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广东广州市第十六中学2025学年第二学期高中中段教学质量反馈高二年级数学试卷
1．某物体的位移(单位：)与时间(单位：)满足函数关系式，其中为常数.若当时，该物体的瞬时速度为，则当时，该物体的瞬时速度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】瞬时变化率；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由已知，又，解得，
所以，所以.
故答案为：B.
【分析】利用导数的意义求瞬时速度.
2．函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由图可知当时，，当时，，
则的解集为．
故答案为：A.
【分析】由图象，结合原函数与导函数的关系判断的符号，求的解集即可.
3．已知函数的导函数为，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：由，可得，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】先求导，再令，构建方程求即可.
4．若，则的值为（　　）
A．63 B．64 C．127 D．128
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；组合数公式
【解析】【解答】解：因为，又
所以，解得，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据组合数的运算性质可得，解得，进而可得.
5．已知等比数列的公比为，若，且，，成等差数列，则（　　）
A． B．3 C．0或3 D．
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；等差中项
【解析】【解答】解：因为，，成等差数列，所以，即，
因为，所以，即，
因为，，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用等差中项，结合等比数列的通项公式求解即可.
6．已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，函数在区间上是减函数，
所以，恒成立.
所以，恒成立.
设，，
因为对称轴为，所以在为增函数，
所以，所以.
故答案为：C
【分析】由求导题意得到，在恒成立，参变分离可得恒成立，再构造函数的单调性即可求解.
7．已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：令，
因，则，
故曲线和直线无交点，
，则，令，解得，
则曲线上的点到直线的距离，
则的最小值为.
故答案为：A
【分析】利用导数的几何意义求出与平行时的切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
8．设，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意可得，，，
设，，则，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因为，，，且，
可得，，所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查函数单调性的应用.构建函数，求导判断其单调性，利用单调性比较大小，注意.
9．已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A． B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极大值 D．函数有最大值
【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；极限及其运算
【解析】【解答】解：A选项：根据图象可知，A选项正确；
B、C选项：由图象可知当时，，函数在单调递增，
当时，，函数在单调递减，
函数在处取得极大值，B选项错误；C选项正确；
D选项：由图象可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，无最大值，D选项错误；
故答案为：AC.
【分析】根据导数的意义即可判断A；利用导数的符号得到函数的单调性即可判断B；根据极值的定义即可判断C；根据单调性判断最值即可判断D.
10．有甲、乙、丙等6名同学，则下列说法正确的是（　　）
A．6人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为240
B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为240
C．6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种
D．6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙、丙在一起，则不同的安排方法有36种
【答案】A,C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A，6人站成一排，甲、乙两人相邻，可以采用捆绑法，
则不同的排法种数为，所以A对；
对于B，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），
可用倍缩法进行求解，则不同的站法种数为，所以B错；
对于C，6名同学平均分成三组分别到、、C三个工厂参观，每名同学必须去，
且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有种，所以C对；
对于D，6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，
甲、乙、丙在一起，若还有一位同学与他们一组，共有种分法；
若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，
有种分法，共有6种分组方法，则不同的安排方法有6种，所以D错.
故答案为：AC.
【分析】用捆绑法即可判断选项A；利用倍缩法判断选项B；用平均分组公式判断出选项C；用分类加法计数原理和分步乘法计数原理判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．设在区间上的可导函数，其导函数为，函数的导函数为.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；又当函数在区间上单调递减时，称函数为区间上的“上凸函数”.则（　　）
A．任何一个三次函数均有“拐点”
B．函数为区间上的“上凸函数”
C．若函数的“拐点”在轴的右侧，则函数在区间上单调递减
D．若函数存在拐点，且为定义域上的“上凸函数”，则
【答案】A,B,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A 、函数，，
再求导得到，令，则，解得，
则任何一个三次函数均有“拐点”，故A 正确；
B 、，，
，
当时，，，得出函数在区间上单调递减，所以函数是区间上的“上凸函数”，故B 正确；
C、，，，
令，得，因为“拐点”在轴右侧，所以，即，
令可得，所以，
的递减区间是，故C 错误；
D 、，
，，
令，即在有解，则有正解，
则，解得，
并且因为函数为定义域上的“上凸函数”，所以在定义域上单调递减，
恒成立，
恒成立，即，
即，解得，由于保证拐点，则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】求二阶导，令导数等于零，结合拐点概念计算即可判断A；函数，求导，利用导数研究函数在区间上单调性，根据“上凸函数”即可判断B；求阶导，令，得拐点，由“拐点”在轴右侧，得到，令可得，求函数的道德底线递减区间即可判断C；根据拐点概念，结合“上凸函数”概念，求出，即可判断D.
12．展开式中，常数项为　 　.
【答案】
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式中的通项公式为，
令，故，故常数项为第4项，即.
故答案为：
【分析】根据二项展开式的通项公式计算常数项即可.
13．函数的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：易知，
函数定义域为，求导可得，则，
则函数在处的切线方程为，
因为切线与轴、轴分别交于点，，
所以所求的三角形面积.
故答案为：.
【分析】由题意，先求，在求导确定切线得斜率，利用点斜式求得切线方程，再求切线与坐标轴的交点，利用三角形面积公式求解即可.
14．定义在区间D上的函数，若存在正数K，对任意的，不等式恒成立，则称函数在区间D上满足K-条件．若函数在区间上满足K-条件，则K的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数，，
令，，
当时，，所以在上单调递减，
又因为，所以在上恒成立，
所以，则在上单调递增，
设，所以，
若函数在区间上满足K-条件
因此对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
则对任意恒成立，
令，所以在上单调递减，
在恒成立，所以，
又因为在上单调递减，，
所以，所以K的最小值为.
故答案为：.
【分析】先对函数求导，令，再求导，利用导数判断在区间的单调性，再结合K-条件的定义进行分析，从而求K的取值范围，即可求出K的最小值.
15．已知数列的首项，且满足.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）记，数列的前项的和为，求证：.
【答案】（1）证明：由递推关系，两边取倒数可得：，
整理可得：，所以数列为等差数列；
（2）证明：由可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
即，即，
又因为，
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据递推式变形得，再由等差数列的概念即可证明；
（2）由题可知，再利用裂项相消法求和即可证明．
（1）由递推关系，两边取倒数可得：，
整理可得：，所以数列为等差数列；
（2）由可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
即，即，
又因为，
所以.
16．已知 .
（1）若展开式的二项式系数和为256，求 的值；
（2）当 时，二项式的展开式中 的系数为，常数项为，若，则求的值；
（3）当 时，求二项式的展开式中系数最大的项.
【答案】（1）解：由题意可得：，解得；
（2）解：当时，二项式为，展开式的通项为，
令，得，则，
令，得，则，
由，解得（舍去）或或，
故或；
（3）解：当时，二项式为，
其展开式的通项为，
设第r项系数最大，则，即，故，
所以二项式的展开式中系数最大的项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项式系数和为，求解即可；
（2）将代入，写出二项展开式的通项，求的系数与常数项，结合已知条件求解即可；
（3）根据二项式定理通项公式，设第r项系数最大，建立不等关系求解即可.
（1）依题意有，解得.
（2）当时二项式为，由二项式定理通项公式得，
令，得，所以，
令，得，所以，
又，解得（舍去）或或，
所以或.
（3）当时二项式为，
由二项式定理通项公式得，
设第r项系数最大，则，即，故，
所以二项式的展开式中系数最大的项为.
17．设函数，
（1）求曲线y=在点（0，）处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值；
（3）若方程在有三个不同的根，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，即切点坐标（0，1），
函数，，即 ， -
则曲线y=在点（0，）处的切线方程为；
（2）解：由，，得，
令，得，解得或，
与在区间上的情况如下：
-4 -3 1 （1，3） 3
↗ 10 ↘ ↗ 10
当x=-3或x=3时，最大值为10；
当x=1时，最小值为；
（3）解：若方程在上有三个不同的根，可得y=的图象与直线y=有3个交点，
由（2）可知：
-3 （-3，1） 1
↗ 10 ↘ ↗
又当；当，
所以时，方程有三个不同根．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求切点坐标，再求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）求导，判断函数的单调性，求出区间端点处的函数值、极值进行比较即可求得函数的最值；
（3）问题转化为y=的图象与直线y=有3个交点，利用导数确定函数的单调性以及求出函数的极值、最值，确定b的范围即可.
（1）代入得到，即切点坐标（0，1）
由，得．
-
所以曲线y=在点（0，）处的切线方程为.
（2）由，得．
令，得，解得或
与在区间上的情况如下：
-4 -3 1 （1，3） 3
↗ 10 ↘ ↗ 10
所以在区间上，当x=-3或x=3时，最大值为10；
当x=1时，最小值为．
（3）若方程在上有三个不同的根，可得y=的图象与直线y=有3个交点
由（2）可知：
-3 （-3，1） 1
↗ 10 ↘ ↗
又当；当
所以时，方程有三个不同根． -
18．已知函数．
（1）若，求的极值点；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，函数，求导可得，
令，解得，由，得，由，得，
则函数极小值点为，无极大值点；
（2）解：函数，求导可得，
化简可得，
当时，易知，所以函数在上单调递减；
当时，令，解得，
由得，由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
（3）解：由（2）易知当时，函数不存在两个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为，令得，
易知函数在上单调递增，则得，
由，当时，，
所在函数在与分别存在一个零点，
故的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数判断函数的单调性，结合极值点的定义求解即可；
（2）求导，分和讨论，利用导数判断函数的单调性即可；
（3）由（2）易知当时，函数不存在两个零点；当时，根据函数的单调性，求得函数最小值，建立不等式，结合零点存在性定理求解即可.
（1）由，则，求导可得，
令，解得，由得，由得，
所以函数极小值点为，无极大值点.
（2）由，求导可得，
化简可得，
当时，易知，所以函数在上单调递减；
当时，令，解得，
由得，由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）易知当时，函数不存在两个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为，令得，
易知函数在上单调递增，则得，
由，当时，，
所在函数在与分别存在一个零点，
故的取值范围为.
19．法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下：如果函数满足如下条件：①在闭区间上的图象是连续的；②在开区间上可导，则在开区间上至少存在一个实数，使得成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”.
（1）已知且，
（i）若恒成立，求实数的取值范围；
（ii）当时，求证：.
（2）已知函数有两个零点，记作，若，证明：
【答案】（1）（i）解：法一：由，且化简得，即，
令，可知在上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，
令，显然在上单调递减，
所以，即，故实数的取值范围为.
法二：由拉格朗日中值定理可知，，使得，
故问题转化为恒成立.
又，则恒成立，即恒成立，
因为，
故令，显然在上单调递减，
所以，所以，故实数的取值范围为；
（ii）证明：要证，即证，
即证，
又，
由拉格朗日中值定理可知，存在，
，
.
由题意知，当时，在上单调递增，
则，故，
即，所以命题得证.
（2）证明：函数有两个零点，即方程有两个根，即方程有2个根.
令，
所以在上单调递增，且，即方程有2个根，且这两根即为方程的根，
所以，则，则由，得，
所以，则，
要证，即证，
又，令，
令，
又，所以，故在上单调递增，
所以，
所以，故在上单调递减，所以，
即，
即，所以不等式得证.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）（i）法一：不等式转化为证，令，则在上恒成立，再参变分离即可求解；
法二：利用拉格朗日中值定理将问题转化为恒成立，再参变分离结合函数单调性得到的取值范围；
（ii）将不等式转化为证，再结合拉格朗日中值定理进行证明即可；
（2）根据题意可知方程有2个根，令，利用导数确定单调性，进而得到有2个根，设，则，，令，再利用导数可得，继而得到.
（1）（i）解：法一：由，且化简得，即，
令，可知在上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，
令，显然在上单调递减，
所以，即，故实数的取值范围为.
法二：由拉格朗日中值定理可知，，使得，
故问题转化为恒成立.
又，则恒成立，即恒成立，
因为，
故令，显然在上单调递减，
所以，所以，故实数的取值范围为.
（ii）略
（2）略
1 / 1广东广州市第十六中学2025学年第二学期高中中段教学质量反馈高二年级数学试卷
1．某物体的位移(单位：)与时间(单位：)满足函数关系式，其中为常数.若当时，该物体的瞬时速度为，则当时，该物体的瞬时速度为（　　）
A． B． C． D．
2．函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（　　）
A． B．
C． D．
3．已知函数的导函数为，且，则（　　）
A． B． C． D．
4．若，则的值为（　　）
A．63 B．64 C．127 D．128
5．已知等比数列的公比为，若，且，，成等差数列，则（　　）
A． B．3 C．0或3 D．
6．已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．设，，，则（　　）
A． B． C． D．
9．已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A． B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极大值 D．函数有最大值
10．有甲、乙、丙等6名同学，则下列说法正确的是（　　）
A．6人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为240
B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为240
C．6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种
D．6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙、丙在一起，则不同的安排方法有36种
11．设在区间上的可导函数，其导函数为，函数的导函数为.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；又当函数在区间上单调递减时，称函数为区间上的“上凸函数”.则（　　）
A．任何一个三次函数均有“拐点”
B．函数为区间上的“上凸函数”
C．若函数的“拐点”在轴的右侧，则函数在区间上单调递减
D．若函数存在拐点，且为定义域上的“上凸函数”，则
12．展开式中，常数项为　 　.
13．函数的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为　 　.
14．定义在区间D上的函数，若存在正数K，对任意的，不等式恒成立，则称函数在区间D上满足K-条件．若函数在区间上满足K-条件，则K的最小值为　 　．
15．已知数列的首项，且满足.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）记，数列的前项的和为，求证：.
16．已知 .
（1）若展开式的二项式系数和为256，求 的值；
（2）当 时，二项式的展开式中 的系数为，常数项为，若，则求的值；
（3）当 时，求二项式的展开式中系数最大的项.
17．设函数，
（1）求曲线y=在点（0，）处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值；
（3）若方程在有三个不同的根，求的取值范围．
18．已知函数．
（1）若，求的极值点；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个零点，求实数的取值范围．
19．法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下：如果函数满足如下条件：①在闭区间上的图象是连续的；②在开区间上可导，则在开区间上至少存在一个实数，使得成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”.
（1）已知且，
（i）若恒成立，求实数的取值范围；
（ii）当时，求证：.
（2）已知函数有两个零点，记作，若，证明：
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】瞬时变化率；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由已知，又，解得，
所以，所以.
故答案为：B.
【分析】利用导数的意义求瞬时速度.
2．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由图可知当时，，当时，，
则的解集为．
故答案为：A.
【分析】由图象，结合原函数与导函数的关系判断的符号，求的解集即可.
3．【答案】B
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：由，可得，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】先求导，再令，构建方程求即可.
4．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；组合数公式
【解析】【解答】解：因为，又
所以，解得，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据组合数的运算性质可得，解得，进而可得.
5．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；等差中项
【解析】【解答】解：因为，，成等差数列，所以，即，
因为，所以，即，
因为，，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用等差中项，结合等比数列的通项公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，函数在区间上是减函数，
所以，恒成立.
所以，恒成立.
设，，
因为对称轴为，所以在为增函数，
所以，所以.
故答案为：C
【分析】由求导题意得到，在恒成立，参变分离可得恒成立，再构造函数的单调性即可求解.
7．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：令，
因，则，
故曲线和直线无交点，
，则，令，解得，
则曲线上的点到直线的距离，
则的最小值为.
故答案为：A
【分析】利用导数的几何意义求出与平行时的切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
8．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意可得，，，
设，，则，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因为，，，且，
可得，，所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查函数单调性的应用.构建函数，求导判断其单调性，利用单调性比较大小，注意.
9．【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；极限及其运算
【解析】【解答】解：A选项：根据图象可知，A选项正确；
B、C选项：由图象可知当时，，函数在单调递增，
当时，，函数在单调递减，
函数在处取得极大值，B选项错误；C选项正确；
D选项：由图象可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，无最大值，D选项错误；
故答案为：AC.
【分析】根据导数的意义即可判断A；利用导数的符号得到函数的单调性即可判断B；根据极值的定义即可判断C；根据单调性判断最值即可判断D.
10．【答案】A,C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A，6人站成一排，甲、乙两人相邻，可以采用捆绑法，
则不同的排法种数为，所以A对；
对于B，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），
可用倍缩法进行求解，则不同的站法种数为，所以B错；
对于C，6名同学平均分成三组分别到、、C三个工厂参观，每名同学必须去，
且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有种，所以C对；
对于D，6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，
甲、乙、丙在一起，若还有一位同学与他们一组，共有种分法；
若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，
有种分法，共有6种分组方法，则不同的安排方法有6种，所以D错.
故答案为：AC.
【分析】用捆绑法即可判断选项A；利用倍缩法判断选项B；用平均分组公式判断出选项C；用分类加法计数原理和分步乘法计数原理判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A 、函数，，
再求导得到，令，则，解得，
则任何一个三次函数均有“拐点”，故A 正确；
B 、，，
，
当时，，，得出函数在区间上单调递减，所以函数是区间上的“上凸函数”，故B 正确；
C、，，，
令，得，因为“拐点”在轴右侧，所以，即，
令可得，所以，
的递减区间是，故C 错误；
D 、，
，，
令，即在有解，则有正解，
则，解得，
并且因为函数为定义域上的“上凸函数”，所以在定义域上单调递减，
恒成立，
恒成立，即，
即，解得，由于保证拐点，则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】求二阶导，令导数等于零，结合拐点概念计算即可判断A；函数，求导，利用导数研究函数在区间上单调性，根据“上凸函数”即可判断B；求阶导，令，得拐点，由“拐点”在轴右侧，得到，令可得，求函数的道德底线递减区间即可判断C；根据拐点概念，结合“上凸函数”概念，求出，即可判断D.
12．【答案】
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式中的通项公式为，
令，故，故常数项为第4项，即.
故答案为：
【分析】根据二项展开式的通项公式计算常数项即可.
13．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：易知，
函数定义域为，求导可得，则，
则函数在处的切线方程为，
因为切线与轴、轴分别交于点，，
所以所求的三角形面积.
故答案为：.
【分析】由题意，先求，在求导确定切线得斜率，利用点斜式求得切线方程，再求切线与坐标轴的交点，利用三角形面积公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数，，
令，，
当时，，所以在上单调递减，
又因为，所以在上恒成立，
所以，则在上单调递增，
设，所以，
若函数在区间上满足K-条件
因此对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
则对任意恒成立，
令，所以在上单调递减，
在恒成立，所以，
又因为在上单调递减，，
所以，所以K的最小值为.
故答案为：.
【分析】先对函数求导，令，再求导，利用导数判断在区间的单调性，再结合K-条件的定义进行分析，从而求K的取值范围，即可求出K的最小值.
15．【答案】（1）证明：由递推关系，两边取倒数可得：，
整理可得：，所以数列为等差数列；
（2）证明：由可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
即，即，
又因为，
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据递推式变形得，再由等差数列的概念即可证明；
（2）由题可知，再利用裂项相消法求和即可证明．
（1）由递推关系，两边取倒数可得：，
整理可得：，所以数列为等差数列；
（2）由可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
即，即，
又因为，
所以.
16．【答案】（1）解：由题意可得：，解得；
（2）解：当时，二项式为，展开式的通项为，
令，得，则，
令，得，则，
由，解得（舍去）或或，
故或；
（3）解：当时，二项式为，
其展开式的通项为，
设第r项系数最大，则，即，故，
所以二项式的展开式中系数最大的项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项式系数和为，求解即可；
（2）将代入，写出二项展开式的通项，求的系数与常数项，结合已知条件求解即可；
（3）根据二项式定理通项公式，设第r项系数最大，建立不等关系求解即可.
（1）依题意有，解得.
（2）当时二项式为，由二项式定理通项公式得，
令，得，所以，
令，得，所以，
又，解得（舍去）或或，
所以或.
（3）当时二项式为，
由二项式定理通项公式得，
设第r项系数最大，则，即，故，
所以二项式的展开式中系数最大的项为.
17．【答案】（1）解：当时，，即切点坐标（0，1），
函数，，即 ， -
则曲线y=在点（0，）处的切线方程为；
（2）解：由，，得，
令，得，解得或，
与在区间上的情况如下：
-4 -3 1 （1，3） 3
↗ 10 ↘ ↗ 10
当x=-3或x=3时，最大值为10；
当x=1时，最小值为；
（3）解：若方程在上有三个不同的根，可得y=的图象与直线y=有3个交点，
由（2）可知：
-3 （-3，1） 1
↗ 10 ↘ ↗
又当；当，
所以时，方程有三个不同根．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求切点坐标，再求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）求导，判断函数的单调性，求出区间端点处的函数值、极值进行比较即可求得函数的最值；
（3）问题转化为y=的图象与直线y=有3个交点，利用导数确定函数的单调性以及求出函数的极值、最值，确定b的范围即可.
（1）代入得到，即切点坐标（0，1）
由，得．
-
所以曲线y=在点（0，）处的切线方程为.
（2）由，得．
令，得，解得或
与在区间上的情况如下：
-4 -3 1 （1，3） 3
↗ 10 ↘ ↗ 10
所以在区间上，当x=-3或x=3时，最大值为10；
当x=1时，最小值为．
（3）若方程在上有三个不同的根，可得y=的图象与直线y=有3个交点
由（2）可知：
-3 （-3，1） 1
↗ 10 ↘ ↗
又当；当
所以时，方程有三个不同根． -
18．【答案】（1）解：当时，函数，求导可得，
令，解得，由，得，由，得，
则函数极小值点为，无极大值点；
（2）解：函数，求导可得，
化简可得，
当时，易知，所以函数在上单调递减；
当时，令，解得，
由得，由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
（3）解：由（2）易知当时，函数不存在两个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为，令得，
易知函数在上单调递增，则得，
由，当时，，
所在函数在与分别存在一个零点，
故的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数判断函数的单调性，结合极值点的定义求解即可；
（2）求导，分和讨论，利用导数判断函数的单调性即可；
（3）由（2）易知当时，函数不存在两个零点；当时，根据函数的单调性，求得函数最小值，建立不等式，结合零点存在性定理求解即可.
（1）由，则，求导可得，
令，解得，由得，由得，
所以函数极小值点为，无极大值点.
（2）由，求导可得，
化简可得，
当时，易知，所以函数在上单调递减；
当时，令，解得，
由得，由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）易知当时，函数不存在两个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为，令得，
易知函数在上单调递增，则得，
由，当时，，
所在函数在与分别存在一个零点，
故的取值范围为.
19．【答案】（1）（i）解：法一：由，且化简得，即，
令，可知在上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，
令，显然在上单调递减，
所以，即，故实数的取值范围为.
法二：由拉格朗日中值定理可知，，使得，
故问题转化为恒成立.
又，则恒成立，即恒成立，
因为，
故令，显然在上单调递减，
所以，所以，故实数的取值范围为；
（ii）证明：要证，即证，
即证，
又，
由拉格朗日中值定理可知，存在，
，
.
由题意知，当时，在上单调递增，
则，故，
即，所以命题得证.
（2）证明：函数有两个零点，即方程有两个根，即方程有2个根.
令，
所以在上单调递增，且，即方程有2个根，且这两根即为方程的根，
所以，则，则由，得，
所以，则，
要证，即证，
又，令，
令，
又，所以，故在上单调递增，
所以，
所以，故在上单调递减，所以，
即，
即，所以不等式得证.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）（i）法一：不等式转化为证，令，则在上恒成立，再参变分离即可求解；
法二：利用拉格朗日中值定理将问题转化为恒成立，再参变分离结合函数单调性得到的取值范围；
（ii）将不等式转化为证，再结合拉格朗日中值定理进行证明即可；
（2）根据题意可知方程有2个根，令，利用导数确定单调性，进而得到有2个根，设，则，，令，再利用导数可得，继而得到.
（1）（i）解：法一：由，且化简得，即，
令，可知在上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，
令，显然在上单调递减，
所以，即，故实数的取值范围为.
法二：由拉格朗日中值定理可知，，使得，
故问题转化为恒成立.
又，则恒成立，即恒成立，
因为，
故令，显然在上单调递减，
所以，所以，故实数的取值范围为.
（ii）略
（2）略
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