于（　　）
A．a2 B．0.25a2 C．0.5a2 D．2
6．（4分）如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（　　）
A．画出三角形薄板的三条高，取其交点
B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点
C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点
D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点
7．（4分）计算（　　）
A． B． C． D．1
8．（4分）在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知△ABC中，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PB＝BC．下面是四个同学的作法，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（4分）设m，n为实数，定义如下一种新运算：m ，若关于x的方程a（x x）＝（x 12）+1无解，则a的值是（　　）
A．4 B．﹣3 C．4或3 D．4或﹣3
10．（4分）如图所示，长方形ABCD的边，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则当CG取最小值时，G到BC边的距离为（　　）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）三角形的三个内角度数之比为1：2：3，若按角分类，则这个三角形是　 　 三角形．
12．（5分）请将图中的三个角∠A、∠1、∠2按照大小关系排列　 　 ．（用“＜”连接）
13．（5分）22x+1+4x＝48，则x＝　 　 ．
14．（5分）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如：
例1：分解因式：x4+4
解：原式＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2
＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）
例2：分解因式：x3+5x﹣6
解：原式＝x3﹣x+6x﹣6
＝x（x2﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）（　　）
请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（1）上述材料中例2括号中应填入　 　 ；
（2）运用拆项添项法分解因式：x3﹣x2﹣4＝　 　 ．
三、（本大题2小题，每小题8分，共16分）
15．（8分）计算：（﹣1）2026+2﹣1﹣（π﹣3）0．
16．（8分）化简并求值：已知m＝2，n＝5，求代数式（m+2n）（m﹣3n）﹣m2的值．
四、（本大题2小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝3，则AB＝　 　 ．
18．（8分）如图所示，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，且BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F．证明：△ABC是等腰三角形．
五、（本大题2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别为A（0，4），C（3，﹣1），请按要求解答下列问题：
（1）在图中建立恰当的平面直角坐标系，并直接写出点B的坐标为　 　 ；
（2）请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．
20．（10分）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分面积分别能解释的数学公式．
图1：　 　 ；图2：　 　 ；图3：　 　 ．
（2）通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．
例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
方法一：从“数”的角度
解：∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即；a2+2ab+b2＝9，
又∵ab＝1，∴a2+b2＝7．即a2+b2＝7．
方法二：从“形”的角度
解：∵a+b＝3，又∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，
∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．
根据所给材料，解决以下问题：
如图5，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两侧作正方形，设AB＝12，两正方形的面积和S1+S2＝96，求图5中阴影部分面积．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图所示，△AEC，△ABD都是等边三角形，CD与BE相交于点O．
（1）证明：△DAC≌△BAE；
（2）求∠DOB的度数．
七、（本题满分12分）
22．（12分）“如果你有时间，一定要来一趟芜湖，吹吹十里江湾的晚风，逛逛灯火璀璨的鸠兹古城，看看奇幻瑰丽的方特”．节假日里，芜湖吸引了国内外很多游客，方特王国和古城游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受游客喜爱．国庆期间，古城景区非物质文化芜湖捏面人王师傅的小摊上“拉布布”、“水豚噜噜”等面人精美可爱，被不少顾客分享至网络，意外“走红”，他用500元购进的A款粘土和用750元购进的B款更稳定的改良粘土的数量相同，每份B款改良粘土的进价比A款粘土的进价多5元．
（1）求A，B两款粘土每份的进价；
（2）王师傅的摊位上既有成品，也接受带图定制，但多数顾客愿意等待，亲眼见证形象从无到有的诞生过程．王师傅计划再用不超过1320元的总费用购进这两款粘土共100份制作成面人进行销售，求B款改良粘土最多购进多少件？
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，在AB上取AE＝AC，连接CE，作AD⊥CE于点D，AD交BC于点F．设∠B＝α，
（1）当α＝30°，则∠AEC为　 　 ；
（2）当∠BCE＝30°时，求α；
（3）判断BC与AD的数量关系，并说明理由．
2025-2026学年安徽省芜湖市弋江区八年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D A C B D C C B
11.直角 12.∠A＜∠1＜∠2 13.2 14.（1）x2+x+6；（2）（x﹣2）（x2+x+2）
10．解：过点G作GH⊥AB于点H，作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，
∵四边形ABCD是长方形，，BC＝3，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，，
∵GH⊥AB，MN∥AB，
∴∠AHG＝∠HGM＝∠A＝90°，
∴∠HEG+∠HGE＝90°，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∵△EFG是等腰直角三角形，
∴∠FEG＝90°，EF＝EG，
∴∠HEG+∠AEF＝90°，
∴∠AEF＝∠HGE，
∵EF＝GE，∠A＝∠EHG，
∴△AEF≌△HGE（AAS），
∴AE＝HG＝1，
∴当点F在线段AD上运动时，点G在线段MN的某一部分上运动，
当点D，F重合时，线段CG的值最小，
∵∠A＝∠AHG＝∠HGM＝∠B＝∠BNG＝∠BHG＝90°，
∴四边形BNGH和四边形AHGM都是长方形，
∴HG＝BN＝1，BH＝NG＝AB﹣AE﹣EH＝AB﹣AE﹣AF，
∴G到BC边的距离为，
故选：B．
14．（1）原式＝x（x2﹣1）+6（x﹣1）
＝（x﹣1）[x（x+1）+6]
＝（x﹣1）（x2+x+6），
故括号中应填入 x2+x+6；．
故答案为：x2+x+6；
（2）原式＝x3﹣2x2+x2﹣4
＝x2（x﹣2）+（x2﹣4）
＝x2（x﹣2）+（x﹣2）（x+2）
＝（x﹣2）（x2+x+2），
故答案为：（x﹣2）（x2+x+2）．
解答题参考答案
15．（8分）计算：（﹣1）2026+2﹣1﹣（π﹣3）0．
解：（﹣1）2026+2﹣1﹣（π﹣3）0
．
16．解：（m+2n）（m﹣3n）﹣m2
＝m2﹣3mn+2mn﹣6n2﹣m2
＝﹣mn﹣6n2；
当m＝2，n＝5时，原式＝﹣2×5﹣6×52＝﹣10﹣150＝﹣160．
17．解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，AB＝2BC，
∵CD是高，
∴∠BCD＝30°，
∵BD＝3，
∴BC＝2BD＝2×3＝6，
∴AB＝2×6＝12；
故答案为：12．
18．证明：在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴BA＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
19．解：（1）平面直角坐标系，如图1即为所求；
由图可知，B（2，4），
故答案为：（2，4）；
（2）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，如图2即为所求，
由图可知，A1（0，﹣4），B1（2，﹣4），C1（3，1）．
20．解：（1）图1整体上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，拼成图1的四部分的面积和为a2+2ab+b2，
所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2；
图中阴影部分是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2，图2中阴影部分也可以看作大正方形与空白部分的面积差，即a2﹣2ab+b2，
所以有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
图3中长方形的长为a+b，宽为a﹣b，因此面积为（a+b）（a﹣b），图3中阴影部分也可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
所以有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）如图5，设正方形ACDE的边长为m，正方形BCFG的边长为n，
∵AB＝12，两正方形的面积和S1+S2＝96，
∴m+n＝AC+CB＝AB＝12，m2+n2＝96，
∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴144＝96+2mn，
解得mn＝24，
∴阴影部分的面积为mn＝12．
21．（1）证明：∵△ABD和△AEC都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，AD＝AB，AC＝AE，
∵∠DAB+∠BAC＝∠DAC，∠EAC+∠BAC＝∠BAE，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS）；
（2）解：由（1）知△DAC≌△BAE，
∴∠ADC＝∠ABE，
设CD与AB交于F，则∠AFD＝∠BFO，
∴∠DOB＝∠DAB＝60°．
22．解：（1）设A款粘土每份的进价是x元，则B款改良粘土每份的进价是（x+5）元，
由题意得：，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．
∴x+5＝10+5＝15元，
答：A款粘土每份的进价是10元，则B款改良粘土每份的进价是15元；
（2）设购进m份B款改良粘土，根据题意可得：
15m+10（100﹣m）≤1320，
解得：m≤64，
答：最多可以购进64份B款改良粘土．
23．解：（1）在△ABC中，∠BAC＝2∠B，∠B＝α，
∴当α＝30°时，得：∠BAC＝2α＝2×30°＝60°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴，
故答案为：60°；
（2）∵∠B＝α，∠BCE＝30°，
∴∠AEC＝∠B+∠BCE＝α+30°，
∵AD⊥CE，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴90°﹣∠AEC＝90°﹣∠ACE，
∴，
∵∠BAC＝2∠B＝2α，
∴∠EAD＝∠CAD＝α，
∴∠AEC＝90°﹣α，
∴90°﹣α＝α+30°，
解得：α＝30°；
（3）BC＝2AD；理由如下：
由（1）得∠BAF＝∠CAF，如图，过点C作CG∥AB交AD的延长线于点G，
∴∠BCG＝∠B＝α，∴∠BAF＝∠CAF＝∠G＝α，
∴∠BAF＝∠CAG＝∠B＝∠BCG＝∠G＝α，
∴FA＝FB，FC＝FG，CA＝CG，
∴AG＝AF+FG＝BF+CF＝BC，
在△ACG中，CA＝CG，AG⊥CD，
∴AD＝DG，∴AG＝2AD，
∴BC＝2AD．
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