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广东省2026年中考数学真题
1． 5的相反数是（　　）
A．5 B．－5 C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：5的相反数是-5
故答案为：B
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
3． 2026年“五一”假期期间，广东全省跨区域人员流动量累计超1.79亿人次，同比增长9.2%.将数据1.79亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1.79亿=179000000用科学记数法表示为
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．某海洋牧场网箱采用了六边形流线型结构，如图，六边形的内角和为（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】D
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：六边形的内角和为(6-2)×180°=720°
故答案为：D
【分析】根据多边形内角和即可求出答案.
5．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，不能合并，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，除法，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
6．在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x+4的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵k=3>0，b=4>0
∴y随x的增大而增大，图象经过一，二，三象限
故答案为：A
【分析】根据一次函数图象与系数的关系即可求出答案.
7．若点P（2m－1，m）在第一象限，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵点P（2m－1，m）在第一象限
∴，解得：
∴不等式组的解集为：
故答案为：D
【分析】根据第一象限内点的坐标特征建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
8．如图，⊙O的半径为1，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°.则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】∵∠ACB＝30°
∴∠AOB=2∠ACB=60°
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB，求出弧AB的长，再根据扇形面积即可求出答案.
9．某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”“广绣”“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：记三个体验项目“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”分别为A，B，C.
∴小晨和小明各随机抽取一个，所有等可能的结果为：（A，A)，（A，B)，（A，C)，（B，A)，（B，B)，（B，C).
(C，A)，（C，B)，（C，C)，共9种等可能结果.
其中两人恰好抽到同一个项目的结果有（A，A)、（B，B)、（C，C)共3种结果
∴他们恰好抽到同一个项目的概率是
故答案为：C
【分析】根据列举法列举出所有等可能的结果，再求出其中两人恰好抽到同一个项目的结果，再根据概率公式即可求出答案.
10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得△AB'C'，连接B'C，则△AB'C的周长为（　　）
A． B．18 C． D．24
【答案】A
【知识点】平行线的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8
∴
∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°
∴AB'=AB=6，∠BAB'=90°
∵∠ABC=90°
∴∠ABC+∠BAB'=180°
∴AB'∥BC
过点B'作B'H⊥BC于点H，则四边形ABHB'为矩形
∴B'H=AB=6，BH=AB'=6
∴HC=BC-BH=2
∴
∴△AB'C的周长为AB'+AC+B'C=
故答案为：A
【分析】根据勾股定理可得AC，根据旋转性质可得AB'=AB=6，∠BAB'=90°，根据直线平行判定定理可得AB'∥BC，过点B'作B'H⊥BC于点H，则四边形ABHB'为矩形，则B'H=AB=6，BH=AB'=6，根据边之间的关系可得HC，再根据勾股定理可得B'C，再根据三角形周长即可求出答案.
11．已知方程的一个根是1，则c＝　 　.
【答案】-4
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=1代入方程可得：
1+3+c=0
解得：c=-4
故答案为：-4
【分析】将x=1代入方程可得关于c的一次方程，再解方程即可求出答案.
12．因式分解：＝　 　.
【答案】2（a－1）（a+1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：2（a－1）（a+1）
【分析】提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
13．在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑.如图，，若，，则＝　 　.
【答案】6
【知识点】已知正切值求边长
【解析】【解答】解：由题意可得：∠1+∠AOD=90°，∠2+∠BOC=90°
∵∠1=∠2
∴∠AOC=∠BOC
∵
∴
在Rt△OBC中，∠OBC=90°，OB=8
∴
解得：BC=6
故答案为：6
【分析】根据角之间的关系可得∠AOC=∠BOC，则，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案.
14．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝2，连接BD，∠BDC＝110°，∠ABD＝20°，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EF，FG，EG，则EG＝　 　.
【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，F分别是AD，BD的中点
∴EF∥AB，
∴∠EFD=∠ABD=20°
∵点F，G分别是BD，BC的中点
∴FG∥CD，
∴∠BFG=∠BDC=110°
∴∠DFG=180°-∠BFG=70°
∴∠EFG=∠EFD+∠DFG=90°
∴
故答案为：
【分析】根据三角形中位线定理可得EF∥AB，，FG∥CD，，根据直线平行性质可得∠BFG=∠BDC=110°，根据角之间的关系可得∠EFG，再根据勾股定理即可求出答案.
15．如图，直线y＝2x+b与反比例函数在第二象限的图象交于点A，B，与x轴交于点C.点A的横坐标为－1，且AB＝2BC，则反比例函数的解析式为　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定；一次函数图象与坐标轴交点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE∥AD
∴△BCE∽△ACD
∴
将x=1代入y=2x+b可得，y=-2+b
∴点A的坐标为(-1，-2+b)
∴AD=-2+B
∵点A在反比例函数图象上
∴k=-1×(-2+b)=2-b
将y=0代入y=-2x+b，即0=-2x+b
解得：
∴点C的坐标为
设点B的坐标为(xB，yB)
∴CE=xB+，CD=-1+
∵
∴
解得：
∵点B在反比例函数图象上
∴
解得：b=8或b=2(舍去)
∴反比例函数的解析式为
故答案为：
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE∥AD，根据相似三角形判定定理可得△BCE∽△ACD，则，将x=1代入直线解析式可得点A的坐标为(-1，-2+b)，根据两点间距离可得AD，再将点A坐标代入反比例函数解析式可得k=2-b，根据x轴上点的坐标特征可得点C的坐标为，设点B的坐标为(xB，yB)，根据两点间距离可得CE=xB+，CD=-1+，再代入，解方程可得，再代入反比例函数解析式，解方程即可求出答案.
16．计算：
【答案】解：原式=
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根
【解析】【分析】根据0指数幂，绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
17．如图，直线AB经过⊙O上的点C，且AC＝BC，∠OAB＝40°，∠AOB＝100°.求证：直线AB是⊙O的切线.
【答案】证明：连接OC.
∵∠AOB＝100°，∠OAB＝40°
∴∠OBA＝180°－∠AOB－∠OAB＝40°
∴∠OAB＝∠OBA
∴OA＝OB
∵AC＝BC
∴OC⊥AB
∵点C在⊙O上，
∴OC为半径，
∴直线AB是⊙O的切线.
【知识点】三角形内角和定理；切线的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】连接OC，根据三角形内角和定理可得∠OBA，根据等角对等边可得OA＝OB，根据等腰三角形三线合一性质可得OC⊥AB，再根据切线判定定理即可求出答案.
18．如图，AB＝BC，AE∥BC，连接AC.
（1）尺规作图：在AE上作点D，连接BD，使得BD平分∠ABC.（保留作图痕迹，不写作法.）
（2）连接CD，求证：四边形ABCD是菱形.
【答案】（1）如图，点D即为所求；
（2）证明：∵AE∥BC
∴∠ADB＝∠CBD
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠CBD
∴∠ADB＝∠ABD
∴AB＝AD
∵AB＝BC
∴AD＝BC
∵AE∥BC，即AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形.
【知识点】平行线的性质；菱形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义作图即可.
（2）根据直线平行性质可得∠ADB＝∠CBD，根据角平分线定义可得∠ABD＝∠CBD，则∠ADB＝∠ABD，根据等角对等边可得AB＝AD，再根据菱形判定定理即可求出答案.
19．低空经济赋能乡村振兴，在广东某地万亩高标准农田里，农业无人机旋翼轰鸣，稻种精准洒落，科技助农的场景让农户们连连感叹.现有A，B两种型号的无人机可用来播种.
（1）如果购买1台A型无人机和3台B型无人机需9万元，购买3台A型无人机和1台B型无人机需11万元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元.
（2）每台A型无人机比B型无人机日均播种面积多200亩，每台A型无人机播种1500亩所时间与B型无人机播种900亩所用时间相等，求两种型号的无人机每台日均分别播种多少亩.
【答案】（1）解：设A型无人机的单价是x万元、B型无人机的单价是y万元，
根据题意得：
解得：
答：A型无人机单价为3万元，B型无人机单价为2万元
（2）解：设A型无人机每台日均播种m亩，B型无人机每台日均播种（m－200）亩
由题意可得：
解得m＝500，
经检验m＝500是分式方程的解且符合题意，
m－200＝500－200＝300，
答：A型无人机每台日均播种500亩，B型无人机每台日均播种300亩.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设A型无人机的单价是x万元、B型无人机的单价是y万元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设A型无人机每台日均播种m亩，B型无人机每台日均播种（m－200）亩，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了古诗词知识竞赛.在300名参赛学生中随机抽取12名，他们的参赛成绩（单位：分）如下：
67 83 66 85 79 81
86 86 90 91 72 98
（1）求这12名学生参赛成绩的平均数x；
（2）求这12名学生参赛成绩在分与分之间的人数；据此估计300名学生参赛成绩在分与分之间的人数.
【答案】（1）解：x＝（67+83+66+85+79+81+86+86+90+91+72+98）÷12＝82
（2）解：参赛成绩在（x－9.3）分与（x+9.3）分之间，
即参赛成绩在72.7与91.3之间，
12名参赛学生中一共有8名同学的参赛成绩在72.7与91.3之间，
估计300名参赛学生中成绩在区间内的人数（人），
答：估计300名参赛学生中成绩在区间内的人数为200人.
【知识点】平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据平均数定义即可求出答案.
（2）根据300乘以对应占比即可求出答案.
21．综合与实践
【提出问题】
同一平面内，有n条直线两两相交，设它们最多有m个交点，相交所成的最小角为α.某数学学习小组提出了下列探究问题.
问题一：m与n的关系；
问题二：α的最大值与n的关系.
【特例感知】
如题图1，当n＝2时，学习小组发现m＝1，α的最大值为90°.
【实验探究】
步骤一：动手操作
学习小组画出了当n＝3时的两种情况，如题图2，题图3.
步骤二：观察分析
（一）由题图1，题图3得m＝3；
（二）在题图2中，α的最大值为60°；
（三）在题图3中，α的最大值为360°+6＝60°.
（1）【规律探索】
完成下表：
n 2 3 4 5
m 1 3 　 　
α的最大值 90° 60° 　 　
（2）【解决问题】
①用关于n的代数式表示m，直接写出即可；
②α的最大值与n的关系是什么 写出并说明理由.
【答案】（1）6；10；45°；36°
（2）解：①
②α 的最大值为，理由如下：
将所有直线平移至交于同一点，直线间的夹角大小保持不变，此时n条直线将周角360°分割为2n个相邻的角（对顶角两两相等)，
设为∠A1，∠A2，∠A3，......，∠A2n
则∠A1+∠A2+∠A3+….+∠A2n=360°，
∵最小角为α，
∴∠A1≥， ∠A2≥， ∠A3≥， ...，∠An≥
∴∠A1+∠A2+∠A3+….+∠A2n=360°≥
解得：
【知识点】直线相交的交点个数问题
【解析】【解答】解：（1）（1）2条直线相交，最多有1个交点，a的最大值为360°÷(2×2)=90°
3条直线相交，最多有1+2=3个交点，a的最大值为360°÷(3×2)=60°
4条直线相交，最多有1+2+3=6个交点，Q的最大值为360°÷(4×2)=45°
5条直线相交，最多有1+2+3+4＝10个交点，a的最大值为360°÷(5×2)=36°
填表如下：
n 2 3 4 5
m 1 3 6 10
α的最大值 90° 60° 45° 36°
故答案为：6；10；45°；36°
(2)①由（1）规律可得，m=1+2+3+……+(n-1)=
【分析】（1）根据前三条直线的交点，总结规律即可求出答案.
（2）①根据①中规律计算即可求出答案.
②将所有直线平移至交于同一点，直线间的夹角大小保持不变，此时n条直线将周角360°分割为2n个相邻的角（对顶角两两相等)，设为∠A1，∠A2，∠A3，......，∠A2n，结合角之间的关系即可求出答案.
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝，点D在AB上，且BD＝3AD，连接CD.过点A作CD的垂线交CD于点E，交BC于点F，连接BE，AE＝2.
（1）求CE的长；
（2）求证：；
（3）求的值.
【答案】（1）证明：由题意可得：CE⊥AE
∴
（2）证明：∵∠BAC＝90°，AE⊥CD，
∴∠AED＝∠CAD＝90°，∠DAE＝∠ACD＝90°－∠ADC，
∵∠ADE＝∠CDA，
∴△ADE∽△CDA，
∵BD＝3AD
（3）解：由（2）知∠DAE＝∠ACD，
∵AE⊥CD，
∴∠AED＝∠CEA＝90°，
∴△AED∽△CEA，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴∠ACD＝∠ABC，
∵∠DAE＝∠ACD，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴FA＝FB，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAE+∠FAC＝∠ABC+∠FCA＝90°，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴FC＝FA，
∴FB＝FC，
∵∠BAC＝90°，
∴EF＝AF－AE＝3，
设
∵BD＝3AD，
.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形判定定理可得△ADE∽△CDA，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据相似三角形判定定理可得△AED∽△CEA，则，代值计算可得DE，AD，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得△DAC∽△CAB，则∠ACD＝∠ABC，根据角之间的关系可得∠DAE＝∠ABC，再根据等角对等边可得FA＝FB，根据角之间的关系可得∠FAC＝∠FCA，则FC＝FA，根据直角三角形斜边上的中线性质可得FA，根据边之间的关系可得EF，再根据三角形面积之间的关系即可求出答案.
23．如题图1，设O为坐标原点，二次函数的图象经过点A（－3，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，连接AB，BC.
（1）求二次函数的解析式；
（2）求cos∠ABC的值；
（3）如题图2，动点P在线段AB上，过点P作AB的垂线PQ，与二次函数在第二象限的图象交于点Q，求BP+2PQ的最大值.
【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点A（－3，0），
∴将点A（－3，0）代入.则－9－3b+3＝0
解得b＝－2
∴二次函数的解析式为
（2）解：过点C作CT⊥AB于点T
对于当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
∴对称轴为直线x＝－1
∴在Rt△BCT中，
（3）解：过点Q作QE⊥x轴交AB、x轴于点D，E，
由（2）知OA＝OB＝3，
∵∠AOB＝90°
∴∠A＝45°，
∴∠ADE＝∠QDP＝45°，△ADE为等腰直角三角形
∵QP⊥AB，
∴△QDP为等腰直角三角形，QP＝DP
设PQ＝PD＝m，则
同理设DE＝AE＝n，则
∴OE＝OA－AE＝3－n
将点代入
则
整理得：
整理得：
设抛物线顶点为点F，对称轴与线段AB的交点为点G，
∴F（－1，4），
同理可得△ACG为等腰直角三角形，
∴CA＝CG＝2，
∴G（－1，2），
∴BF⊥AB
∴当点P与点B重合时，则点Q与抛物线顶点F重合，则点D为抛物线对称轴与线段AB的交点G，
∴0＜n≤2，
∴当时，取得最大值，
∴最大值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；勾股定理的逆定理；解直角三角形；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）过点C作CT⊥AB于点T，根据y轴上点的坐标特征可得B（0，3），根据两点间距离可得OA，OB，根据勾股定理可得AB，将二次函数解析式转换为顶点式可得对称轴为直线x＝－1，，根据两点间距离可得OC，AC，根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积面积可得CT，再根据勾股定理可得BT，再根据余弦定义即可求出答案.
（3）过点Q作QE⊥x轴交AB、x轴于点D，E，根据等腰直角三角形判定定理可得△QDP为等腰直角三角形，QP＝DP，根据勾股定理可得QD，设PQ＝PD＝m，则，同理设DE＝AE＝n，则，根据边之间的关系可得OE，再根据点的坐标可得，将点Q坐标代入二次函数解析式可得，根据边之间的关系可得，设抛物线顶点为点F，对称轴与线段AB的交点为点G，求出顶点F（－1，4），同理可得△ACG为等腰直角三角形，则CA＝CG＝2，根据点的坐标可得G（－1，2），根据勾股定理逆定理可得BF⊥AB，当点P与点B重合时，则点Q与抛物线顶点F重合，则点D为抛物线对称轴与线段AB的交点G，结合二次函数性质即可求出答案.
1 / 1广东省2026年中考数学真题
1． 5的相反数是（　　）
A．5 B．－5 C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3． 2026年“五一”假期期间，广东全省跨区域人员流动量累计超1.79亿人次，同比增长9.2%.将数据1.79亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．某海洋牧场网箱采用了六边形流线型结构，如图，六边形的内角和为（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
5．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x+4的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．若点P（2m－1，m）在第一象限，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，⊙O的半径为1，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°.则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”“广绣”“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得△AB'C'，连接B'C，则△AB'C的周长为（　　）
A． B．18 C． D．24
11．已知方程的一个根是1，则c＝　 　.
12．因式分解：＝　 　.
13．在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑.如图，，若，，则＝　 　.
14．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝2，连接BD，∠BDC＝110°，∠ABD＝20°，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EF，FG，EG，则EG＝　 　.
15．如图，直线y＝2x+b与反比例函数在第二象限的图象交于点A，B，与x轴交于点C.点A的横坐标为－1，且AB＝2BC，则反比例函数的解析式为　 　.
16．计算：
17．如图，直线AB经过⊙O上的点C，且AC＝BC，∠OAB＝40°，∠AOB＝100°.求证：直线AB是⊙O的切线.
18．如图，AB＝BC，AE∥BC，连接AC.
（1）尺规作图：在AE上作点D，连接BD，使得BD平分∠ABC.（保留作图痕迹，不写作法.）
（2）连接CD，求证：四边形ABCD是菱形.
19．低空经济赋能乡村振兴，在广东某地万亩高标准农田里，农业无人机旋翼轰鸣，稻种精准洒落，科技助农的场景让农户们连连感叹.现有A，B两种型号的无人机可用来播种.
（1）如果购买1台A型无人机和3台B型无人机需9万元，购买3台A型无人机和1台B型无人机需11万元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元.
（2）每台A型无人机比B型无人机日均播种面积多200亩，每台A型无人机播种1500亩所时间与B型无人机播种900亩所用时间相等，求两种型号的无人机每台日均分别播种多少亩.
20．为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了古诗词知识竞赛.在300名参赛学生中随机抽取12名，他们的参赛成绩（单位：分）如下：
67 83 66 85 79 81
86 86 90 91 72 98
（1）求这12名学生参赛成绩的平均数x；
（2）求这12名学生参赛成绩在分与分之间的人数；据此估计300名学生参赛成绩在分与分之间的人数.
21．综合与实践
【提出问题】
同一平面内，有n条直线两两相交，设它们最多有m个交点，相交所成的最小角为α.某数学学习小组提出了下列探究问题.
问题一：m与n的关系；
问题二：α的最大值与n的关系.
【特例感知】
如题图1，当n＝2时，学习小组发现m＝1，α的最大值为90°.
【实验探究】
步骤一：动手操作
学习小组画出了当n＝3时的两种情况，如题图2，题图3.
步骤二：观察分析
（一）由题图1，题图3得m＝3；
（二）在题图2中，α的最大值为60°；
（三）在题图3中，α的最大值为360°+6＝60°.
（1）【规律探索】
完成下表：
n 2 3 4 5
m 1 3 　 　
α的最大值 90° 60° 　 　
（2）【解决问题】
①用关于n的代数式表示m，直接写出即可；
②α的最大值与n的关系是什么 写出并说明理由.
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝，点D在AB上，且BD＝3AD，连接CD.过点A作CD的垂线交CD于点E，交BC于点F，连接BE，AE＝2.
（1）求CE的长；
（2）求证：；
（3）求的值.
23．如题图1，设O为坐标原点，二次函数的图象经过点A（－3，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，连接AB，BC.
（1）求二次函数的解析式；
（2）求cos∠ABC的值；
（3）如题图2，动点P在线段AB上，过点P作AB的垂线PQ，与二次函数在第二象限的图象交于点Q，求BP+2PQ的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：5的相反数是-5
故答案为：B
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1.79亿=179000000用科学记数法表示为
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．【答案】D
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：六边形的内角和为(6-2)×180°=720°
故答案为：D
【分析】根据多边形内角和即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，不能合并，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，除法，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵k=3>0，b=4>0
∴y随x的增大而增大，图象经过一，二，三象限
故答案为：A
【分析】根据一次函数图象与系数的关系即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵点P（2m－1，m）在第一象限
∴，解得：
∴不等式组的解集为：
故答案为：D
【分析】根据第一象限内点的坐标特征建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】∵∠ACB＝30°
∴∠AOB=2∠ACB=60°
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB，求出弧AB的长，再根据扇形面积即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：记三个体验项目“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”分别为A，B，C.
∴小晨和小明各随机抽取一个，所有等可能的结果为：（A，A)，（A，B)，（A，C)，（B，A)，（B，B)，（B，C).
(C，A)，（C，B)，（C，C)，共9种等可能结果.
其中两人恰好抽到同一个项目的结果有（A，A)、（B，B)、（C，C)共3种结果
∴他们恰好抽到同一个项目的概率是
故答案为：C
【分析】根据列举法列举出所有等可能的结果，再求出其中两人恰好抽到同一个项目的结果，再根据概率公式即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】平行线的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8
∴
∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°
∴AB'=AB=6，∠BAB'=90°
∵∠ABC=90°
∴∠ABC+∠BAB'=180°
∴AB'∥BC
过点B'作B'H⊥BC于点H，则四边形ABHB'为矩形
∴B'H=AB=6，BH=AB'=6
∴HC=BC-BH=2
∴
∴△AB'C的周长为AB'+AC+B'C=
故答案为：A
【分析】根据勾股定理可得AC，根据旋转性质可得AB'=AB=6，∠BAB'=90°，根据直线平行判定定理可得AB'∥BC，过点B'作B'H⊥BC于点H，则四边形ABHB'为矩形，则B'H=AB=6，BH=AB'=6，根据边之间的关系可得HC，再根据勾股定理可得B'C，再根据三角形周长即可求出答案.
11．【答案】-4
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=1代入方程可得：
1+3+c=0
解得：c=-4
故答案为：-4
【分析】将x=1代入方程可得关于c的一次方程，再解方程即可求出答案.
12．【答案】2（a－1）（a+1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：2（a－1）（a+1）
【分析】提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
13．【答案】6
【知识点】已知正切值求边长
【解析】【解答】解：由题意可得：∠1+∠AOD=90°，∠2+∠BOC=90°
∵∠1=∠2
∴∠AOC=∠BOC
∵
∴
在Rt△OBC中，∠OBC=90°，OB=8
∴
解得：BC=6
故答案为：6
【分析】根据角之间的关系可得∠AOC=∠BOC，则，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，F分别是AD，BD的中点
∴EF∥AB，
∴∠EFD=∠ABD=20°
∵点F，G分别是BD，BC的中点
∴FG∥CD，
∴∠BFG=∠BDC=110°
∴∠DFG=180°-∠BFG=70°
∴∠EFG=∠EFD+∠DFG=90°
∴
故答案为：
【分析】根据三角形中位线定理可得EF∥AB，，FG∥CD，，根据直线平行性质可得∠BFG=∠BDC=110°，根据角之间的关系可得∠EFG，再根据勾股定理即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定；一次函数图象与坐标轴交点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE∥AD
∴△BCE∽△ACD
∴
将x=1代入y=2x+b可得，y=-2+b
∴点A的坐标为(-1，-2+b)
∴AD=-2+B
∵点A在反比例函数图象上
∴k=-1×(-2+b)=2-b
将y=0代入y=-2x+b，即0=-2x+b
解得：
∴点C的坐标为
设点B的坐标为(xB，yB)
∴CE=xB+，CD=-1+
∵
∴
解得：
∵点B在反比例函数图象上
∴
解得：b=8或b=2(舍去)
∴反比例函数的解析式为
故答案为：
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE∥AD，根据相似三角形判定定理可得△BCE∽△ACD，则，将x=1代入直线解析式可得点A的坐标为(-1，-2+b)，根据两点间距离可得AD，再将点A坐标代入反比例函数解析式可得k=2-b，根据x轴上点的坐标特征可得点C的坐标为，设点B的坐标为(xB，yB)，根据两点间距离可得CE=xB+，CD=-1+，再代入，解方程可得，再代入反比例函数解析式，解方程即可求出答案.
16．【答案】解：原式=
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根
【解析】【分析】根据0指数幂，绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
17．【答案】证明：连接OC.
∵∠AOB＝100°，∠OAB＝40°
∴∠OBA＝180°－∠AOB－∠OAB＝40°
∴∠OAB＝∠OBA
∴OA＝OB
∵AC＝BC
∴OC⊥AB
∵点C在⊙O上，
∴OC为半径，
∴直线AB是⊙O的切线.
【知识点】三角形内角和定理；切线的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】连接OC，根据三角形内角和定理可得∠OBA，根据等角对等边可得OA＝OB，根据等腰三角形三线合一性质可得OC⊥AB，再根据切线判定定理即可求出答案.
18．【答案】（1）如图，点D即为所求；
（2）证明：∵AE∥BC
∴∠ADB＝∠CBD
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠CBD
∴∠ADB＝∠ABD
∴AB＝AD
∵AB＝BC
∴AD＝BC
∵AE∥BC，即AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形.
【知识点】平行线的性质；菱形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义作图即可.
（2）根据直线平行性质可得∠ADB＝∠CBD，根据角平分线定义可得∠ABD＝∠CBD，则∠ADB＝∠ABD，根据等角对等边可得AB＝AD，再根据菱形判定定理即可求出答案.
19．【答案】（1）解：设A型无人机的单价是x万元、B型无人机的单价是y万元，
根据题意得：
解得：
答：A型无人机单价为3万元，B型无人机单价为2万元
（2）解：设A型无人机每台日均播种m亩，B型无人机每台日均播种（m－200）亩
由题意可得：
解得m＝500，
经检验m＝500是分式方程的解且符合题意，
m－200＝500－200＝300，
答：A型无人机每台日均播种500亩，B型无人机每台日均播种300亩.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设A型无人机的单价是x万元、B型无人机的单价是y万元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设A型无人机每台日均播种m亩，B型无人机每台日均播种（m－200）亩，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）解：x＝（67+83+66+85+79+81+86+86+90+91+72+98）÷12＝82
（2）解：参赛成绩在（x－9.3）分与（x+9.3）分之间，
即参赛成绩在72.7与91.3之间，
12名参赛学生中一共有8名同学的参赛成绩在72.7与91.3之间，
估计300名参赛学生中成绩在区间内的人数（人），
答：估计300名参赛学生中成绩在区间内的人数为200人.
【知识点】平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据平均数定义即可求出答案.
（2）根据300乘以对应占比即可求出答案.
21．【答案】（1）6；10；45°；36°
（2）解：①
②α 的最大值为，理由如下：
将所有直线平移至交于同一点，直线间的夹角大小保持不变，此时n条直线将周角360°分割为2n个相邻的角（对顶角两两相等)，
设为∠A1，∠A2，∠A3，......，∠A2n
则∠A1+∠A2+∠A3+….+∠A2n=360°，
∵最小角为α，
∴∠A1≥， ∠A2≥， ∠A3≥， ...，∠An≥
∴∠A1+∠A2+∠A3+….+∠A2n=360°≥
解得：
【知识点】直线相交的交点个数问题
【解析】【解答】解：（1）（1）2条直线相交，最多有1个交点，a的最大值为360°÷(2×2)=90°
3条直线相交，最多有1+2=3个交点，a的最大值为360°÷(3×2)=60°
4条直线相交，最多有1+2+3=6个交点，Q的最大值为360°÷(4×2)=45°
5条直线相交，最多有1+2+3+4＝10个交点，a的最大值为360°÷(5×2)=36°
填表如下：
n 2 3 4 5
m 1 3 6 10
α的最大值 90° 60° 45° 36°
故答案为：6；10；45°；36°
(2)①由（1）规律可得，m=1+2+3+……+(n-1)=
【分析】（1）根据前三条直线的交点，总结规律即可求出答案.
（2）①根据①中规律计算即可求出答案.
②将所有直线平移至交于同一点，直线间的夹角大小保持不变，此时n条直线将周角360°分割为2n个相邻的角（对顶角两两相等)，设为∠A1，∠A2，∠A3，......，∠A2n，结合角之间的关系即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：由题意可得：CE⊥AE
∴
（2）证明：∵∠BAC＝90°，AE⊥CD，
∴∠AED＝∠CAD＝90°，∠DAE＝∠ACD＝90°－∠ADC，
∵∠ADE＝∠CDA，
∴△ADE∽△CDA，
∵BD＝3AD
（3）解：由（2）知∠DAE＝∠ACD，
∵AE⊥CD，
∴∠AED＝∠CEA＝90°，
∴△AED∽△CEA，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴∠ACD＝∠ABC，
∵∠DAE＝∠ACD，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴FA＝FB，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAE+∠FAC＝∠ABC+∠FCA＝90°，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴FC＝FA，
∴FB＝FC，
∵∠BAC＝90°，
∴EF＝AF－AE＝3，
设
∵BD＝3AD，
.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形判定定理可得△ADE∽△CDA，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据相似三角形判定定理可得△AED∽△CEA，则，代值计算可得DE，AD，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得△DAC∽△CAB，则∠ACD＝∠ABC，根据角之间的关系可得∠DAE＝∠ABC，再根据等角对等边可得FA＝FB，根据角之间的关系可得∠FAC＝∠FCA，则FC＝FA，根据直角三角形斜边上的中线性质可得FA，根据边之间的关系可得EF，再根据三角形面积之间的关系即可求出答案.
23．【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点A（－3，0），
∴将点A（－3，0）代入.则－9－3b+3＝0
解得b＝－2
∴二次函数的解析式为
（2）解：过点C作CT⊥AB于点T
对于当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
∴对称轴为直线x＝－1
∴在Rt△BCT中，
（3）解：过点Q作QE⊥x轴交AB、x轴于点D，E，
由（2）知OA＝OB＝3，
∵∠AOB＝90°
∴∠A＝45°，
∴∠ADE＝∠QDP＝45°，△ADE为等腰直角三角形
∵QP⊥AB，
∴△QDP为等腰直角三角形，QP＝DP
设PQ＝PD＝m，则
同理设DE＝AE＝n，则
∴OE＝OA－AE＝3－n
将点代入
则
整理得：
整理得：
设抛物线顶点为点F，对称轴与线段AB的交点为点G，
∴F（－1，4），
同理可得△ACG为等腰直角三角形，
∴CA＝CG＝2，
∴G（－1，2），
∴BF⊥AB
∴当点P与点B重合时，则点Q与抛物线顶点F重合，则点D为抛物线对称轴与线段AB的交点G，
∴0＜n≤2，
∴当时，取得最大值，
∴最大值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；勾股定理的逆定理；解直角三角形；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）过点C作CT⊥AB于点T，根据y轴上点的坐标特征可得B（0，3），根据两点间距离可得OA，OB，根据勾股定理可得AB，将二次函数解析式转换为顶点式可得对称轴为直线x＝－1，，根据两点间距离可得OC，AC，根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积面积可得CT，再根据勾股定理可得BT，再根据余弦定义即可求出答案.
（3）过点Q作QE⊥x轴交AB、x轴于点D，E，根据等腰直角三角形判定定理可得△QDP为等腰直角三角形，QP＝DP，根据勾股定理可得QD，设PQ＝PD＝m，则，同理设DE＝AE＝n，则，根据边之间的关系可得OE，再根据点的坐标可得，将点Q坐标代入二次函数解析式可得，根据边之间的关系可得，设抛物线顶点为点F，对称轴与线段AB的交点为点G，求出顶点F（－1，4），同理可得△ACG为等腰直角三角形，则CA＝CG＝2，根据点的坐标可得G（－1，2），根据勾股定理逆定理可得BF⊥AB，当点P与点B重合时，则点Q与抛物线顶点F重合，则点D为抛物线对称轴与线段AB的交点G，结合二次函数性质即可求出答案.
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