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广东省深圳市龙岗区2025-2026学年八年级数学上学期期中试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项涂在答题卡上）
1．有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了，，，．在这四个数中，是无理数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．2025年9月28日，国内首个无人机夜间配送服务落地深圳！低空经济开启“不眠模式”．如图，若无人机在某次投送点的中心位置在图中阴影部分，则中心位置的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
4．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．， B．2，3，4 C．7，14，15 D．1，1，
5．2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行．如图是某飞行梯队的队形，若在同一平面直角坐标系内，A，B两架飞机的坐标分别为和，则飞机C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．一次函数的图像如图所示，则一次函数的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知将直线向下平移3个单位长度得到一次函数的图象，下列结论错误的是（　　）
A．
B．一次函数的图象经过点
C．对于一次函数，当时，
D．若点均在一次函数的图象上，则
8．如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）
9． 的立方根是　 　．
10．平面镜成像的本质是轴对称，镜面为对称轴，像与物关于镜面所在的直线成轴对称．如图是人眼看到烛焰在平面镜中成的像，若以桌面所在直线为x轴，以镜面所在直线为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．若某一时刻烛焰S的坐标为，虚像对应点的坐标为，则的值为　 　．
11．在正比例函数中，函数值y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值：　 　．
12．如图，在证明勾股定理时，我们分别以的三条边（）为边向外作正方形，我们把得到的三个正方形的面积分别记为，若．则的长为　 　．
13．如图，在中，平分交于点D，且交的延长线于点E．若，则　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．计算题：
（1）；
（2）．
15．下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误：
解：原式①
②
③
任务一：小雷同学的解答过程是从第 步开始出现错误的（写步骤序号）；
任务二：请你写出正确的解答过程．
16．如图，三个顶点的坐标分别为．
（1）在图中作出关于x轴对称的．
（2）在第二象限内的格点上确定一点D，使点D与线段组成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则D点坐标是 ．（直接写答案）
（3）在y轴上找一点P（画出点P的位置），使的值最小，最小值= ．
17．如图，三张边长分别为，，大小不同的正方形纸片叠放在一起，为边的正方形纸片的面积为．（点O，A，B，C在同一直线上）
（1）求的长．
（2）若，则：
① ；
②m的整数部分为 ，n的小数部分为 ．
18．为鼓励居民合理用电，广东某市电力公司对居民用户采取分月用电量分档收费办法（按夏季和非夏季区分），下表1是某户居民某月电费发票的部分信息：
表1 表2
××居民电费专用发票 （非夏季标准：1~4月、11~12月） x 0
y 0 m
计费期限：一个月
用电量x（度） 电价（元/度）
第一档：
第二档：
第三档：
本月实付金额：（元） （大写）壹佰叁拾叁元零角
根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）如果月用电量用x（度）来表示，实付金额用y（元）来表示，则当时，y与x之间的函数关系式为 ．
（2）根据（1）中函数关系式，列出y与x的几组对应值（如表2），其中 ，并在平面直角坐标系中，根据表2中的数值描点，在图3中画出该函数的图象．
（3）当时，y与x之间的函数关系式为 ；根据表中该用户的本月实付金额，计算该用户本月的实际用电量为 度．
19．教材问题重现：
在小颖的实验中，燃烧时间每增加，香可燃烧部分的长度就减少．也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少．为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢？与同伴进行交流．
对于“均匀”变化，下面是深度学习小组通过查阅相关资料和文献搜索后的研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
深度学习小组有关“匀速变化一次函数”的研究报告 研究对象：匀速变化一次函数 研究思路：按“概念——例题——探究”的路径进行研究 研究内容： 【一般概念】设y是x的一次函数，我们取自变量x的取值范围内的两个不同的值，，当到变化时，对应的y的值由到也随之变化，这时我们称比值为y在与之间的平均变化速度，当y在自变量x取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度相同时，我们称y是x的匀速变化一次函数．
【探究活动一】根据匀速变化一次函数的概念，对函数的研究如下： 当时，；当时，．则． 当时，；当时，．则． 因为y在自变量x的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度是同一个数3，所以y是x的匀速变化一次函数． 【深入探索】通过上述方法可以验证函数为y关于x的匀速变化一次函数，则该函数的平均变化速度刚好等于 ▲ ． 发现结论：若、是函数（k，b为常数，）图象上的两点，则 █ ．我们只需再取图象上两点就可以快速地验证y是不是x的匀速变化一次函数．
任务一：
（1）填空：上述材料中的▲= ，█= ．
（2）请你应用以上规律直接写出过，两点的直线的平均变化速度 ．
【探究活动二】
深度学习小组继续深入研究直线的平均变化速度问题，得到以下两个正确结论：
①当两条直线平行时，这两条直线的平均变化速度是相等的；
②当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值．
任务二：
（3）如图1，直线与直线垂直于点A，且，，．请求出直线的平均变化速度与直线的平均变化速度之积．
（4）发现结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值，这个定值= ．
（5）应用结论：如图2，平面直角坐标系中正方形的顶点，，连接，过点D作直线，则直线l的函数表达式为 ．
20．探究与实践．
【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形．
【问题解决】
（1）写出一个你知道的对直四边形： ．
（2）如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是 ．
（3）如图在方格纸中，A、B两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形，且点C、D都在格点上．
【拓展探究】
（4）如图4，在边长为4的正方形中，点E，F分别在，上，且点E为的中点，，试说明四边形是对直四边形．
【实践应用】
（5）某新建小区的建筑工地有一批铺完室内地板后剩下的瓷砖，形状如图5所示，其中，，．现根据要求，需将每张四边形瓷砖进一步切割成一个等腰三角形瓷砖和一个“对直四边形”瓷砖，用来铺设小区内花园的小路，要求原材料充分利用无剩余．请直接写出切割后得到的等腰三角形瓷砖的腰长是　　　　　．（写出所有情况）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：在，，，这四个数中，无理数有，，，共计3个，
故答案为：C．
【分析】无限不循环小数是无理数，则无理数有，，.有3个。
2．【答案】B
【知识点】同类二次根式；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：不是同类二次根式不能合并，故A项错误；
同类二次根式相加，倍数相加，同类二次根式不变，故B项正确；
，故C项错误
，故D项错误
故答案为：B
【分析】根据二次根式的加减运算：被开方数相同的二次根式进行合并，除法时被开方数相除结果为商，商能化简的要化为最简二次根式，乘法时倍数与开方数分别相乘作积，积能化简的要化为最简二次根式.
3．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由图可知中心位置在第四象限，故其坐标可能是．
故答案为：A．
【分析】由图可知圆的圆心在第四象限：则横坐标为正数，纵坐标为负数，圆心离x轴的距离小于y轴的距离，则可能为（25，-18）．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：不能构成 直角三角形 ，故A项错误；
，不能构成 直角三角形 ，故B项错误；
，不能构成 直角三角形 ，故C项错误；
，能构成 直角三角形 ，故D项正确；
故答案为：D
【分析】根据勾股定理的逆定理若，则三角形是直角三角形，进行逐项判断.
5．【答案】D
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：根据和确定平面直角坐标系，可得飞机的坐标为，D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】如图，根据、的坐标确定坐标系，
则（2，-1）．
6．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由一次函数的图象得：，
，
一次函数的图象经过第一、三、四象限，
故答案为：A．
【分析】由一次函数的图象与y轴的正半轴有交点，得，y=bx-b的图象经过一三象限，，则y=bx-b的图象经过第一、三、四象限.
7．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；比较一次函数值的大小；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据题意，得直线向下平移3个单位，所得一次函数的表达式为：，
∵直线向下平移3个单位长度得到一次函数的图象，
故，
故选项A正确；
当 时，，
故图象经过点，
故选项B正确；
当时，，
∵，
故随增大而增大，
故时，，
故选项C错误；
由点均在一次函数的图象上，
且即，
∵，
故随增大而增大，
故
故选项D正确．
故答案为：C．
【分析】根据图象平移规律：上加下减，则平移后的一次函数的表达式，则当时，，，随增大而增大，故时，.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设，
由折叠可知，是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵矩形中，
∴，
由折叠可知：，
∵矩形中，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】设，由折叠可知，是等腰直角三角形，，勾股定理得，，由是等腰直角三角形，得，则= .
9．【答案】-2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：－8的立方根是－2．
故答案为：－2．
【分析】根据（-2）3=-8。可得-8的立方根.
10．【答案】5
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵ 像与物关于轴对称，烛焰的坐标为，虚像的坐标为，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】平面直角坐标系中关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变的坐标特征，则m=2，n=3，则m+n=5.
11．【答案】2（答案不唯一，即可）
【知识点】解一元一次不等式；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据正比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数值y随x的增大而增大，
由，
故，
解得，
取，
故答案为：2（答案不唯一，即可）．
【分析】由题意得，解得，m取大于1的数。
12．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，即．
故答案为：．
【分析】由勾股定理得，即，，=8，得=．
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：延长至使，连接，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】延长至使，连接，
则CD=CF，，由AB=AD，得∠B=∠ADB，等角代换得，由勾股定理得=．
14．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．

【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）化简，再进行加减运算解得；
（2）计算，同，再进行加减运算解得．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
15．【答案】任务一：①；
任务二：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式进行判断即可求出答案.
（2）根据单项式乘多项式，完全平方公式去括号，再合并同类项即可求出答案.
16．【答案】（1）解：如图：即为所求．
（2）
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的概念
【解析】【解答】（2）解：如图：点D符合题意，其坐标为．
（3）
解：如图：点P即为所求．
∵点A与点关于y轴成轴对称，
∴，
，
当点三点共线，最小，最小值为的长，
，
∴最小值为5．
故答案为：5．
【分析】（1）如图，根据轴对称的性质确定的对应点的位置，然后顺次连接；
（2）如图：
点D（-2，3）；
（3）如图：
点A关于y轴的对称点（1，1），连接与y轴的交点即为所求的点P，当点三点共线，最小，最小值为的长，，最小值为5．
（1）解：如图：即为所求．
（2）解：如图：点D符合题意，其坐标为．
（3）解：如图：点P即为所求．
∵点A与点关于y轴成轴对称，
∴，
，
当点三点共线，最小，最小值为的长，
，
∴最小值为5．
故答案为：5．
17．【答案】（1）解：∵以为边的正方形面积为，
∴，
∴（）．
答：的长为
（2）①19；②3，
【知识点】无理数的估值；平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；正方形的性质；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】（2）①解：∵，，，
∴，，
∴
故答案为：19．
②解：∵，即，
∴，即，的整数部分为；，即，
∴的小数部分为
故答案为：；
【分析】（1）正方形面积等于边长的平方，得=20，则的长为；
（2）①由OA=，OC=，则OB-1=m=，，=19；②，即，的整数部分为；，即，的小数部分为.
（1）解：∵以为边的正方形面积为，
∴，
∴（）．
答：的长为
（2）①解：∵，，，
∴，，
∴
故答案为：19．
②解：∵，即，
∴，即，的整数部分为；，即，
∴的小数部分为
故答案为：；
18．【答案】（1）
（2），
描点，连线画出函数图象∶
（3），
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【解答】（1）解：依题意得，当时，
y与x之间的函数关系式为．
故答案为：．
（2）解：由（1）知，当时，．
故答案为∶；
（3）解：当时，；
当时，，
解得．
该用户本月的实际用电量为度．
故答案为∶；．
【分析】（1）当时，y与x之间的函数关系式为．；
（2）由（1）知，当时，；
（3）当时，实付金额等于度内的用电付出金额与超出度的用电付出金额的和，得y=0.55x-10，当y=时，解得x=260.
（1）解：依题意得，当时，
y与x之间的函数关系式为．
故答案为：．
（2）解：由（1）知，当时，．
故答案为∶；
描点，连线画出函数图象∶
（3）解：当时，；
当时，，
解得．
该用户本月的实际用电量为度．
故答案为∶；．
19．【答案】（1），；（2）；（3）；（4）；（5）
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）设函数的两点为，，
∴，，
∴，
同理，当，是函数（k，b为常数，）图象上的两点，
则．
故答案为：3，k．
（2）由题可知，，
故答案为：3．
（3）、，
∴．
（4）由（3）可得这个定值为：．
故答案为：．
（5）如图，过点D作轴于点H，
在正方形中，，，
∵点，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
设直线l的函数表达式为，
将点D坐标代入得，，
∴，
∴直线l的函数表达式为．
故答案为：．
【分析】（1） ）设函数的两点为，，平均变化速度为=3， 同理，当，是函数（k，b为常数，）图象上的两点， 则． ；
（2）根据（1）中的定义，得=3；
（3）=，=-2， ．
（4）由（3）可得这个定值为；
（5）如图，过点D作轴于点H，
由题意得，，利用三角形内角和定理得，证（ASA），得，，得点D（4，7），则=7，得，， 设直线l的函数表达式为，点D代入直线l的表达式，得．
20．【答案】（1）矩形（答案不唯一）；（2）；（3）
（3）如图，答案不唯一
（4）
（4）连接，
四边形是正方形，
，，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
，
，
四边形是对直四边形；
（5）或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）矩形（答案不唯一），
故答案为：矩形（答案不唯一）；
（2）连接，根据题意可得，
，
，
故答案为：；
（5）①过点作交于，
，
四边形是矩形，
四边形是对直四边形，
，
，
，
为等腰三角形，
；
故腰长为；
②在①的条件下，过点作交于，
同理可证：，
是等腰三角形，
∴，
四边形是对直四边形，
由①得，，
，
，
，
故腰长为；
③过点作交于，
，
四边形是对直四边形，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
故腰长为；
综上所述：等腰三角形瓷砖的腰长是或或．
【分析】（1）根据新定义得矩形或正方形；
（2）如图，连接，
由勾股定理得，=；
（3）根据新定义画出图形
；
（4）连接，
由 四边形是正方形， 得，， 得，为直角三角形，，， 则四边形是对直四边形
（5）分类讨论：①过点作交于，如图，
四边形是对直四边形，由，得为等腰三角形，；故腰长为
②在①的条件下，过点作交于，如图，
同理可证：，得 是等腰三角形， 由 ，得四边形是对直四边形，，，故腰长为；
③过点作交于，如图，
由 ，则四边形是对直四边形，
是等腰三角形，，故腰长为；
1 / 1广东省深圳市龙岗区2025-2026学年八年级数学上学期期中试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项涂在答题卡上）
1．有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了，，，．在这四个数中，是无理数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：在，，，这四个数中，无理数有，，，共计3个，
故答案为：C．
【分析】无限不循环小数是无理数，则无理数有，，.有3个。
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：不是同类二次根式不能合并，故A项错误；
同类二次根式相加，倍数相加，同类二次根式不变，故B项正确；
，故C项错误
，故D项错误
故答案为：B
【分析】根据二次根式的加减运算：被开方数相同的二次根式进行合并，除法时被开方数相除结果为商，商能化简的要化为最简二次根式，乘法时倍数与开方数分别相乘作积，积能化简的要化为最简二次根式.
3．2025年9月28日，国内首个无人机夜间配送服务落地深圳！低空经济开启“不眠模式”．如图，若无人机在某次投送点的中心位置在图中阴影部分，则中心位置的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由图可知中心位置在第四象限，故其坐标可能是．
故答案为：A．
【分析】由图可知圆的圆心在第四象限：则横坐标为正数，纵坐标为负数，圆心离x轴的距离小于y轴的距离，则可能为（25，-18）．
4．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．， B．2，3，4 C．7，14，15 D．1，1，
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：不能构成 直角三角形 ，故A项错误；
，不能构成 直角三角形 ，故B项错误；
，不能构成 直角三角形 ，故C项错误；
，能构成 直角三角形 ，故D项正确；
故答案为：D
【分析】根据勾股定理的逆定理若，则三角形是直角三角形，进行逐项判断.
5．2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行．如图是某飞行梯队的队形，若在同一平面直角坐标系内，A，B两架飞机的坐标分别为和，则飞机C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：根据和确定平面直角坐标系，可得飞机的坐标为，D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】如图，根据、的坐标确定坐标系，
则（2，-1）．
6．一次函数的图像如图所示，则一次函数的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由一次函数的图象得：，
，
一次函数的图象经过第一、三、四象限，
故答案为：A．
【分析】由一次函数的图象与y轴的正半轴有交点，得，y=bx-b的图象经过一三象限，，则y=bx-b的图象经过第一、三、四象限.
7．已知将直线向下平移3个单位长度得到一次函数的图象，下列结论错误的是（　　）
A．
B．一次函数的图象经过点
C．对于一次函数，当时，
D．若点均在一次函数的图象上，则
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；比较一次函数值的大小；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据题意，得直线向下平移3个单位，所得一次函数的表达式为：，
∵直线向下平移3个单位长度得到一次函数的图象，
故，
故选项A正确；
当 时，，
故图象经过点，
故选项B正确；
当时，，
∵，
故随增大而增大，
故时，，
故选项C错误；
由点均在一次函数的图象上，
且即，
∵，
故随增大而增大，
故
故选项D正确．
故答案为：C．
【分析】根据图象平移规律：上加下减，则平移后的一次函数的表达式，则当时，，，随增大而增大，故时，.
8．如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设，
由折叠可知，是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵矩形中，
∴，
由折叠可知：，
∵矩形中，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】设，由折叠可知，是等腰直角三角形，，勾股定理得，，由是等腰直角三角形，得，则= .
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）
9． 的立方根是　 　．
【答案】-2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：－8的立方根是－2．
故答案为：－2．
【分析】根据（-2）3=-8。可得-8的立方根.
10．平面镜成像的本质是轴对称，镜面为对称轴，像与物关于镜面所在的直线成轴对称．如图是人眼看到烛焰在平面镜中成的像，若以桌面所在直线为x轴，以镜面所在直线为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．若某一时刻烛焰S的坐标为，虚像对应点的坐标为，则的值为　 　．
【答案】5
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵ 像与物关于轴对称，烛焰的坐标为，虚像的坐标为，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】平面直角坐标系中关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变的坐标特征，则m=2，n=3，则m+n=5.
11．在正比例函数中，函数值y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值：　 　．
【答案】2（答案不唯一，即可）
【知识点】解一元一次不等式；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据正比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数值y随x的增大而增大，
由，
故，
解得，
取，
故答案为：2（答案不唯一，即可）．
【分析】由题意得，解得，m取大于1的数。
12．如图，在证明勾股定理时，我们分别以的三条边（）为边向外作正方形，我们把得到的三个正方形的面积分别记为，若．则的长为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，即．
故答案为：．
【分析】由勾股定理得，即，，=8，得=．
13．如图，在中，平分交于点D，且交的延长线于点E．若，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：延长至使，连接，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】延长至使，连接，
则CD=CF，，由AB=AD，得∠B=∠ADB，等角代换得，由勾股定理得=．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．计算题：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．

【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）化简，再进行加减运算解得；
（2）计算，同，再进行加减运算解得．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
15．下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误：
解：原式①
②
③
任务一：小雷同学的解答过程是从第 步开始出现错误的（写步骤序号）；
任务二：请你写出正确的解答过程．
【答案】任务一：①；
任务二：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式进行判断即可求出答案.
（2）根据单项式乘多项式，完全平方公式去括号，再合并同类项即可求出答案.
16．如图，三个顶点的坐标分别为．
（1）在图中作出关于x轴对称的．
（2）在第二象限内的格点上确定一点D，使点D与线段组成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则D点坐标是 ．（直接写答案）
（3）在y轴上找一点P（画出点P的位置），使的值最小，最小值= ．
【答案】（1）解：如图：即为所求．
（2）
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的概念
【解析】【解答】（2）解：如图：点D符合题意，其坐标为．
（3）
解：如图：点P即为所求．
∵点A与点关于y轴成轴对称，
∴，
，
当点三点共线，最小，最小值为的长，
，
∴最小值为5．
故答案为：5．
【分析】（1）如图，根据轴对称的性质确定的对应点的位置，然后顺次连接；
（2）如图：
点D（-2，3）；
（3）如图：
点A关于y轴的对称点（1，1），连接与y轴的交点即为所求的点P，当点三点共线，最小，最小值为的长，，最小值为5．
（1）解：如图：即为所求．
（2）解：如图：点D符合题意，其坐标为．
（3）解：如图：点P即为所求．
∵点A与点关于y轴成轴对称，
∴，
，
当点三点共线，最小，最小值为的长，
，
∴最小值为5．
故答案为：5．
17．如图，三张边长分别为，，大小不同的正方形纸片叠放在一起，为边的正方形纸片的面积为．（点O，A，B，C在同一直线上）
（1）求的长．
（2）若，则：
① ；
②m的整数部分为 ，n的小数部分为 ．
【答案】（1）解：∵以为边的正方形面积为，
∴，
∴（）．
答：的长为
（2）①19；②3，
【知识点】无理数的估值；平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；正方形的性质；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】（2）①解：∵，，，
∴，，
∴
故答案为：19．
②解：∵，即，
∴，即，的整数部分为；，即，
∴的小数部分为
故答案为：；
【分析】（1）正方形面积等于边长的平方，得=20，则的长为；
（2）①由OA=，OC=，则OB-1=m=，，=19；②，即，的整数部分为；，即，的小数部分为.
（1）解：∵以为边的正方形面积为，
∴，
∴（）．
答：的长为
（2）①解：∵，，，
∴，，
∴
故答案为：19．
②解：∵，即，
∴，即，的整数部分为；，即，
∴的小数部分为
故答案为：；
18．为鼓励居民合理用电，广东某市电力公司对居民用户采取分月用电量分档收费办法（按夏季和非夏季区分），下表1是某户居民某月电费发票的部分信息：
表1 表2
××居民电费专用发票 （非夏季标准：1~4月、11~12月） x 0
y 0 m
计费期限：一个月
用电量x（度） 电价（元/度）
第一档：
第二档：
第三档：
本月实付金额：（元） （大写）壹佰叁拾叁元零角
根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）如果月用电量用x（度）来表示，实付金额用y（元）来表示，则当时，y与x之间的函数关系式为 ．
（2）根据（1）中函数关系式，列出y与x的几组对应值（如表2），其中 ，并在平面直角坐标系中，根据表2中的数值描点，在图3中画出该函数的图象．
（3）当时，y与x之间的函数关系式为 ；根据表中该用户的本月实付金额，计算该用户本月的实际用电量为 度．
【答案】（1）
（2），
描点，连线画出函数图象∶
（3），
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【解答】（1）解：依题意得，当时，
y与x之间的函数关系式为．
故答案为：．
（2）解：由（1）知，当时，．
故答案为∶；
（3）解：当时，；
当时，，
解得．
该用户本月的实际用电量为度．
故答案为∶；．
【分析】（1）当时，y与x之间的函数关系式为．；
（2）由（1）知，当时，；
（3）当时，实付金额等于度内的用电付出金额与超出度的用电付出金额的和，得y=0.55x-10，当y=时，解得x=260.
（1）解：依题意得，当时，
y与x之间的函数关系式为．
故答案为：．
（2）解：由（1）知，当时，．
故答案为∶；
描点，连线画出函数图象∶
（3）解：当时，；
当时，，
解得．
该用户本月的实际用电量为度．
故答案为∶；．
19．教材问题重现：
在小颖的实验中，燃烧时间每增加，香可燃烧部分的长度就减少．也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少．为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢？与同伴进行交流．
对于“均匀”变化，下面是深度学习小组通过查阅相关资料和文献搜索后的研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
深度学习小组有关“匀速变化一次函数”的研究报告 研究对象：匀速变化一次函数 研究思路：按“概念——例题——探究”的路径进行研究 研究内容： 【一般概念】设y是x的一次函数，我们取自变量x的取值范围内的两个不同的值，，当到变化时，对应的y的值由到也随之变化，这时我们称比值为y在与之间的平均变化速度，当y在自变量x取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度相同时，我们称y是x的匀速变化一次函数．
【探究活动一】根据匀速变化一次函数的概念，对函数的研究如下： 当时，；当时，．则． 当时，；当时，．则． 因为y在自变量x的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度是同一个数3，所以y是x的匀速变化一次函数． 【深入探索】通过上述方法可以验证函数为y关于x的匀速变化一次函数，则该函数的平均变化速度刚好等于 ▲ ． 发现结论：若、是函数（k，b为常数，）图象上的两点，则 █ ．我们只需再取图象上两点就可以快速地验证y是不是x的匀速变化一次函数．
任务一：
（1）填空：上述材料中的▲= ，█= ．
（2）请你应用以上规律直接写出过，两点的直线的平均变化速度 ．
【探究活动二】
深度学习小组继续深入研究直线的平均变化速度问题，得到以下两个正确结论：
①当两条直线平行时，这两条直线的平均变化速度是相等的；
②当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值．
任务二：
（3）如图1，直线与直线垂直于点A，且，，．请求出直线的平均变化速度与直线的平均变化速度之积．
（4）发现结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值，这个定值= ．
（5）应用结论：如图2，平面直角坐标系中正方形的顶点，，连接，过点D作直线，则直线l的函数表达式为 ．
【答案】（1），；（2）；（3）；（4）；（5）
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）设函数的两点为，，
∴，，
∴，
同理，当，是函数（k，b为常数，）图象上的两点，
则．
故答案为：3，k．
（2）由题可知，，
故答案为：3．
（3）、，
∴．
（4）由（3）可得这个定值为：．
故答案为：．
（5）如图，过点D作轴于点H，
在正方形中，，，
∵点，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
设直线l的函数表达式为，
将点D坐标代入得，，
∴，
∴直线l的函数表达式为．
故答案为：．
【分析】（1） ）设函数的两点为，，平均变化速度为=3， 同理，当，是函数（k，b为常数，）图象上的两点， 则． ；
（2）根据（1）中的定义，得=3；
（3）=，=-2， ．
（4）由（3）可得这个定值为；
（5）如图，过点D作轴于点H，
由题意得，，利用三角形内角和定理得，证（ASA），得，，得点D（4，7），则=7，得，， 设直线l的函数表达式为，点D代入直线l的表达式，得．
20．探究与实践．
【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形．
【问题解决】
（1）写出一个你知道的对直四边形： ．
（2）如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是 ．
（3）如图在方格纸中，A、B两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形，且点C、D都在格点上．
【拓展探究】
（4）如图4，在边长为4的正方形中，点E，F分别在，上，且点E为的中点，，试说明四边形是对直四边形．
【实践应用】
（5）某新建小区的建筑工地有一批铺完室内地板后剩下的瓷砖，形状如图5所示，其中，，．现根据要求，需将每张四边形瓷砖进一步切割成一个等腰三角形瓷砖和一个“对直四边形”瓷砖，用来铺设小区内花园的小路，要求原材料充分利用无剩余．请直接写出切割后得到的等腰三角形瓷砖的腰长是　　　　　．（写出所有情况）
【答案】（1）矩形（答案不唯一）；（2）；（3）
（3）如图，答案不唯一
（4）
（4）连接，
四边形是正方形，
，，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
，
，
四边形是对直四边形；
（5）或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）矩形（答案不唯一），
故答案为：矩形（答案不唯一）；
（2）连接，根据题意可得，
，
，
故答案为：；
（5）①过点作交于，
，
四边形是矩形，
四边形是对直四边形，
，
，
，
为等腰三角形，
；
故腰长为；
②在①的条件下，过点作交于，
同理可证：，
是等腰三角形，
∴，
四边形是对直四边形，
由①得，，
，
，
，
故腰长为；
③过点作交于，
，
四边形是对直四边形，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
故腰长为；
综上所述：等腰三角形瓷砖的腰长是或或．
【分析】（1）根据新定义得矩形或正方形；
（2）如图，连接，
由勾股定理得，=；
（3）根据新定义画出图形
；
（4）连接，
由 四边形是正方形， 得，， 得，为直角三角形，，， 则四边形是对直四边形
（5）分类讨论：①过点作交于，如图，
四边形是对直四边形，由，得为等腰三角形，；故腰长为
②在①的条件下，过点作交于，如图，
同理可证：，得 是等腰三角形， 由 ，得四边形是对直四边形，，，故腰长为；
③过点作交于，如图，
由 ，则四边形是对直四边形，
是等腰三角形，，故腰长为；
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