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大庆铁人中学2025级高一年级下学期期末考试
数 学
2026.7
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单选题(本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若空间中四条不同的直线，，，，满足 ， 则下面结论正确的是
A． B．
C．，既不垂直也不平行 D．，的位置关系不确定
3．从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是
A．A与B对立 B．B与C互斥 C．A与C互斥 D．B与C不对立
4．正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
5．已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，，那么在上的投影向量为
A． B． C． D．
6．某市有5个旅游景点，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万人，标准差为，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万人，被误统计为15万人，乙景点实际为18万人，被误统计成23万人；更正后重新计算得到标准差大庆铁人中学 2025 级高一年级下学期期末数学试题答案 PA AB 2， AC 2 ，可得PC 6 ．
PA 6
一、二选择题： sin ACD .
PC 3
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6
即直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ．
答案 B D B D C A A B ABC BCD BC 3
a a
三．填空题 17．（1） bcosC ccosB 0 ， bcosC ccosB ， 2cosA 2cosA
sinA sinA sinA
5 3 1 由正弦定理得sinBcosC sinCcosB ， sin B C ， sinA .
12. 9或 7 13. 14. 2cosA 2cosA 2cosA
6 2 1 1
又 sinA 0, 1 ，即cosA .
2cosA 2
四．解答题
π
A 0,π ， A ；
π 1 3
15．（1）由题意a b a b cos 2 1 1，
3 2 1 1 3
（2）由题意可得： S ABC bcsinA bc 2 3 ，所以bc 8 .
2 2 2 2 2
因为 a b a b a 2 2a b b 2 4 2 1 1 7，所以 a b 7 .
2 2 2 2 2 1 2 2
由余弦定理得a b c 2bccosA b c 2bc b c bc 2bc bc bc 8，
2
（2）由 ka b a 2b 0 ka2 2k 1 a b 2b 2 0，
当且仅当b c 2 2 时等号成立， a 2 2 ，即 a 的最小值为2 2 .
1
所以4k 2k 1 2 0，解得 k .
2 18.（1）设 AD 1，所以 AB 3,CD 2 ，因为F 为CD中点，所以DF 1，因为EF / /AD，
由 1ka b / / a 2b 2k 1 0 k . AB / /CD，所以 AEFD 是平行四边形， 所以 AE / /DF ，所以 A E / /D F ， 2
1 1 1
综上，当 k , , 时，向量 ka b 与 a 2b 的夹角为锐角. 因为D F 平面CD F , A E 平面CD F ，所以 A E / / 平面CD F ，
2 2 2
16．(1) PA 平面 ABC，BC 平面 ABC， PA BC． 因为FC / /EB,FC 平面CD F , EB 平面CD F ，所以EB / /平面CD F ，
AB是圆 O 的直径，C 为圆上一点， BC AC．
又 EB A E E ，EB, A E 平面 A EB ，所以平面 A EB / / 平
又 PA AC A，且PA, AC 平面PAC ， BC 平面PAC ．
面CD F ，
BC 平面PBC ， 平面PAC 平面PBC .
又 A B 平面 A EB ，所以 A B / /平面CD F ．
（2）如图所示，过点 A作 AD PC 于点D，
（2）因为 DAB 90 ，所以 AD AB，又因为
BC 平面PAC ， AD 平面PAC ， BC AD，
AB / /FC, EF / / AD ，所以
又 EF FC，延长
EF , BC 交于点 N ，
PC BC C，PC, BC 平面PBC ， AD 平面PBC ．
ACD即为直线 AC 与平面PBC 所成角． 连接D N ,则D N 为平面BCD 与平面EFD A 的交线.
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2
由 EF A E，EF EB得 A EB为平面EFD A 与平面EFCB所成的二面角，即 A EB 60 ； 所以P n X 3 p 1 p ，由2P1 2 n X 2 13P n X 3 得：
2 2
设 AE AD 1，则BE 2，EN 2 ,在 A BE 中，由余弦定理得 A B 3 ,得 BA A E ， 2 2 p1 p2 1 p2 1 p1 1 p 2 13p1 1 p2 ，化简得19 p1 p2 2 15p1 2 p2 0 ，
1 1 3
又由EF 平面A BE 得 EF A B，EF A E E ,得BA 平面
2
EFD A ,在平面EFD A 内， 又 p1 p2 , p1 ，上式可化为：4 p 23p 15 0 p 或 p 5（舍去）；
2 2 p 2 2 2 22 4
过点 A 作 A H D N ,交D N 于点 H ，连接BH ,由 NH A H , NH A B, A H A B A （ⅱ）当发送的数据为“0101”，事件n X 2包含以下三种情况：
得 NH BH ，所以 BHA 为平面BCD 与平面EFD A 所成二面角的平面角， 2 2 1①两个 1 传输都正确，且两个 0 传输都正确，其概率为 p1 p2 ，
4
2
在 RT A D H 内，由 A D 1， A D H 45 得 A H , ②有且只有一个 1 传输正确，且有且只有一个 0 传输正确，
2
其概率为2p1 1 p1 2p2 1 p2 4p1 p2 1 p1 p2 p1 p2 3 2 p1 p2 ，
A B 3
tan BHA 6
在 RT BA H 内， . ③两个 1 传输都错误，且两个 0 传输都错误，其概率为 A H 2
2 2
2 2 2 3
1 p1 1 p2 1 p1 p2 p1 p2 p1 p2 2 3 2
，

19. （1）记“接收到的两个数字中有且只有一个正确”为事件 A，由已知 p1 , p2 ，
3 4
2
事件 A包含两种情况： 1 3 P n X 2 3 2 p1 p2 p1 p2 4 2
，

2 3
第一种数字 0 接收正确数字 1 错误，概率为： 1 ，
3 4 1 1 1
令 x p p ，则 p1 p2 , p1 2 2 ，又0 p2 2 p 1
1且0 p2 1， p1 1，
2 3 1 2
第二种数字 0 接收错误数字 1 正确，概率为： 1 ，
3 4
1 2 3 1 3
2 3 2 3 5 x p1 p2 p1 2, ， P n X 2 3 2 p p 1 2 p
所以P A 1 1 ； 2p 2 1
p2
1 4 2


3 4 3 4 12
（2）（i）由发送的数据为“011“可知，事件n X 2表示接收到的数据中含两个 0， 211 5 3 p1 p2 5 p1 p2 p ， 2 1
p2
2 4
包含两种情况：①数字 0 接收正确，数字 1 有一个正确一个错误，
2
②数学 0 错误，数字 1 都错误， 5 3 3 3 记 f x x , x 2, ，由二次函数的性质可知， f x 2, 在 单调递减，
2 4 2 2
2
所以P n X 2 2p1 p2 1 p2 1 p1 1 p2 ，
15
f x 得最大值为 f 152 5 2 ，即P n X 2 的最大值为 5 2 .
2 2
事件n X 3表示接收到的数据中含三个 0，
只有 1 种情况：数字 0 接收正确数字 1 都错误，
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