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四川成都实验外国语学校高2025-2026学年高一下学期期中测试数学
1．（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：B
【分析】逆用余弦差角公式进行计算即可．
2．已知分别为的三个内角的对边，若，则角（　　）
A．或 B． C． D．
【答案】D
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由正弦定理得，
由，得，所以.
故答案为：B.
【分析】利用正弦定理解三角形即可.
3．如图，正方形和正方形有公共边，与向量相等的向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相等向量
【解析】【解答】解：由题可知，，且，
四边形为平行四边形，
则与向量相等的向量为．
故答案为：B
【分析】根据相等向量的概念求解.
4．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由，得．
故答案为：C.
【分析】由余弦二倍角公式进行计算即可.
5．已知，，若，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：，解得.
故答案为：D.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
6．如图，、两点在河的两岸，为了测量、之间的距离，测量者在的同侧选定一点，测出、之间的距离是，，，则、两点之间的距离为（　　）．
A．50 B． C．100 D．
【答案】D
【知识点】正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：因为，，
所以，又，
由正弦定理得，．
故答案为：D
【分析】根据题意可得，再利用正弦定理计算即可.
7．已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【知识点】余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，故，
整理得，
即，故，
故或，故三角形为等腰或直角三角形.
故答案为：D
【分析】根据余弦定理边角互换得，然后进行化简计算可得或即可判断.
8．已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数，
当时，令，则，
若在有且仅有3个零点和3条对称轴，
则在有且仅有3个零点和3条对称轴，
即，解得.
故答案为：A．
【分析】根据余弦函数的图象和性质求解即可.
9．下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）（多选）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：选项A，设（为实数），则，
，则无解，所以不共线，
所以能作为它们所在平面内所有向量的基底，故A正确；
选项B，因为，所以共线，
所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故B不正确；
选项C，设（为实数），则，
，则无解，所以不共线，
所以能作为它们所在平面内所有向量的基底，故C正确；
选项D，是零向量，与任何向量都共线，
所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故D不正确.
故答案为：AC
【分析】根据题意，只要不共线即可作为平面内得一组基底，据此逐项判断即可.
10．已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．的最小正周期是
B．的图象关于对称
C．在区间上单调递增
D．由函数图象向右平移个单位可得到函数的图象
【答案】A,B,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，的最小正周期，故A正确；
对于B，对于函数，令，解得
当时，
的图象关于对称，故B正确；
对于C，对于函数，令，解得，
当时，，即的单调递增区间为
又区间是的子区间，在区间上单调递增，故C正确；
对于D，函数图象向右平移个单位，得到，故D错误；
故答案为：ABC
【分析】根据余弦型函数的相关性质可判断ABC，利用函数平移变换判断D即可.
11．在中，角，，的对边分别为，，，若，为的中点，则下列结论正确的是（　　）
A． B．当，时，仅有一解
C．当时，为等边三角形 D．当时，的最大值为
【答案】B,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，所以，所以，
则，故A错误；
因为，所以为锐角，则三角唯一确定，故仅有一解，故B正确；
由余弦定理得，等号成立时，
因为，故为等边三角形，故C正确；
当时，由正弦定理可知，的外接圆半径，
设外接圆圆心为，则，
则，
等号成立时三点共线且在直线同侧，
故的最大值为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由，利用三角形内角和定理，以及两角和的正弦公式，结合辅助角公式化简，求出三角函数值域即可判断A；根据即可判断B；利用余弦定理，结合重要不等式求解即可判断C；当时，由正弦定理求得的外接圆半径，设外接圆圆心为，求出的外接圆半径，再利用求最值即可判断D.
12．在中，，，则　 　．
【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，，由正弦定理，得，
所以.
故答案为：
【分析】根据正弦定理求解即可.
13．如图，三个相同的正方形相接，则　 　．
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由图可得，，所以，
而，均为锐角，即，所以．
故答案为：.
【分析】根据图形确定和的值，再用两角和的正切公式计算，最后结合、的范围确定的值.
14．已知平面向量，满足，，且，若（），则的最大值是　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，，可得，
又因为，所以，
可设，可得，
设向量，因为，即，
即向量的终点在以为圆心，半径为的圆上，
可设，其中，
又因为，则，
解得，
所以，
当时，即时，可得，此时取得最大值，最大值为.
故答案为：3
【分析】根据题意可得，设，则，进而得到即可求解.
15．已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为.
（1）求；
（2）求
【答案】（1）解：
（2）解：因为，
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据求解；
（2）根据模长公式结合数量积的运算律求解即可.
（1）.
（2）因为，
所以.
16．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：，
则；
（2）解：因为，所以，
则当时，即时，取得最小值；
当时，即时，取得最大值.
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）先利用正弦、余弦的二倍角公式结合辅助角公式化简函数，再根据正弦函数最小正周期公式求解即可；
（2）先求的范围，再利用整体法，结合正弦函数的性质求最值即可.
（1）.
.
（2）∵，.
则当时，即时，取得最小值；
当时，即时，取得最大值.
17．在锐角三角形中，分别是角的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围；
【答案】（1）解：由正弦定理，可化为，
由和角公式，左边，
因此等式化为锐角三角形中，所以 ，
又，所以.
（2）解：由正弦定理得，因此，，
由 得，
因为是锐角三角形，所以，解得，
，
因为，所以，得，
因此，即的取值范围是.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再利用三角恒等变形化简可得，进而可得角；
（2）利用正弦定理边角互化得，再根据恒等变形化简求范围即可.
（1）由正弦定理，可化为，
由和角公式，左边，
因此等式化为锐角三角形中，所以 ，
又，所以.
（2）由正弦定理得，因此，，
由 得，
因为是锐角三角形，所以，解得，
，
因为，所以，得，
因此，即的取值范围是.
18．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：
（1）证明：
（2）应用上面的公式解决下列问题：
（i）已知，求的值；
（ii）若，求的最大值.
【答案】（1）证明：根据余弦和角、差角公式
， ，
将两式相加得，
整理得.
（2）解：（i） 对 套用（1）中公式： 令，
则，
由题知，
故，即，
即 ，
化简得 ，即： ，
（ii）由，得，故
则
所以
因为 ，当且仅当时取最大值1，
因此： ，
上式是关于的开口向下的二次函数，对称轴为，
代入得最大值，此时满足，
故的最大值为.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）利用余弦和差公式即可证明；
（2）（i）利用积化和差得，再利用二倍角公式化简求解；
（ii）利用积化和差并化简得，再结合，则，然后根据二次型函数求最值即可.
（1）根据余弦和角、差角公式
， ，
将两式相加得，
整理得.
（2）（i）对 套用（1）中公式： 令，
则，
由题知，
故，即，
即 ，
化简得 ，即： ，
（ii）由，得，故
则
所以
因为 ，当且仅当时取最大值1，
因此： ，
上式是关于的开口向下的二次函数，对称轴为，
代入得最大值，此时满足，
故的最大值为.
19．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求角A的大小；
（2）当时，
（ⅰ）设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点G，求的最大值；
（ⅱ）求值．
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得，，
即，
整理得.
因为，所以，
所以，即，化简.
又因为，所以，即得.
（2）解：由余弦定理得，且，即得，即，
在中，，所以，
，
所以
，
因为，所以，解得，当且仅当时取等号.
所以，所以当且仅当时取最大值.
（ⅱ）由正弦定理，得，
又因为，所以，
所以
，
所以，所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互换得，再化简可得，然后可得角A；
（2）（ⅰ）利用余弦定理可得，再利用重心的性质结合数量积的运算律求解即可；
（ⅱ）由正弦定理可得，然后化简可得，再由代入求值即可.
（1）因为，
由正弦定理可得，，
即，
整理得.
因为，所以，
所以，即，化简.
又因为，所以，即得.
（2）由余弦定理得，且，即得，即，
在中，，所以，
，
所以
，
因为，所以，解得，当且仅当时取等号.
所以，所以当且仅当时取最大值.
（ⅱ）由正弦定理，得，
又因为，所以，
所以
，
所以，所以.
1 / 1四川成都实验外国语学校高2025-2026学年高一下学期期中测试数学
1．（　　）
A． B． C． D．
2．已知分别为的三个内角的对边，若，则角（　　）
A．或 B． C． D．
3．如图，正方形和正方形有公共边，与向量相等的向量为（　　）
A． B． C． D．
4．已知，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知，，若，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图，、两点在河的两岸，为了测量、之间的距离，测量者在的同侧选定一点，测出、之间的距离是，，，则、两点之间的距离为（　　）．
A．50 B． C．100 D．
7．已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
8．已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）（多选）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．的最小正周期是
B．的图象关于对称
C．在区间上单调递增
D．由函数图象向右平移个单位可得到函数的图象
11．在中，角，，的对边分别为，，，若，为的中点，则下列结论正确的是（　　）
A． B．当，时，仅有一解
C．当时，为等边三角形 D．当时，的最大值为
12．在中，，，则　 　．
13．如图，三个相同的正方形相接，则　 　．
14．已知平面向量，满足，，且，若（），则的最大值是　 　.
15．已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为.
（1）求；
（2）求
16．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
17．在锐角三角形中，分别是角的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围；
18．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：
（1）证明：
（2）应用上面的公式解决下列问题：
（i）已知，求的值；
（ii）若，求的最大值.
19．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求角A的大小；
（2）当时，
（ⅰ）设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点G，求的最大值；
（ⅱ）求值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：B
【分析】逆用余弦差角公式进行计算即可．
2．【答案】D
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由正弦定理得，
由，得，所以.
故答案为：B.
【分析】利用正弦定理解三角形即可.
3．【答案】B
【知识点】相等向量
【解析】【解答】解：由题可知，，且，
四边形为平行四边形，
则与向量相等的向量为．
故答案为：B
【分析】根据相等向量的概念求解.
4．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由，得．
故答案为：C.
【分析】由余弦二倍角公式进行计算即可.
5．【答案】D
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：，解得.
故答案为：D.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：因为，，
所以，又，
由正弦定理得，．
故答案为：D
【分析】根据题意可得，再利用正弦定理计算即可.
7．【答案】D
【知识点】余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，故，
整理得，
即，故，
故或，故三角形为等腰或直角三角形.
故答案为：D
【分析】根据余弦定理边角互换得，然后进行化简计算可得或即可判断.
8．【答案】A
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数，
当时，令，则，
若在有且仅有3个零点和3条对称轴，
则在有且仅有3个零点和3条对称轴，
即，解得.
故答案为：A．
【分析】根据余弦函数的图象和性质求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：选项A，设（为实数），则，
，则无解，所以不共线，
所以能作为它们所在平面内所有向量的基底，故A正确；
选项B，因为，所以共线，
所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故B不正确；
选项C，设（为实数），则，
，则无解，所以不共线，
所以能作为它们所在平面内所有向量的基底，故C正确；
选项D，是零向量，与任何向量都共线，
所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故D不正确.
故答案为：AC
【分析】根据题意，只要不共线即可作为平面内得一组基底，据此逐项判断即可.
10．【答案】A,B,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，的最小正周期，故A正确；
对于B，对于函数，令，解得
当时，
的图象关于对称，故B正确；
对于C，对于函数，令，解得，
当时，，即的单调递增区间为
又区间是的子区间，在区间上单调递增，故C正确；
对于D，函数图象向右平移个单位，得到，故D错误；
故答案为：ABC
【分析】根据余弦型函数的相关性质可判断ABC，利用函数平移变换判断D即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，所以，所以，
则，故A错误；
因为，所以为锐角，则三角唯一确定，故仅有一解，故B正确；
由余弦定理得，等号成立时，
因为，故为等边三角形，故C正确；
当时，由正弦定理可知，的外接圆半径，
设外接圆圆心为，则，
则，
等号成立时三点共线且在直线同侧，
故的最大值为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由，利用三角形内角和定理，以及两角和的正弦公式，结合辅助角公式化简，求出三角函数值域即可判断A；根据即可判断B；利用余弦定理，结合重要不等式求解即可判断C；当时，由正弦定理求得的外接圆半径，设外接圆圆心为，求出的外接圆半径，再利用求最值即可判断D.
12．【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，，由正弦定理，得，
所以.
故答案为：
【分析】根据正弦定理求解即可.
13．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由图可得，，所以，
而，均为锐角，即，所以．
故答案为：.
【分析】根据图形确定和的值，再用两角和的正切公式计算，最后结合、的范围确定的值.
14．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，，可得，
又因为，所以，
可设，可得，
设向量，因为，即，
即向量的终点在以为圆心，半径为的圆上，
可设，其中，
又因为，则，
解得，
所以，
当时，即时，可得，此时取得最大值，最大值为.
故答案为：3
【分析】根据题意可得，设，则，进而得到即可求解.
15．【答案】（1）解：
（2）解：因为，
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据求解；
（2）根据模长公式结合数量积的运算律求解即可.
（1）.
（2）因为，
所以.
16．【答案】（1）解：，
则；
（2）解：因为，所以，
则当时，即时，取得最小值；
当时，即时，取得最大值.
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）先利用正弦、余弦的二倍角公式结合辅助角公式化简函数，再根据正弦函数最小正周期公式求解即可；
（2）先求的范围，再利用整体法，结合正弦函数的性质求最值即可.
（1）.
.
（2）∵，.
则当时，即时，取得最小值；
当时，即时，取得最大值.
17．【答案】（1）解：由正弦定理，可化为，
由和角公式，左边，
因此等式化为锐角三角形中，所以 ，
又，所以.
（2）解：由正弦定理得，因此，，
由 得，
因为是锐角三角形，所以，解得，
，
因为，所以，得，
因此，即的取值范围是.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再利用三角恒等变形化简可得，进而可得角；
（2）利用正弦定理边角互化得，再根据恒等变形化简求范围即可.
（1）由正弦定理，可化为，
由和角公式，左边，
因此等式化为锐角三角形中，所以 ，
又，所以.
（2）由正弦定理得，因此，，
由 得，
因为是锐角三角形，所以，解得，
，
因为，所以，得，
因此，即的取值范围是.
18．【答案】（1）证明：根据余弦和角、差角公式
， ，
将两式相加得，
整理得.
（2）解：（i） 对 套用（1）中公式： 令，
则，
由题知，
故，即，
即 ，
化简得 ，即： ，
（ii）由，得，故
则
所以
因为 ，当且仅当时取最大值1，
因此： ，
上式是关于的开口向下的二次函数，对称轴为，
代入得最大值，此时满足，
故的最大值为.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）利用余弦和差公式即可证明；
（2）（i）利用积化和差得，再利用二倍角公式化简求解；
（ii）利用积化和差并化简得，再结合，则，然后根据二次型函数求最值即可.
（1）根据余弦和角、差角公式
， ，
将两式相加得，
整理得.
（2）（i）对 套用（1）中公式： 令，
则，
由题知，
故，即，
即 ，
化简得 ，即： ，
（ii）由，得，故
则
所以
因为 ，当且仅当时取最大值1，
因此： ，
上式是关于的开口向下的二次函数，对称轴为，
代入得最大值，此时满足，
故的最大值为.
19．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得，，
即，
整理得.
因为，所以，
所以，即，化简.
又因为，所以，即得.
（2）解：由余弦定理得，且，即得，即，
在中，，所以，
，
所以
，
因为，所以，解得，当且仅当时取等号.
所以，所以当且仅当时取最大值.
（ⅱ）由正弦定理，得，
又因为，所以，
所以
，
所以，所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互换得，再化简可得，然后可得角A；
（2）（ⅰ）利用余弦定理可得，再利用重心的性质结合数量积的运算律求解即可；
（ⅱ）由正弦定理可得，然后化简可得，再由代入求值即可.
（1）因为，
由正弦定理可得，，
即，
整理得.
因为，所以，
所以，即，化简.
又因为，所以，即得.
（2）由余弦定理得，且，即得，即，
在中，，所以，
，
所以
，
因为，所以，解得，当且仅当时取等号.
所以，所以当且仅当时取最大值.
（ⅱ）由正弦定理，得，
又因为，所以，
所以
，
所以，所以.
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