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广东深圳罗湖区2025-2026学年第二学期期中学情监测（5月）七年级 数学
1．在深圳坪山建设的国家级微纳加工平台已投入使用，可为芯片创新企业提供流片服务，其研发工艺节点可达到 8纳米.1纳米即为 0.000000001米，将 8纳米换算为米，并用科学记数法表示为（　　)米.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：1纳米=0.000000001米=米.
∵8纳米=8×1纳米，
∴8纳米=米.
8×已经符合科学记数法的形式，其中1≤8<10.
故答案为：A.
【分析】先根据题干给出的1纳米=0.000000001米，把0.000000001写成，再用8乘以.科学记数法要求前面的数大于或等于1且小于10，所以符合要求.
2．下列事件是必然事件的是（　　)
A．老师进教室先迈左脚
B．太阳东升西落
C．商场买盲盒抽中隐藏款
D．关闭手机软件启动广告时刚好一次成功
【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、老师进教室先迈左脚可能发生，也可能不发生，是随机事件，A错误；
B、太阳东升西落是自然规律，在正常表述下必然发生，是必然事件，B正确；
C、商场买盲盒抽中隐藏款可能发生，也可能不发生，是随机事件，C错误；
D、关闭手机软件启动广告时刚好一次成功可能发生，也可能不发生，是随机事件，D错误.
故答案为：B.
【分析】一定会发生的事件叫必然事件；一定不会发生的事件叫不可能事件；可能发生也可能不发生的事件叫随机事件.逐项判断可知，只有太阳东升西落一定发生.
3．当今是自媒体的时代，图1是一个麦克风可调节支架示意图，图二是抽象出的模型图，当增加时，（　　）
A．增加 B．不变 C．减少 D．增加
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由图形可知，和是对顶角，
，
增加，
增加．
故答案为：D
【分析】根据对顶角相等得增加，增加．
4．如图，点是直线外一点，点，，在直线上，且，，．下列说法正确的是（　　）
A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于5
C．点到直线的距离等于6 D．点到直线的距离一定不大于4
【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵点是直线外一点，点，，在直线上，且，，，
∴点到直线的距离一定不大于4．
故答案为：D
【分析】 点到直线的距离一定不大于4 .
5．下列能判定直线与直线平行的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：当时，利用“内错角相等，两直线平行”得到，
其余三组，都不能得到，
只有选项D符合题意．
故答案为：D
【分析】当时，由“内错角相等，两直线平行”得.
6．深圳街超“超鹏友”第二届女子足球公开赛首轮小组赛中，各女足队伍将随机抽签分为 A、B、C、D四组.其中一支队伍甲抽中 A组的概率是（　　)
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：女足队伍随机抽签分为A、B、C、D四组，共有4种等可能结果.
其中队伍甲抽中A组只有1种结果.
∴队伍甲抽中A组的概率= .
故答案为：A.
【分析】随机抽到每个小组的可能性相同，一共有4个小组，抽到指定A组的结果只有1个，所以概率等于目标结果数除以总结果数，即1/4.
7．已知深圳博物馆位于小深家的正东方，小深从家中出发步行前往深圳博物馆，先是朝着南偏东的方向走到书店买了一本笔记本，接着往北偏东方向走到了深圳博物馆．那么从书店出发，往家的路线与往深圳博物馆的路线夹角为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：设小深家为点，深圳博物馆为点，书店为点，
∵从看的方向为南偏东，根据方向的相对性，从看的方向为北偏西，
又∵从看的方向为北偏东，两个方向分别位于点正北方向的西侧和东侧，与正北方向的夹角分别为和，
∴所求夹角为 ．
故答案为：B
【分析】如图，
从看的方向为北偏东，两个方向分别位于点正北方向的西侧和东侧，与正北方向的夹角分别为和，则夹角为138°.
8．已知与的两边分别平行，且比的2倍多，则的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵与的两边分别平行，
∴或，
∵比的2倍多，
∴，
∴且，
∴，
解得．
故答案为：B
【分析】由与的两边分别平行，得或，由比的2倍多。则且，得，解得．
9．　 　.
【答案】
【知识点】单项式乘单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：根据题干所给的单项式乘法，先把数字系数相乘，再把相同字母分别按同底数幂乘法计算.
数字系数相乘得到24.x的指数相加后得到6，
所以x的部分为.x的指数相加后得到6，
所以x的部分为.
∴原式=.
故答案为：.
【分析】本题考查单项式乘单项式.计算时分三步：系数乘系数；同底数字母相乘，底数不变，指数相加；只在一个单项式中出现的字母连同指数照写.
10．已知 a+b=2，则　 　.
【答案】81
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵a+b=2，∴题干中的指数式可先化为只含a+b的形式.把a+b=2整体代入题干原式，得原式=.
∵=3×3×3×3=81，
∴原式=81.
故答案为：81.
【分析】本题考查整体代入和幂的运算.已知的是a+b的值，所以不要分别求a、b，而应把题干原式整理成含a+b的形式，再整体代入a+b=2进行计算.
11．赵爽弦图中，一个大正方形是由四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成的，如图，已知其中直角三角形的三条边长分别为5、12、13，在弦图内随机掷飞镖（落在大正方形内），飞镖落在小正方形内的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率；概率公式；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：正方形的面积为，
正方形的面积为，
∴飞镖落在小正方形内的概率是．
故答案为：
【解答】正方形的面积为，正方形的面积为，则飞镖落在小正方形内的概率是．
12．如图，将与叠在一起，点恰好落在上，，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：148°
【分析】在中，，则∠B=58°，由AB∥CE，得∠，则
13．如图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块半径分别为的圆形，其中重叠部分为花圃，对应阴影部分分别表示两个班级的基地面积．若，则　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意可知，，，
，
，
（负值舍去）
．
故答案为：32π
【分析】由题意可知，，，则，则．
14．计算：
（1）；
（2）用乘法公式简便运算：．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）计算，再加减的结果为0；
（2）运用平方差公式为=3002-62，结果为89964
（1）解：
；
（2）解：
．
15．化简求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算；多项式除以单项式；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】分别用平方差公式和多项式除以单项式计算结果化简为，把代入计算结果为3．
16．如图所示，于点，于点，是的角平分线，请说明．请补充完整下列解题过程（在括号里填上推理的依据）
解：
_____（_____）
（_____）
（_____）；
__________（两直线平行，内错角相等），
∵_____
（角平分线的定义）
（等量代换）
【答案】；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；是的角平分线
【知识点】垂线的概念；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】垂直的定义得同位角相等，两直线平行得EG∥AD，两直线平行，同位角相等得 ，由角平分线的定义得.
17．现有一个不透明的盒子里放置6张材质完全相同的卡片，卡片上分别标有数字1 、2、3、4、5、6．
（1）小深设计了一款游戏，规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．计算，若结果大于2，则甲获胜；若结果小于或等于2，则乙获胜．求甲获胜的概率．
（2）你认为小深设计的这个游戏是否公平？请阐述理由．
（3）目前该游戏仅支持两人同时玩，请帮小深将其改成可供三个人同时玩的公平游戏．
【答案】（1）解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
当时，，
其中，即6种结果中，只有1种结果甲获胜，
甲获胜的概率为．
（2）解：不公平，
理由：由（1）可知，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，甲获胜的概率明显小于乙获胜的概率，所以游戏不公平；
（3）解：规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．若结果为1或2，则甲获胜；若结果为3或4，则乙获胜；若结果为5或6，则丙获胜．
【知识点】游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）的6个取值对应的值为3，0，-5，-12，-21，-32，其中，即6种结果中，只有1种结果甲获胜，甲获胜的概率为；
（2）由（1）知甲获胜的概率小于乙获胜的概率，则不公平；
（3）三个人同时玩的公平游戏，即三个人获胜的概率相等，规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．若结果为1或2，则甲获胜；若结果为3或4，则乙获胜；若结果为5或6，则丙获胜．．
（1）解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
当时，，
其中，即6种结果中，只有1种结果甲获胜，
甲获胜的概率为．
（2）解：不公平，
理由：由（1）可知，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，甲获胜的概率明显小于乙获胜的概率，所以游戏不公平；
（3）解：规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．若结果为1或2，则甲获胜；若结果为3或4，则乙获胜；若结果为5或6，则丙获胜．
18．【新定义】设两个相邻整数分别为 n和 n+1（n为整数)：
定义：①平均数的平方为 M，则 ②平方的平均数为 N，则 请完成以下问题：
（1） 计算验证： 取 n=1， 请计算 M、N的值， 判断 M、N大小；
（2）初步化简：分别将 M、N两个代数式化简 （即展开并合并同类项)；
（3）完整推导：在第 （2）问的基础上，M-N的结果是否为一个固定的值 如果是，请求出具体的值；如果不是，请说明理由.
【答案】（1）解：当n=1时，两个相邻整数为1和2.
平均数为，所以.
平方的平均数为，所以.
∵.
∴M（2）解：
M=[]2=[]2===n2+n+.
N====n2+n+.
（3）解：是，
M-N=(n2+n+）-(n2+n+)=-=.
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律；合并同类项法则及应用；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】(1)先根据定义计算两个数的平均数，再平方得到M；再先把两个数分别平方，然后求平均得到N.
(2)把两个相邻整数n和n+1直接代入定义，用完全平方公式展开并合并同类项.
(3)用第(2)问化简后的M、N作差，含n的项完全抵消，只剩常数，所以M-N是固定值.
19．老师给小深和小圳布置了一道课后作业：过直线外一点，作一条线和已知直线平行．
（1）如图1，，，均在格点上．小深觉得，如果能够在网格中作图，就可以利用网格的格点作出平行线．请利用网格的格点，在网格中过点作出的平行线．
（2）如图2，小圳觉得，连接或者，利用同位角或者内错角相等，两直线平行的定理，作一个角等于已知角，也可以过点作出的平行线，请用尺规作图在图2中作出的平行线．
（3）如图3，已知，，，在平行线之间有一点，连接、，求的大小？小深提出，可以过点作的平行线，借助辅助线可以解决问题．请写出完整解答过程．
（4）如图4，已知，在平行线上方有一点，连接、，作与的角平分线相交于点，请问与有什么数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：如图所示，直线即为所求；
借助网格，利用长方形，得出，
∴；
（2）解：如图所示，直线即为所求；
（3）解：如图所示，过点作的平行线，
∵，
∴，
∴，
∴；
（4）解：，理由如下：
如图所示，过点作的平行线，过点作的平行线，
∵，
∴，
∵与的角平分线相交于点，
∴假设，
∴，，
∴，，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角；猪蹄模型；乌鸦嘴模型；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）利用同位角相等，两直线平行作图。
（2）作一个角等于已知角，则同位角相等，两直线平行；
（3）如解图，；
（4）如解图，由，得，设，，，，．
（1）解：如图所示，直线即为所求；
借助网格，利用长方形，得出，
∴；
（2）解：如图所示，直线即为所求；
（3）解：如图所示，过点作的平行线，
∵，
∴，
∴，
∴；
（4）解：，理由如下：
如图所示，过点作的平行线，过点作的平行线，
∵，
∴，
∵与的角平分线相交于点，
∴假设，
∴，，
∴，，
∴．
20．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
（1）如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形．由于两图中阴影部分面积是相同的，我们可以得到恒等式：_____．
（2）如图2，四个长为，宽为的长方形拼成一个中间镂空的正方形，用不同的方式计算阴影部分面积，我们可以得到恒等式：_____．
【知识迁移】
（3）计算：；
（4）若，，求．
【拓展探究】
（5）如图3．将边长分别为的两个正方形纸片叠放在一起，已知阴影部分面积为6，长方形的面积为4，求两个正方形纸片的面积和．
【答案】(1)
(2)
（3）解：
；
（4）解：由（2）的结论可得，，
∵，
∴或；
（5）
解：根据题意得，，则，∴，
∴，
令，
则，
∴，
∵，
∴或（舍去），
∴，
即，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：；
（2）解：
【分析】（1）由面积得出等式；
（2）由面积得出等式；
（3）利用平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2，得=
（4）由（2）得，则或
（5）由题意得，，则，，令，则，解得x=2，即，．
1 / 1广东深圳罗湖区2025-2026学年第二学期期中学情监测（5月）七年级 数学
1．在深圳坪山建设的国家级微纳加工平台已投入使用，可为芯片创新企业提供流片服务，其研发工艺节点可达到 8纳米.1纳米即为 0.000000001米，将 8纳米换算为米，并用科学记数法表示为（　　)米.
A． B． C． D．
2．下列事件是必然事件的是（　　)
A．老师进教室先迈左脚
B．太阳东升西落
C．商场买盲盒抽中隐藏款
D．关闭手机软件启动广告时刚好一次成功
3．当今是自媒体的时代，图1是一个麦克风可调节支架示意图，图二是抽象出的模型图，当增加时，（　　）
A．增加 B．不变 C．减少 D．增加
4．如图，点是直线外一点，点，，在直线上，且，，．下列说法正确的是（　　）
A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于5
C．点到直线的距离等于6 D．点到直线的距离一定不大于4
5．下列能判定直线与直线平行的条件是（　　）
A． B． C． D．
6．深圳街超“超鹏友”第二届女子足球公开赛首轮小组赛中，各女足队伍将随机抽签分为 A、B、C、D四组.其中一支队伍甲抽中 A组的概率是（　　)
A． B． C． D．1
7．已知深圳博物馆位于小深家的正东方，小深从家中出发步行前往深圳博物馆，先是朝着南偏东的方向走到书店买了一本笔记本，接着往北偏东方向走到了深圳博物馆．那么从书店出发，往家的路线与往深圳博物馆的路线夹角为（　　）．
A． B． C． D．
8．已知与的两边分别平行，且比的2倍多，则的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
9．　 　.
10．已知 a+b=2，则　 　.
11．赵爽弦图中，一个大正方形是由四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成的，如图，已知其中直角三角形的三条边长分别为5、12、13，在弦图内随机掷飞镖（落在大正方形内），飞镖落在小正方形内的概率是　 　．
12．如图，将与叠在一起，点恰好落在上，，，则　 　．
13．如图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块半径分别为的圆形，其中重叠部分为花圃，对应阴影部分分别表示两个班级的基地面积．若，则　 　．
14．计算：
（1）；
（2）用乘法公式简便运算：．
15．化简求值：，其中．
16．如图所示，于点，于点，是的角平分线，请说明．请补充完整下列解题过程（在括号里填上推理的依据）
解：
_____（_____）
（_____）
（_____）；
__________（两直线平行，内错角相等），
∵_____
（角平分线的定义）
（等量代换）
17．现有一个不透明的盒子里放置6张材质完全相同的卡片，卡片上分别标有数字1 、2、3、4、5、6．
（1）小深设计了一款游戏，规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．计算，若结果大于2，则甲获胜；若结果小于或等于2，则乙获胜．求甲获胜的概率．
（2）你认为小深设计的这个游戏是否公平？请阐述理由．
（3）目前该游戏仅支持两人同时玩，请帮小深将其改成可供三个人同时玩的公平游戏．
18．【新定义】设两个相邻整数分别为 n和 n+1（n为整数)：
定义：①平均数的平方为 M，则 ②平方的平均数为 N，则 请完成以下问题：
（1） 计算验证： 取 n=1， 请计算 M、N的值， 判断 M、N大小；
（2）初步化简：分别将 M、N两个代数式化简 （即展开并合并同类项)；
（3）完整推导：在第 （2）问的基础上，M-N的结果是否为一个固定的值 如果是，请求出具体的值；如果不是，请说明理由.
19．老师给小深和小圳布置了一道课后作业：过直线外一点，作一条线和已知直线平行．
（1）如图1，，，均在格点上．小深觉得，如果能够在网格中作图，就可以利用网格的格点作出平行线．请利用网格的格点，在网格中过点作出的平行线．
（2）如图2，小圳觉得，连接或者，利用同位角或者内错角相等，两直线平行的定理，作一个角等于已知角，也可以过点作出的平行线，请用尺规作图在图2中作出的平行线．
（3）如图3，已知，，，在平行线之间有一点，连接、，求的大小？小深提出，可以过点作的平行线，借助辅助线可以解决问题．请写出完整解答过程．
（4）如图4，已知，在平行线上方有一点，连接、，作与的角平分线相交于点，请问与有什么数量关系，并说明理由．
20．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
（1）如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形．由于两图中阴影部分面积是相同的，我们可以得到恒等式：_____．
（2）如图2，四个长为，宽为的长方形拼成一个中间镂空的正方形，用不同的方式计算阴影部分面积，我们可以得到恒等式：_____．
【知识迁移】
（3）计算：；
（4）若，，求．
【拓展探究】
（5）如图3．将边长分别为的两个正方形纸片叠放在一起，已知阴影部分面积为6，长方形的面积为4，求两个正方形纸片的面积和．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：1纳米=0.000000001米=米.
∵8纳米=8×1纳米，
∴8纳米=米.
8×已经符合科学记数法的形式，其中1≤8<10.
故答案为：A.
【分析】先根据题干给出的1纳米=0.000000001米，把0.000000001写成，再用8乘以.科学记数法要求前面的数大于或等于1且小于10，所以符合要求.
2．【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、老师进教室先迈左脚可能发生，也可能不发生，是随机事件，A错误；
B、太阳东升西落是自然规律，在正常表述下必然发生，是必然事件，B正确；
C、商场买盲盒抽中隐藏款可能发生，也可能不发生，是随机事件，C错误；
D、关闭手机软件启动广告时刚好一次成功可能发生，也可能不发生，是随机事件，D错误.
故答案为：B.
【分析】一定会发生的事件叫必然事件；一定不会发生的事件叫不可能事件；可能发生也可能不发生的事件叫随机事件.逐项判断可知，只有太阳东升西落一定发生.
3．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由图形可知，和是对顶角，
，
增加，
增加．
故答案为：D
【分析】根据对顶角相等得增加，增加．
4．【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵点是直线外一点，点，，在直线上，且，，，
∴点到直线的距离一定不大于4．
故答案为：D
【分析】 点到直线的距离一定不大于4 .
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：当时，利用“内错角相等，两直线平行”得到，
其余三组，都不能得到，
只有选项D符合题意．
故答案为：D
【分析】当时，由“内错角相等，两直线平行”得.
6．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：女足队伍随机抽签分为A、B、C、D四组，共有4种等可能结果.
其中队伍甲抽中A组只有1种结果.
∴队伍甲抽中A组的概率= .
故答案为：A.
【分析】随机抽到每个小组的可能性相同，一共有4个小组，抽到指定A组的结果只有1个，所以概率等于目标结果数除以总结果数，即1/4.
7．【答案】B
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：设小深家为点，深圳博物馆为点，书店为点，
∵从看的方向为南偏东，根据方向的相对性，从看的方向为北偏西，
又∵从看的方向为北偏东，两个方向分别位于点正北方向的西侧和东侧，与正北方向的夹角分别为和，
∴所求夹角为 ．
故答案为：B
【分析】如图，
从看的方向为北偏东，两个方向分别位于点正北方向的西侧和东侧，与正北方向的夹角分别为和，则夹角为138°.
8．【答案】B
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵与的两边分别平行，
∴或，
∵比的2倍多，
∴，
∴且，
∴，
解得．
故答案为：B
【分析】由与的两边分别平行，得或，由比的2倍多。则且，得，解得．
9．【答案】
【知识点】单项式乘单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：根据题干所给的单项式乘法，先把数字系数相乘，再把相同字母分别按同底数幂乘法计算.
数字系数相乘得到24.x的指数相加后得到6，
所以x的部分为.x的指数相加后得到6，
所以x的部分为.
∴原式=.
故答案为：.
【分析】本题考查单项式乘单项式.计算时分三步：系数乘系数；同底数字母相乘，底数不变，指数相加；只在一个单项式中出现的字母连同指数照写.
10．【答案】81
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵a+b=2，∴题干中的指数式可先化为只含a+b的形式.把a+b=2整体代入题干原式，得原式=.
∵=3×3×3×3=81，
∴原式=81.
故答案为：81.
【分析】本题考查整体代入和幂的运算.已知的是a+b的值，所以不要分别求a、b，而应把题干原式整理成含a+b的形式，再整体代入a+b=2进行计算.
11．【答案】
【知识点】几何概率；概率公式；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：正方形的面积为，
正方形的面积为，
∴飞镖落在小正方形内的概率是．
故答案为：
【解答】正方形的面积为，正方形的面积为，则飞镖落在小正方形内的概率是．
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：148°
【分析】在中，，则∠B=58°，由AB∥CE，得∠，则
13．【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意可知，，，
，
，
（负值舍去）
．
故答案为：32π
【分析】由题意可知，，，则，则．
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）计算，再加减的结果为0；
（2）运用平方差公式为=3002-62，结果为89964
（1）解：
；
（2）解：
．
15．【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算；多项式除以单项式；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】分别用平方差公式和多项式除以单项式计算结果化简为，把代入计算结果为3．
16．【答案】；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；是的角平分线
【知识点】垂线的概念；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】垂直的定义得同位角相等，两直线平行得EG∥AD，两直线平行，同位角相等得 ，由角平分线的定义得.
17．【答案】（1）解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
当时，，
其中，即6种结果中，只有1种结果甲获胜，
甲获胜的概率为．
（2）解：不公平，
理由：由（1）可知，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，甲获胜的概率明显小于乙获胜的概率，所以游戏不公平；
（3）解：规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．若结果为1或2，则甲获胜；若结果为3或4，则乙获胜；若结果为5或6，则丙获胜．
【知识点】游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）的6个取值对应的值为3，0，-5，-12，-21，-32，其中，即6种结果中，只有1种结果甲获胜，甲获胜的概率为；
（2）由（1）知甲获胜的概率小于乙获胜的概率，则不公平；
（3）三个人同时玩的公平游戏，即三个人获胜的概率相等，规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．若结果为1或2，则甲获胜；若结果为3或4，则乙获胜；若结果为5或6，则丙获胜．．
（1）解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
当时，，
其中，即6种结果中，只有1种结果甲获胜，
甲获胜的概率为．
（2）解：不公平，
理由：由（1）可知，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，甲获胜的概率明显小于乙获胜的概率，所以游戏不公平；
（3）解：规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．若结果为1或2，则甲获胜；若结果为3或4，则乙获胜；若结果为5或6，则丙获胜．
18．【答案】（1）解：当n=1时，两个相邻整数为1和2.
平均数为，所以.
平方的平均数为，所以.
∵.
∴M（2）解：
M=[]2=[]2===n2+n+.
N====n2+n+.
（3）解：是，
M-N=(n2+n+）-(n2+n+)=-=.
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律；合并同类项法则及应用；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】(1)先根据定义计算两个数的平均数，再平方得到M；再先把两个数分别平方，然后求平均得到N.
(2)把两个相邻整数n和n+1直接代入定义，用完全平方公式展开并合并同类项.
(3)用第(2)问化简后的M、N作差，含n的项完全抵消，只剩常数，所以M-N是固定值.
19．【答案】（1）解：如图所示，直线即为所求；
借助网格，利用长方形，得出，
∴；
（2）解：如图所示，直线即为所求；
（3）解：如图所示，过点作的平行线，
∵，
∴，
∴，
∴；
（4）解：，理由如下：
如图所示，过点作的平行线，过点作的平行线，
∵，
∴，
∵与的角平分线相交于点，
∴假设，
∴，，
∴，，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角；猪蹄模型；乌鸦嘴模型；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）利用同位角相等，两直线平行作图。
（2）作一个角等于已知角，则同位角相等，两直线平行；
（3）如解图，；
（4）如解图，由，得，设，，，，．
（1）解：如图所示，直线即为所求；
借助网格，利用长方形，得出，
∴；
（2）解：如图所示，直线即为所求；
（3）解：如图所示，过点作的平行线，
∵，
∴，
∴，
∴；
（4）解：，理由如下：
如图所示，过点作的平行线，过点作的平行线，
∵，
∴，
∵与的角平分线相交于点，
∴假设，
∴，，
∴，，
∴．
20．【答案】(1)
(2)
（3）解：
；
（4）解：由（2）的结论可得，，
∵，
∴或；
（5）
解：根据题意得，，则，∴，
∴，
令，
则，
∴，
∵，
∴或（舍去），
∴，
即，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：；
（2）解：
【分析】（1）由面积得出等式；
（2）由面积得出等式；
（3）利用平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2，得=
（4）由（2）得，则或
（5）由题意得，，则，，令，则，解得x=2，即，．
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