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专题2-1 直线方程重难点题型巩固
【题型1】知识点梳理与概念辨析 2
【题型2】由平行，垂直关系求参数 5
【题型3】由截距求直线方程 7
【题型4】斜率或倾斜角取值范围问题 10
【题型5】直线过定点问题 15
【题型6】3类与直线有关的对称问题 18
【题型7】光的反射问题 21
【题型8】直线方程3类常考最值问题 25
【题型9】直线距离问题综合 29
【题型10】坐标系中三角形三线综合问题 33
【题型1】知识点梳理与概念辨析
1、成立的前提条件
①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；
补充当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则.
2、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在
补充：当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.
3、梳理清楚五类直线方程的表达式与限制条件
（易错）下列说法中正确的有（ ）
A．若两直线平行，则两直线的斜率相等
B．若两直线的斜率相等，则两直线平行
C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直
D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于
【答案】C
【分析】根据直线斜率与位置关系的相关知识直接判断即可.
【详解】对于A，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以A错误；
对于B，若两直线的斜率相等，则两直线平行或重合，所以B错误；
对于C，若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直，故C正确；
对于D，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于，故D错误
下列命题正确的是（ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．直线过点．倾斜角为，则其方程为
C．在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示
D．直线在轴上截距为2
【答案】B
【分析】根据直线斜率是否存在可判断A,B;根据截距可以为0可判断C;计算出直线在轴上截距可判断D.
【详解】对于A选项：当直线过点且与轴垂直时，直线方程不能用表示，故A错误；
对于B选项：直线过点，倾斜角为，此时斜率不存在，直线方程可表示为，故B正确；
对于C选项：在坐标轴上截距相等的直线可能过原点，所以不一定能用表示，故C错误；
对于D选项：由直线,令，解得，所以该直线在轴上截距为，故D错误
（多选）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有　　
A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
【解答】解：平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故正确；
但由于和轴垂直的直线倾斜角等于，故它的斜率不存在，故错误；
若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为不一定是，如时，此时，直线的倾斜角为．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，故正确，
故选：．
【巩固练习1】下列四个命题中，正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距为2
B．直线的倾斜角和斜率均存在
C．若两直线的斜率满足，则两直线互相平行
D．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
【答案】B
【分析】根据方程直接求解可判断A；由倾斜角和斜率的定义可判断B；根据直线平行与斜率的关系可判断C；由倾斜角为时斜率不存在可判断D.
【详解】对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故错误；
直线的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B正确；
若两直线的斜率满足，则两直线互相平行或重合，所以C错误；
若两直线的倾斜角为，则它们的斜率不存在，所以D错误
【巩固练习2】下列四个命题：其中正确命题的个数是（ ）
①经过定点的直线都可以用方程表示；
②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示；
③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线；
④经过定点的直线都可以用方程表示．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对四个命题得答案.
【详解】①经过定点的直线当斜率存在时可以用方程表示，当斜率不存在时用方程，①错误；
②经过任意两个不同的点，白的直线都可以用方程表示，②错误；
③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线；③正确；
④经过定点且垂直于轴的直线不能用方程表示，④错误
【巩固练习3】（多选）下列关于直线方程的说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角可以是
B．直线过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为
C．过点的直线的直线方程还可以写成
D．经过两点的直线方程可以表示为
【答案】AC
【分析】当可知直线倾斜角为，知A正确；分别讨论直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况，可知B错误；根据和可整理得到C正确；当或时，两点式方程无法应用，知D错误.
【详解】对于A，当时，直线方程为：，此时直线倾斜角为，A正确；
对于B，当直线过坐标原点时，，此时其在两坐标轴上的截距相等；
当直线不过坐标原点时，设，则，；
综上所述：过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：或，B错误；
对于C，在直线上，，
则，，C正确；
对于D，若或，则过两点的直线无法表示为，D错误.
【题型2】由平行，垂直关系求参数
1、由一般式确定两直线平行的方法
判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则：
当时，直线相交；
当时，直线平行或重合，代回检验；
2、由一般式确定两直线垂直的方法
判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则：
当时，直线相交；
当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．
若直线与直线垂直，则实数的值为 .
【答案】或
【分析】利用两直线位置关系计算即可.
【详解】由题意可知或.
已知直线与平行，则实数的值为　　
A． B．2
C．或2 D．以上答案均不对
【解答】解：直线与平行，
，解得
【巩固练习1】直线：与直线：平行，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】根据两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】当时，有，故或，
当时，的方程为，的方程为，此时两条直线重合，不符合；
当时，的方程为，的方程为，符合；
综上，“”是“”的充要条件
【巩固练习2】已知直线和，问实数为何值时，分别有：
（1）与相交？（2）？（3）与重合？
【解答】解：（1）直线和，
与相交，，解得，．
（2）直线和，
与平行，，解得．
（3）直线和，
与重合，，解得．
【题型3】求直线方程
易错点：忽略截距式方程的限制
已知直线经过
(1)当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程；
(2)当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)或
【分析】（1）由直线的倾斜角为45°时，求得斜率为，结合点斜式方程，即可求解；
（2）当直线过原点时，得到；当直线不过原点时，设方程为，代入点，求得，即可求解.
【详解】（1）由题意，直线的倾斜角为45°时，可得直线的斜率为，
又由直线经过，所以直线的方程为，即直线的方程为.
（2）当直线过原点时，因为直线经过，可得直线方程为，即；
当直线不过原点时，可设直线的方程为，
因为直线过点，可得，解得，所以直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【分析】利用截距式设直线的方程得到，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】设直线：，，
因为直线过点，所以，即，
所以，解得，当且仅当，即，时等号成立，
则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积.
【巩固练习1】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.
【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，
又因为直线过点，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为点在直线上，所以，解得，所以直线方程为，
故所求直线方程为或.故C项正确.
【巩固练习2】（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线过定点．
(1)求点的坐标；
(2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值．
【答案】(1)；(2)或2
【分析】（1）利用直线求定点的方法直接列方程求解即可.
（2）首先得出，然后根据截距相等列方程求解即可.
【详解】（1）直线，则，定点.
（2）由直线在轴和轴上的截距相等，显然不为0（否则直线在坐标轴上的截距不相等，与题意矛盾），
令，可得，令，可得，
由直线在轴和轴上的截距相等，有，解得或2
【巩固练习3】过点的直线
（1）求在两个坐标轴上截距相等的方程；
（2）求与x,y正半轴相交，交点分别是A、B,当△AOB面积最小时的直线方程.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）分类讨论，直线过原点，直接求出斜率后得直线方程，直线不过原点时设方程为求解；
（2）设出截距式方程为，代入点的坐标，用基本不等式求得的最小值，从而得直线方程．
【详解】（1）当直线过原点时，斜率为，直线方程为；
当直线不过原点时设方程为，则，解得，直线方程为，即．
综上所求直线方程为和．
（2）设直线方程为，∵直线过点，∴，
，当且仅当，即时等号成立，∴，
，∴△AOB面积最小值为24，此时直线方程为，即
【题型4】斜率或倾斜角取值范围问题
求斜率范围看直线能否竖直，直线能竖直则斜率范围带
求倾斜角范围看直线能否水平：直线能水平则倾斜角为范围带有0°和180°
（23-24高二上·湖南张家界·阶段练习）已知某直线的倾斜角，则该直线的斜率的范围为 ．
【答案】
【分析】根据倾斜角和斜率关系确定斜率范围即可.
【详解】当，斜率，
当，斜率不存在，当，斜率，
综上，，则.
已知直线：y = kx - 4与直线：x + 2y + 2 = 0的交点在第三象限.则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得两直线的交点坐标，根据其所处现象列出不等式，求解即可.
【详解】联立直线的方程可得，显然，故，则，
根据题意，且，解得且，故.
已知点，，若直线与线段有公共点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出图像，求斜率范围即可.
【详解】
若与线段有公共点，分析必过，且，，则.
已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围.
【详解】如图所示：
由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为，
由直线与线段相交，可得的范围是；
由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角
【巩固练习1】已知直线的斜率，则该直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用斜率公式将转化为（），解不等式即可.
【详解】直线倾斜角为，则，
由可得，所以.
【巩固练习2】直线l的斜率k的取值范围是，则倾斜角的范围是 ．
【答案】
【分析】利用，再根据条件和的图像即可求出结果.
【详解】因为，又斜率k的取值范围是，
所以，又，时，，时，，
由图可得，

【巩固练习3】已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出两直线交点的坐标，根据交点位置可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围.
【详解】联立可得，所以，两直线的交点坐标为，且交点在第四象限，
则，解得，因此，实数的取值范围是.
【巩固练习4】设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解.
【详解】依题意，直线的斜率分别为，
如图所示：
若直线过点且与线段相交，则的斜率满足或，
即的斜率的取值范围是或 .
【巩固练习5】已知点，若经过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合求出直线的斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系可求得结果.
【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率，
直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足，
当时，直线l的倾斜角，当时，，
所以直线l的倾斜角的取值范围为.故选：C
【巩固练习6】已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围.
【详解】如图所示：
由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为，
由直线与线段相交，可得的范围是；由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角
【题型5】直线过定点问题
核心思路:把参数当成主元，把xy当成参数，当m前面的系数为0时，则不管m为何值，方程恒成立，即可推出等量关系
直线恒过定点
【答案】
【分析】整理直线方程，列出方程组，求出定点坐标即得.
【详解】直线，化为，令，解得，
所以直线恒过定点
已知点，直线，若直线l与线段有交点，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【分析】首先求出直线恒过定点，表示出直线的斜率，再结合图形即可求出参数的取值范围.
【详解】∵，即，令，则，
即直线过定点，且斜率，则，
根据题意结合图形可得或，即或. 故答案为：.
已知直线l方程为，
那m为 时，点到直线l的距离最大，最大值为
【答案】
【分析】求出直线过定点的坐标，当时，为所求点到直线距离的最大值，再由垂直求得值．
【详解】直线l：化为，由，得 ，
直线l必过定点．
当点到直线l的距离最大时，垂直于已知的直线l，即点与定点的连线长就是所求最大值，
此时直线与直线垂直，
，解得，此时，点到直线的最大距离是．
综上所述，时，点到直线的距离最大，最大值为．
【巩固练习1】若直线必过一定点，则该定点坐标是 ．
【答案】
【分析】将直线变形成为，令参数的系数为0,剩余部分为0,解出关于的二元一次方程组,即可得定点.
【详解】由得，
要是恒成立，只需，解之得，
所以过定点.
【巩固练习2】已知直线为实数）过定点，则点的坐标为　　．
【解答】解：直线为实数），即，
该直线经过 和的交点，
故答案为：．
【巩固练习3】已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由直线恒过定点，分别计算，，结合图象即可得的范围.
【详解】直线经过定点，如图所示，
则，
因为直线与连接两点的线段相交，所以由图可知，.
【巩固练习4】（23-24高二上·山东·期中）已知直线过点．
(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
(2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值．
【答案】(1)或；(2)4
【分析】（1）因为在两坐标轴上的截距相等，所以按截距是否为，分类求解；
（2）设直线斜率为，求解与坐标轴的交点，将面积表示为函数，利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）①当直线过坐标原点，直线过点．所以方程为，即；
②当直线不过坐标原点，，设方程为，
由直线过点，将代入方程得，解得，所以直线的方程为，即；
综上：的方程为或.
（2）由题意知斜率存在且小于0，设方程为，
令，解得；令，解得；因为，所以，，
所以面积 ，
当且仅当即时取等号，
所以面积的最小值为4.
【题型6】与直线有关的对称问题
类型一：点关于直线对称
方法：待定系数法解方程组
类型二：直线关于直线对称
方法：求一个对称点和交点联立得两点式方程
类型三：直线关于点对称
中心对称后斜率不变，再求一个对称点即可得出点斜式方程
一、点关于点对称
若直线与直线关于点对称，则直线一定过定点　　
A． B． C． D．
【解答】解：由于直线恒过定点，其关于点对称的点为，
又由于直线与直线关于点对称，直线恒过定点．
二、点关于直线对称
点关于直线的对称点是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设点关于直线的对称点是，则有，解得，，
故点关于直线的对称点是．
三、直线关于直线对称
（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解.
【详解】由，解得，则直线与直线交于点，
在直线上取点，设点关于直线的对称点，
依题意，，整理得，解得，即点，
直线的方程为，即，
所以直线关于直线对称的直线方程为.
故选：D
四、直线关于点对称
与直线关于坐标原点对称的直线方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设直线点，关于点对称的直线上的点，
所求直线关于点的对称直线为，
由中点坐标公式得，；解得，代入直线，
得，整理得：，即所求直线方程为：．
【巩固练习1】与直线关于轴对称的直线的方程为 .
【答案】
【分析】根据题意，求得对称直线的斜率，再由直线直线与的交点，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】由直线的斜率为，可得直线关于的对称直线的斜率为，
又因为直线与的交点为，所以对称直线的方程为，
即对称直线的方程为.
【巩固练习2】已知点，直线，点关于直线的对称点的坐标是 　　．
【解答】解：设点关于直线的对称点的坐标为，则，
解得，，故点
【巩固练习3】点关于直线对称的点的坐标为 　　　　．
【解答】解：设所求的对称点为，则，解得，故所求对称点的坐标为．
【题型7】光的反射问题
在直线方程的学习中，我们经常遇到光的反射问题，比如求入(反)射光线方程、求从确定入射点到确定反射点所走的路程、求从确定入射点出发经过几次反射又返回最初入射点的最短路程问题，这些问题的快速解决基本上都离不开“对称法”.
（23-24高二上·浙江宁波·期中）如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点关于线对称求出C点标,结合反射光线的性质应用两点间距离公式求出距离的最小值即可.
【详解】
一束光线从出发，经直线反射,与交于点P,
由题意可得，点关于直线的对称点在反射光线上，
设,则,,
故光线从A到B所经过的最短路程是.
（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为 .

【答案】
【分析】作出点关于轴的对称点以及关于的对称点，将问题转化为求解，由此求解出结果.
【详解】点关于轴的对称点，关于的对称点，如图所示，

又因为，，所以直线方程为：，即，
所以，解得，即.
所以光线经过的路程为.
【巩固练习1】一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为 ．
【答案】
【分析】根据点斜式求入射光线所在直线方程，然后利用对称性可得所求.
【详解】由题知，入射光线所在直线方程为，即，
因为入射光线所在直线和反射光线所在直线关于x轴对称，
所以反射光线所在的直线方程为.
【巩固练习2】已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先求出关于直线的对称点，再求出与所在的直线方程即为入射光线所在直线的方程.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则解得即.所以人射光线所在直线的方程为，即.
【巩固练习3】一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的一般方程为 .
【答案】
【分析】根据条件，求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点(0，2)关于直线的对称点即可.
【详解】由光的反射定律知，反射光线所在直线与直线关于直线对称，
则得，即有光线的入射点为，设直线上的点(0，2)关于直线对称点为，则，解得，因此，反射光线所在直线必过点和点，直线AB方程为：，整理得：，所以反射光线所在直线的一般方程为：.
【巩固练习4】从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过坐标原点，则反射光线所在直线的方程为 ．
【答案】
【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可求出反射光线的斜率，进而可求得反射光线所在直线的方程.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则线段的中点在直线上，则，①
因为直线的斜率为，直线与直线垂直，则，②
联立①②可得，即点，
因为反射光线过原点，所以，反射光线所在直线的斜率为，
所以反射光线所在直线的方程为，即．
【题型8】直线方程3类常考最值问题
类型一：点到直线距离最值即两定点之间的距离
类型二：线段和差最值问题一半需要做对称
类型三：由代数最值转化为几何将军饮马问题
点到直线距离的最大值为　　
A．1 B． C． D．2
【解答】解：方法一：因为点到直线距离；
要求距离的最大值，故需；，当且仅当时等号成立，
可得，当时等号成立．
方法二：由可知，直线过定点，
记，则点到直线距离
已知点、，在直线上，则的最小值等于 .
【答案】12
【分析】求出关于的对称点的坐标，则即为的最小值.
【详解】设关于的对称点为则，解得，，，则，
所以的最小值是12.
故答案为：.
已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由表示直线上一动点到定点的距离之和，利用数形结合法求解.
【详解】解：表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示：

设点关于直线的对称点为，则，解得，
所以对称点为，则
由图知：的最小值为
【巩固练习1】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解.
【详解】，
表示平面上点与点，的距离和，连接，与轴交于，
此时直线方程为，令，则
的最小值为，此时
【巩固练习2】设，求的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据的表达式可知，其几何意义表示直线上一点到点和点的距离之和，根据“将军饮马”模 型求解即可.
【详解】根据题意可得，
表示直线上一点到点和点的距离之和，
点关于直线的对称点为，则满足解得；
所以点关于直线的对称点为，如下图所示：
则所以.
【巩固练习3】著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案.
【详解】，
则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，
即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值，
即．故选：A.
【题型9】直线距离问题综合
一、两点间的距离
平面上任意两点，间的距离公式为
特别地，原点与任一点的距离.
二、点到直线的距离
平面上任意一点到直线：的距离.
三、两条平行线间的距离
一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离.
已知点到直线的距离为，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【详解】直线可化为，依题意得，整理得，所以或-1．当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，故选C．
已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为 .
【答案】或
【分析】根据直线与直线的位置关系，分类讨论，可得其斜率之间的关系，求得斜率，可得答案.
【详解】设直线的斜率为，直线的斜率为，
当直线时，显然点，到直线的距离相等，如下图：

则此时，由，且直线过，
则直线的方程为，整理可得；
当直线与直线相交时，作于，于，如下图：

若，由，，则，
可得，即为的中点，其坐标为，
此时直线的斜率，直线的方程为，整理可得.
已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为　 　．
【解答】解：直线，即，
该直线经过 和的交点 2，，
当点在直线上，点到直线的距离最小为0；
当和直线垂直时，点到直线的距离最大为，
故点到直线的距离的取值范围为，
【巩固练习1】（23-24高二上·湖北十堰·期末）（多选）点到直线的距离相等，则的值可能为（ ）
A．－2 B．2 C．9 D．11
【答案】BD
【分析】分点在直线的同侧或两侧进行讨论即可.
【详解】①若点在的同侧，则直线，
即，解得，
②若在的两侧，则经过线段的中点，
即
【巩固练习2】已知，两点到直线：的距离相等，则（ ）
A． B．6 C．或4 D．4或6
【答案】D
【分析】求出点到直线的距离和点到直线的距离，二者相等求解方程即可.
【详解】点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
因为点到直线的距离和点到直线的距离相等，
所以，所以或.
【巩固练习3】已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【分析】分别研究位于直线同侧以及位于直线两侧时的情况，即可得出答案.
【详解】当位于直线同侧时，只有时，且两平行线之间的距离为时，满足条件，这样的直线有2条；
又，
所以位于直线两侧时，只有当直线恰为直线的中垂线时，满足条件，此时的直线有1条.
综上所述，满足条件的直线共有3条.
【巩固练习4】到直线的距离不超过，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】直接利用点到直线的距离公式得到不等式，解得即可.
【详解】因为到直线的距离不超过，
所以，解得，
即实数的取值范围是.
【巩固练习5】已知三条直线，，，且与间的距离是．
（1）求的值．
（2）能否找到一点，使同时满足下列三个条件？若能，求点的坐标；若不能，说明理由．
①点在第一象限；
②点到的距离是点到的距离的；
③点到的距离与点到的距离之比是．
【解答】解：（1）将直线的方程化为，
两条平行线与间的距离，
由，解得．
（2）假设存在点，设点，．若点满足条件②，则点在与，平行的直线上，
且，解得或，
所以或．
若点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有，
即，
所以或．
由于点在第一象限，所以排除．
联立方程和，
解得（舍去）；
联立方程和，
解得，所以存在点，同时满足三个条件．
【题型10】坐标系中三角形三线综合问题
中线处理策略：设点坐标，再表示出中点坐标，带入中线方程
高线处理策略：斜率之积为－1
角平分线处理策略：把一个顶点关于角平分线做对称
（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为.
(1)求直线的方程；
(2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程；
（2）设点，利用的中点在直线上，求出值，再由点在直线上求出值.
【详解】（1）依题意，由边上的高所在的直线的斜率为，得直线的斜率为，
又，所以直线的方程为，即.
（2）由点在轴上，设，则线段的中点，
由点在直线上，得，得，即，
又点在直线上，因此，解得，
所以的值为.
（23-24高二上·福建三明·期中）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求：
(1)直线的一般式方程；
(2)求的边的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直确定，再计算直线方程得到答案.
（2）设，根据的中点在直线上，结合在上，得到答案.
【详解】（1）边上的高所在的直线方程为，斜率，故，
直线方程为，即；
（2）设，则的中点坐标为，
则，解得，即，.
（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为．
(1)求直线的方程；
(2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程．
【答案】(1)；(2)或.
【分析】（1）求出直线方程，与直线方程联立求出点的坐标，再设出点的坐标，由的中点在直线上，求出点的坐标，然后求出直线方程.
（2）按直线过的中点及与平行求出方程即得.
【详解】（1）由边的垂直平分线的斜率为，得直线方程为，即，
而边中线所在的直线方程为，
由，解得，则，设点，则点，
于是，解得，即点，直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
（2）由（1）知，，，
由直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，得直线过边的中点，或，
当直线过时，直线的斜率为，方程为，即，
当直线时，直线的斜率为，方程为，即，
所以直线l的方程为或.
（22-23高二上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，边上的高线所在的直线方程为,的角平分线所在直线方程为.
(1)求点的坐标；
(2)求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线的斜截式方程及两直线垂直关系，结合直线的点斜式方程及两直线相交求交点坐标的方法即可求解.
（2）利用角平分线的性质及点关于线对称，再根据（1）的结论及直线的两点式方程即可求解.
【详解】（1）由，得，所以直线的斜率为，
因为,所以，即，
所以直线的直线方程为：，即，
由，解得.
所以点的坐标为.
（2）由题意根据内角平分线的性质，可得关于直线的对称点在直线上.
设，则由和垂直，且的中点在上，
可得，解得，所以，
所以直线的方程为，即.
（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知的顶点边上的高所在的直线方程为.
(1)求直线的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
①角的平分线所在直线方程为；
②边上的中线所在的直线方程为.
若__________.求直线的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据直线垂直，求得斜率，利用点斜式方程，可得答案.
（2）联立直线方程，求得点的坐标，选择条件①，②分别利用角平分线的对称或中线的对称，求解即得答案.
【详解】（1）由边上的高所在的直线方程为，得直线的斜率，而的顶点，
所以直线的方程为：，即.
（2）选①，角的平分线所在直线方程为，令该直线与边交于点，
由，解得，即点A坐标为，
设点B关于的对称点为，
则，解得，即坐标为，
显然点在直线上，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
选②，边上的中线所在的直线方程为，
由，解得，即点A坐标为，
设点，则的中点在直线上，即，
整理得，又点在直线上，即，
由，解得，即点，直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
【巩固练习1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
(1)求点的坐标；
(2)求直线的方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由垂直关系求出直线的方程，再求出两直线的交点坐标即得.
（2）设出点的坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，再利用两点式求出直线方程.
【详解】（1）由边上的高线所在的直线方程为，得直线的斜率为1，
直线方程为，即，
由，解得，
所以点的坐标是.
（2）由点在直线上，设点，于是边的中点在直线上，
因此，解得，即得点，直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
【巩固练习2】（23-24高二上·山东淄博·期中）已知的顶点，边上的高BH所在直线为，边上的中线AD所在直线方程为．
(1)求顶点A的坐标；
(2)求直线的方程.（结果用一般式方程表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，求所在直线方程，与AD所在直线方程联立方程组求顶点A的坐标；
（2）设，则，分别代入BH所在直线和AD所在直线方程，求出，可求直线的方程.
【详解】（1）， 所在直线方程为，即，
由，得：，所以
（2）设，则，分别代入BH所在直线和AD所在直线方程，
即，解得：，即，
所以，即直线的方程.
【巩固练习3】在中，BC边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点B的坐标为（1，2）.
(1)求点A和点C的坐标；
(2)求AC边上的高所在的直线l的斜截式方程.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先求出A的坐标，再求出AC所在直线方程和BC所在直线方程，最后联立方程求出C的坐标；
（2）先求出直线l的斜率，再求出直线l的斜截式方程.
【详解】（1）由已知A是BC边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，
由，得，故，
又因为,所以直线AB和直线AC的倾斜角互补，所以
又
所以AC所在直线方程为，BC所在直线方程为，
由，得，
所以点A和点C的坐标为，；
（2）由（1）知AC所在直线方程为，
所以直线l的斜率为，
因为，所以直线l所在的方程为，即，
所以直线l的斜截式方程为.
【巩固练习4】（23-24高二上·河北保定·阶段练习）已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，所在的直线方程为.
(1)求点的坐标；
(2)求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）设点，由，所在的直线方程建立方程求解即可；
（2）根据角平分线的性质求关于直线的对称点，即可求直线方程.
【详解】（1）设，则由题意可知①，
又，所以②，
联立①②方程解得，即；
（2）
设关于直线的对称点，则有的中点在直线上，
即，解之得，
显然直线为的角平分线，即直线与重合，
则，所以直线的方程为.
【巩固练习5】（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知的边上的高所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为为边的中点.
(1)求边所在的直线方程；
(2)求点的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两直线的交点坐标公式以及两直线的垂直与斜率的关系求解；
（2）利用点关于直线对称的坐标公式以及两直线的交点坐标公式求解.
【详解】（1）由解得,
所以点的坐标为，
又为边的中点，所以，
又边上的高所在的直线方程为，
其斜率为，所以直线的斜率为，
所以边所在的直线方程为，
即.
（2）设关于直线方程对称的点为，
则，解得，
则，
又角的平分线所在的直线方程为，
所以点在直线上，
所以直线的方程为，
即，
联立，解得，故点的坐标为.
【巩固练习6】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为．
(1)求点的坐标；
(2)求直线的方程
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，由中点在上，点在直线上，联立方程求出的坐标；
（2）求出关于的对称点的坐标，即可求出直线的方程.
【详解】（1）设，顶点的坐标为，
由中点在上，
可得：，即，
又由于点在直线上，得，
联立解得，即；
（2）顶点的坐标为，
设A点关于的对称点为，
则有，解得，即，
显然点在BC边所在的直线上，且，
得直线的方程为：，
所以直线的方程为：.
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专题2-1 直线方程重难点题型巩固
【题型1】知识点梳理与概念辨析 1
【题型2】由平行，垂直关系求参数 3
【题型3】由截距求直线方程 3
【题型4】斜率或倾斜角取值范围问题 4
【题型5】直线过定点问题 5
【题型6】3类与直线有关的对称问题 6
【题型7】光的反射问题 7
【题型8】直线方程3类常考最值问题 8
【题型9】直线距离问题综合 8
【题型10】坐标系中三角形三线综合问题 10
【题型1】知识点梳理与概念辨析
1、成立的前提条件
①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；
补充当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则.
2、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在
补充：当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.
3、梳理清楚五类直线方程的表达式与限制条件
（易错）下列说法中正确的有（ ）
A．若两直线平行，则两直线的斜率相等
B．若两直线的斜率相等，则两直线平行
C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直
D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于
下列命题正确的是（ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．直线过点．倾斜角为，则其方程为
C．在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示
D．直线在轴上截距为2
（多选）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有　　
A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
【巩固练习1】下列四个命题中，正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距为2
B．直线的倾斜角和斜率均存在
C．若两直线的斜率满足，则两直线互相平行
D．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
【巩固练习2】下列四个命题：其中正确命题的个数是（ ）
①经过定点的直线都可以用方程表示；
②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示；
③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线；
④经过定点的直线都可以用方程表示．
A．0 B．1 C．2 D．3
【巩固练习3】（多选）下列关于直线方程的说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角可以是
B．直线过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为
C．过点的直线的直线方程还可以写成
D．经过两点的直线方程可以表示为
【题型2】由平行，垂直关系求参数
1、由一般式确定两直线平行的方法
判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则：
当时，直线相交；
当时，直线平行或重合，代回检验；
2、由一般式确定两直线垂直的方法
判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则：
当时，直线相交；
当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．
若直线与直线垂直，则实数的值为 .
已知直线与平行，则实数的值为　　
A． B．2 C．或2 D．以上答案均不对
【巩固练习1】直线：与直线：平行，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要
【巩固练习2】已知直线和，问实数为何值时，分别有：（1）与相交？（2）？（3）与重合？
【题型3】求直线方程
易错点：忽略截距式方程的限制
已知直线经过
(1)当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程；
(2)当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程.
直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【巩固练习1】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【巩固练习2】（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线过定点．
求点的坐标；(2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值．
【巩固练习3】过点的直线
（1）求在两个坐标轴上截距相等的方程；
（2）求与x,y正半轴相交，交点分别是A、B,当△AOB面积最小时的直线方程.
【题型4】斜率或倾斜角取值范围问题
求斜率范围看直线能否竖直，直线能竖直则斜率范围带
求倾斜角范围看直线能否水平：直线能水平则倾斜角为范围带有0°和180°
（23-24高二上·湖南张家界·阶段练习）已知某直线的倾斜角，则该直线的斜率的范围为 ．
已知直线：y = kx - 4与直线：x + 2y + 2 = 0的交点在第三象限.则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
已知点，，若直线与线段有公共点，则（ ）
A． B． C． D．
已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ．
【巩固练习1】已知直线的斜率，则该直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】直线l的斜率k的取值范围是，则倾斜角的范围是 ．
【巩固练习3】已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 .
【巩固练习4】设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【巩固练习5】已知点，若经过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习6】已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ．
【题型5】直线过定点问题
核心思路:把参数当成主元，把xy当成参数，当m前面的系数为0时，则不管m为何值，方程恒成立，即可推出等量关系
直线恒过定点
已知点，直线，若直线l与线段有交点，则实数m的取值范围为 .
已知直线l方程为，那m为 时，点到直线l的距离最大，最大值为
【巩固练习1】若直线必过一定点，则该定点坐标是 ．
【巩固练习2】已知直线为实数）过定点，则点的坐标为　 　．
【巩固练习3】已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 .
【巩固练习4】（23-24高二上·山东·期中）已知直线过点．
(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
(2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值．
【题型6】与直线有关的对称问题
类型一：点关于直线对称
方法：待定系数法解方程组
类型二：直线关于直线对称
方法：求一个对称点和交点联立得两点式方程
类型三：直线关于点对称
中心对称后斜率不变，再求一个对称点即可得出点斜式方程
一、点关于点对称
若直线与直线关于点对称，则直线一定过定点　　
A． B． C． D．
二、点关于直线对称
点关于直线的对称点是　　
A． B． C． D．
三、直线关于直线对称
（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
四、直线关于点对称
与直线关于坐标原点对称的直线方程为　　
A． B． C． D．
【巩固练习1】与直线关于轴对称的直线的方程为 .
【巩固练习2】已知点，直线，点关于直线的对称点的坐标是 　　．
【巩固练习3】点关于直线对称的点的坐标为 　　　　．
【题型7】光的反射问题
在直线方程的学习中，我们经常遇到光的反射问题，比如求入(反)射光线方程、求从确定入射点到确定反射点所走的路程、求从确定入射点出发经过几次反射又返回最初入射点的最短路程问题，这些问题的快速解决基本上都离不开“对称法”.
如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（ ）
A． B． C． D．
（23-24·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为 .

【巩固练习1】一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为 ．
【巩固练习2】已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的一般方程为 .
【巩固练习4】从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过坐标原点，则反射光线所在直线的方程为 ．
【题型8】直线方程3类常考最值问题
类型一：点到直线距离最值即两定点之间的距离
类型二：线段和差最值问题一半需要做对称
类型三：由代数最值转化为几何将军饮马问题
点到直线距离的最大值为　　
A．1 B． C． D．2
已知点、，在直线上，则的最小值等于 .
已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【巩固练习2】设，求的最小值是 ．
【巩固练习3】著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型9】直线距离问题综合
一、两点间的距离
平面上任意两点，间的距离公式为
特别地，原点与任一点的距离.
二、点到直线的距离
平面上任意一点到直线：的距离.
三、两条平行线间的距离
一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离.
已知点到直线的距离为，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．
已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为 .
已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为　 　．
【巩固练习1】（多选）点到直线的距离相等，则的值可能为（ ）
A．－2 B．2 C．9 D．11
【巩固练习2】已知，两点到直线：的距离相等，则（ ）
A． B．6 C．或4 D．4或6
【巩固练习3】已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【巩固练习4】到直线的距离不超过，则实数的取值范围是 .
【巩固练习5】已知三条直线，，，且与间的距离是．
（1）求的值．
（2）能否找到一点，使同时满足下列三个条件？若能，求点的坐标；若不能，说明理由．
①点在第一象限；
②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是．
【题型10】坐标系中三角形三线综合问题
中线处理策略：设点坐标，再表示出中点坐标，带入中线方程
高线处理策略：斜率之积为－1
角平分线处理策略：把一个顶点关于角平分线做对称
已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为.
求直线的方程；(2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值.
已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求：
(1)直线的一般式方程；(2)求的边的长．
在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为．
(1)求直线的方程；(2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程．
（22-23高二上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，边上的高线所在的直线方程为,的角平分线所在直线方程为.
(1)求点的坐标；(2)求直线的方程.
（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知的顶点边上的高所在的直线方程为.
(1)求直线的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
①角的平分线所在直线方程为；
②边上的中线所在的直线方程为.
若__________.求直线的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【巩固练习1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
(1)求点的坐标；(2)求直线的方程．
【巩固练习2】已知的顶点，边上的高BH所在直线为，边上的中线AD所在直线方程为．
(1)求顶点A的坐标；(2)求直线的方程.（结果用一般式方程表示）．
【巩固练习3】在中，BC边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点B的坐标为（1，2）.
(1)求点A和点C的坐标；(2)求AC边上的高所在的直线l的斜截式方程.
【巩固练习4】（23-24高二上·河北保定·阶段练习）已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，所在的直线方程为.
(1)求点的坐标；(2)求直线的方程.
【巩固练习5】（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知的边上的高所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为为边的中点.
(1)求边所在的直线方程；(2)求点的坐标.
【巩固练习6】已知的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为．
求点的坐标；(2)求直线的方程
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